Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   32

§ 3.2. Продуктивные модели Леонтьева



Определение. Матрица А ? 0 называется продуктивной, если для любого вектора ? 0 существует решение ? 0 уравнения

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор ? 0 конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске ? 0.

Нижеследующая теорема 1 показывает, что нет необходимости требовать существования решения ? 0 уравнения (3.4) для любого вектора ? 0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора ? 0.

Условимся в дальнейшем писать > 0 и называть вектор положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.
Теорема 1 (первый критерий продуктивности). Если A ? 0 и для некоторого положительного вектора * уравнение (3.4) имеет решение * ? 0, то матрица А продуктивна.
Заметим, что на самом деле * > 0, что следует из * = А* + * и А ? 0, * ? 0, * > 0.
Доказательство теоремы не приводим.
Уравнение Леонтьева (3.4) можно записать следующим образом:

где Е — единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е-А.
Понятно, что если обратная матрица (Е-А)-1 существует, то из (3.5) вытекает

Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 1.
Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица А ? 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и неотрицательна.
Доказательство. Если (Е - А)-1 существует и ? 0, то из формулы (3.6) следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица A продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

где 1, 2, …, n — столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т. е. существуют такие векторы (столбцы) 1 ? 0, 2 ? 0, .... n ? 0, что

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов 1, 2, ..., n. Тогда вместо п равенств (3.7) можно написать одно:

Следовательно, матрица - А) имеет обратную С, причем С ? 0. Теорема доказана.
Пример 1. Исследуем на продуктивность матрицу

В данном случае

Необходимые вычисления предоставим читателю провести самостоятельно. Получаем матрицу -А)-1, которая существует и равна

Мы видим, что эта матрица неотрицательна. Следовательно, A продуктивна.

Продолжим анализ продуктивности модели Леонтьева.

Пусть а — некоторое число. Из курса математического анализа известно, что если ряд

(бесконечная геометрическая прогрессия) сходится (условием этого является |a| < 1), то его сумма равна (1 - а)-1. Убедимся, что аналогичное предложение имеет место при замене числа а матрицей А.
Лемма. Если бесконечный ряд (из матриц)

сходится, то его сумма есть матрица (Е - А)-1.
Доказательство. Пусть ряд (3.8) сходится. Прежде всего покажем, что матрица - А) имеет обратную матрицу.

Рассуждая от противного, допустим, что матрица - А) — вырожденная. Рассмотрим тождество

Мы знаем (§ 2.9), что уравнение В = 0 с вырожденной матрицей В обязательно имеет ненулевое решение. Следовательно, существует вектор ? 0, такой, что - А) = 0. Применив к вектору обе части равенства (3.9), получим Аk) = 0 или = Ak . Но Аk = 0, что следует из сходимости ряда (3.8) (необходимое условие сходимости ряда). Следовательно, Аk = 0, т. е. = 0 вопреки условию. Таким образом, матрица Е - А имеет обратную матрицу.

Из (3.9) находим

С учетом того, что Аk = 0, получаем

Итак, сумма ряда (3.8) существует и равна - А)-1. Лемма доказана.
Теорема З (третий критерий продуктивности). Матрица А ? 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Доказательство. Пусть сходится ряд (3.10). Согласно лемме его сумма равна - А)-1. При этом сумма указанного ряда будет ? 0, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица - А)-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (3.10) сходится) доказывать не будем.

Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (сходимость ряда (3.10)) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1*, то А продуктивна. Действительно, пусть q — наибольшая из указанных сумм, q < 1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А2 не превосходит q2:


* В стоимостной модели баланса это означает, что при любом j = 1, ..., п суммарный вклад всех отраслей в выпуск 1 руб. продукции отрасли у меньше 1, т. е. что отрасль j рентабельна.
Точно так же получим, что элементы матрицы А3 не превосходят q3 и т. д. Отсюда следует сходимость ряда (3.10), а значит, и продуктивность матрицы А.
Пример 2. Для матрицы

сумма элементов каждого столбца меньше единицы. Следовательно, А продуктивна.

Аналогично доказывается, что если в неотрицательной матрице А сумма элементов любой строки меньше 1, то матрица А продуктивна. Впрочем, то же самое можно вывести и из следующего предложения: если продуктивна матрица А, то продуктивна и матрица АT, что следует из теоремы 2.

Пусть А ? 0 — продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число ? > 0, что все матрицы ?A, где 1 < ? < 1+?, продуктивны, а матрица (1+?)A — не продуктивна.
Пример 3. Выясним, какой запас продуктивности имеет матрица А из примера 1.
Решение. Будем руководствоваться критерием продуктивности из теоремы 2 (существование неотрицательной матрицы - А)-1). В данном случае

Определитель этой матрицы

Обратной матрицей будет

Для продуктивности матрицы ?А нужно, чтобы все элементы обратной матрицы были неотрицательны. Это возможно лишь если ? > 0, 1-0,2? ? 0, 1-0,3? ? 0. Приближенные корни уравнения ? = 0 суть ?1 = -2,06 и ?2 = 1,015, поэтому - ?A)-1 ? 0 <=> ? < 1,015. При ? < ?2 матрица ?А будет продуктивной, при ? = ?2 нет. Запас продуктивности матрицы А равен 0,015. Мы видим, что матрица А находится где-то «на пределе» продуктивности.

Обычно матрицы A межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Например, для межотраслевых балансов в бывшем СССР такой запас, как правило, был больше 0,4. Рост производственных расходов (в частности, учет затрат на преодоление негативных воздействий производства на окружающую среду) вызывает увеличение элементов матрицы А и, как следствие, снижение ее запаса продуктивности.

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   32


§ 3.2. Продуктивные модели Леонтьева
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации