Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   32

§ 3.3. Вектор полных затрат



Пусть A ? 0. Равенство

справедливое, как мы уже знаем, в том и только в том случае, когда матрица А продуктивна и имеет интересный экономический смысл. Чтобы это увидеть, обратимся снова к формуле (3.8) § 3.2. С учетом формулы (3.6) § 3.2 эта формула принимает вид

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые , А, А2 и т. д.?

Для получения валового выпуска , обеспечивающего конечное потребление , нужно прежде всего произвести комбинацию товаров, описываемую вектором . Но этого мало, так как для получения нужно затратить (а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором А. Но и этого недостаточно в связи с тем, что для получения А нужно произвести дополнительные затраты, описываемые вектором А(А) =A2, и т. д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск должен составляться из слагаемых , А, А2 и т. д., что и зафиксировано в формуле (3.11). В соответствии с этим рассуждением сумму + А + А2 + ... называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать это заключение более предметным, рассмотрим пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

1) металлургия;

2) производство электроэнергии;

3) угледобыча.
Для получения конечного выпуска = 1, у2, y3) необходимо прежде всего произвести:
y1 тонн металла;

у2 кВт∙ч электроэнергии;

y3 тонн угля.
Но для производства у1 тонн металла необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое справедливо и в отношении производства у2 кВт∙ч электроэнергии и у3 тонн угля:

В свою очередь, для производства y11 тонн металла необходимо затратить какое-то количество металла, электричества и угля и т. д. Таким образом, искомый валовой выпуск представляет собой сумму затрат: 0-го порядка (вектор ), 1-го порядка (вектор А), 2-го порядка 2) и т. д.

§ 3.4. Модель равновесных цен



Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева — так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А — матрица прямых затрат, = 1, х2, ...,хn) — вектор валового выпуска. Обозначим через p = (p1, p2 ,…, pn) — вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный p1х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме a11, второй отрасли в объеме а21, n-й отрасли в объеме an1 и т. д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a11p1 + а21p2 + ... + an1pn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную x1(a11p1 21р2 +... + an1pn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

Разделив это равенство на x1, получаем

где v1 = — норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Подобным же образом получаем для остальных отраслей

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

где = (v1, v2,..., vn) — вектор норм добавленной стоимости.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что заменен на , — на , А на АT.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.
Пример. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть

— транспонированная матрица прямых затрат, = (4; 10; 4) — вектор норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой

где СT = (Е АT)-1 — транспонированная матрица полных затрат.

После необходимых вычислений имеем

Отсюда получаем, что = СT = .

Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что = (5,11; 10; 4), находим, что

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй — на 3,5%, третьей отрасли — на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

§ 3.5. Модель международной торговли. Собственные векторы и собственные значения матриц



Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т. е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х1, Х2, X3, которые условно назовем США, Германия и Кувейт. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, 1/4 бюджета — на товары из Германии, оставшуюся 1/4 бюджета — на товары из Кувейта. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Кувейта. Кувейт, в свою очередь, тратит 1/2 бюджета на закупку товаров у США, 1/2 бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

Вообще, пусть aij — часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.

После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку рi = ai1X1 + аi2Х2 + ai3Х3 Например, США будут иметь выручку

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

Предложение 1. Условием бездефицитной торговли являются равенства рi = Xi, i = 1, 2, 3.
Доказательство. Предположим, что pi > Хi для некоторого i, например, для i = 1. Запишем условие (3.1,2) для всех i:

Сложив все эти неравенства, получим:

Поскольку все суммы в скобках в левой части неравенства равны 1, то получим противоречивое неравенство

Следовательно, наше предположение о том, что р1 > Х1, неверно. Доказательство завершено.
В матричной форме утверждение, содержащееся в предложении 1, выглядит следующим образом:

где

Обобщая равенство (3.13), рассмотрим следующее.
Определение 1. Ненулевой вектор = называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка п, если

где ? — некоторое число.
При этом число ? называется собственным значением матрицы А. Говорят так: есть собственный вектор матрицы A, принадлежащий ее собственному значению ?.

Таким образом, в разбираемом примере из соотношения (3.13) следует, что «вектор бюджетов» Х является собственным вектором структурной матрицы торговли А, а соответствующее собственное значение равно 1. Существование такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1.
Доказательство. Рассмотрим случай матрицы 3 х 3:

По условию

откуда следует, что

Эти соотношения показывают, что сумма строк матрицы А - Е равна нулевому вектору, т. е. матрица A-Е — вырожденная. Согласно последней теореме § 2.9 система уравнений

имеет ненулевое решение = 0. Это означает, что 0 собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению ? = 1.
Пример 1. Найдем собственные векторы и собственные значения следующей матрицы порядка 2:

Положим, = (x1, x2) — вектор-столбец. Тогда из соотношения (3.14) следует, что



т. е.



или




Если вектор собственный, то это означает, что однородная система уравнений (3.15) имеет ненулевое решение. Согласно последней теореме § 2.9 это условие эквивалентно тому, что определитель системы (3.15) равен нулю:

или ?2 – 5? + 6 = 0 => ?1 = 2, ?2 = 3. Таким образом, собственными значениями матрицы А будут числа 2 и 3.

Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим ? = 2 и ? = 3 в систему (3.15):

Рассуждения из примера 1 можно обобщить на случай произвольной матрицы А порядка n. Условие (3.14) можно переписать в виде:

или

Однородная система уравнений (3.16) тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю:

Если раскрыть данный определитель, как в рассмотренном примере 1, то получится многочлен степени п относительно ?, называемый характеристическим многочленом матрицы А.
Определение 2. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения.
Замечание 1. Если вектор является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению ?, то для любого числа k ? 0 вектор k тоже собственный вектор А, принадлежащий ?. Действительно, если решение уравнения (3.16), то ?Е) = 0. Но тогда (A--?E)(k) = k(A-?E) = k∙0 = 0.

Замечание 2. Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Запишем характеристическое уравнение:

или (3 - ?)3 = 0. Следовательно, ? = 3 — единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений (3.16) для отыскания собственных векторов сводится к единственному уравнению:

или x1 = -x2.

Положим, x2 = а, x3 = b, и получим общее решение системы (3.16)

т. е. собственный вектор = (-а, а, b) представляется в виде линейной комбинации

двух линейно независимых векторов 1 = (-1; 1; 0) и 2 = (0; 0; 1).

Вернемся к отысканию собственного вектора Х в модели международной торговли. Система уравнений для нахождения Х имеет вид (3.13), т.е.

Нетрудно найти общее решение этой системы:

поэтому в качестве собственного вектора можно взять вектор

В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении

Заметим, что структурная матрица торговли А — это матрица с неотрицательными элементами. Мы ищем ее собственный вектор Х с положительными компонентами. Вопрос о существовании такого вектора будет обсужден в следующем параграфе.

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   32


§ 3.3. Вектор полных затрат
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации