Сальников А.П. Теория электрической связи. Конспект лекций. части 1,2 - файл n2.doc

Сальников А.П. Теория электрической связи. Конспект лекций. части 1,2
скачать (4342.4 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.docскачать
n2.doc4160kb.22.11.2010 22:15скачать

n2.doc

  1   2   3   4
Министерство Российской Федерации

по связи и информатизации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М.А.Бонч-Бруевича


А.П. Сальников


ТЕОРИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Конспект лекций

Часть 2


САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003

УДК 621.391.1


Сальников А.П. Теория электрической связи: Конспект лекций, часть 2/ СПбГУТ.-СПб., 2003.– с.: ил.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электрической связи».

Содержит общие сведения о математических моделях случайных сигналов и помех, их преобразованиях в различных функциональных узлах. Рассмотрены задачи оптимального когерентного и некогерентного приема дискретных сообщений, реализации соответствующих демодуляторов для двоичных систем связи и определения помехоустойчивости для основных видов цифровой модуляции.

Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС.

Ответственный редактор М.Н. Чесноков

© Сальников А.П., 2003

© Издание Санкт-Петербургского государственного университета

телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 2003

4. Математические модели случайных процессов
Сигналы в системах передачи информации и действующие в них помехи по своей природе являются случайными процессами. Для их описания необходимо применять математический аппарат теории вероятностей и случайных процессов. Настоящую главу следует рассматривать как развитие раздела 2. Математические модели сигналов (Теория электрической связи. Конспект лекций. Часть 1) применительно к случайным процессам.


    1. Понятие случайного процесса


С
xk(t)


x1(t) x2(t)


ti t


Рис. 4.1. Реализации процесса X(t)
лучайный процесс
(СП) X(t) является функцией времени, значения которой в любой фиксированный момент времени ti представляют собой случайную величину X(ti). Здесь и в дальнейшем случайные величины и функции будем обозначать заглавными буквами, а детерминированные (неслучайные) – строчными, как это широко принято. На рис. 4.1 изображены возможные реализации x1(t) и x2(t) случайного процесса X(t), являющиеся детерминированными функциями времени. Сам процесс можно трактовать как множество (в том числе и несчетное) подобных реализаций { xk(t) } с соответствующей вероятностной мерой.

Для полного описания сечений X(ti) СП необходимо указать законы распределения значений СП в этих сечениях. Они могут быть заданы в интегральной (функция распределения) или дифференциальной (плотность вероятности) формах. В таблице 4.1., в порядке напоминания, приведены основные сведения об этих законах и их свойствах.

Таблица 4.1

Название и обозначение

Функция распределения F(x)

Плотность вероятности w(x)

Определение





Физическая размерность

безразмерная

размерность

Взаимосвязь





Особенности функции

F(x2) F(x1) при x2 x1

(неубывающая)

w(x)0

(неотрицательная)

Расчет вероятности







Свойство нормировки






Примеры распределений случайных величин:

Равномерное

Нормальное (гауссовское)

Распределение дискретной случайной величины

И
F(x)

1


x

x1 x2 x3 x4

w(x)

x

x1 x2 x3 x4

нформация о сечениях СП не является достаточной для описания самого СП, так как не содержит сведений о зависимостях сечений между собой. Исчерпывающее описание СП осуществляется с помощью n-мерной функции распределения



или n-мерной плотности вероятности

,

где x1, x2…, xn – аргументы, t1, t2…, tn – параметры этих функций, а nлюбое целое число.

Если n-мерная функция распределения (плотность вероятности) СП не меняется при сдвиге всех моментов tk (k = 1, 2, …, n) на один и тот же интервал t, то такой процесс называют стационарным в узком смысле.

4.2. Сокращенное описание случайных процессов
Полное описание СП не всегда возможно, да и не всегда требуется. Во многих случаях достаточно знать основные его характеристики. В качестве таковых широко используют:

  1. Математическое ожидание СП – начальный момент первого порядка



  1. Дисперсия СП – центральный момент второго порядка



Здесь использовано понятие центрированного СП .

  1. В общем случае можно использовать моменты k-го порядка:

начальные

,

центральные

.

Нетрудно видеть, что моменты полностью определяются одномерным распределением и в общем случае произвольного СП являются детерминированными функциями времени. Для стационарных в узком смысле СП моменты от времени не зависят.

  1. Корреляционная (автокорреляционная) функция – центральный смешанный момент второго порядка

.

Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если выполняются следующие условия:

,

,

, где ? = t2t1

Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Некоторые свойства корреляционной функции СП:

1.

2.

Доказательство:



,

откуда следует вышеуказанное неравенство

3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь сечений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями и нет (сечения статистически независимы), то .

Доказательство:





.

Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот. Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гауссовского) процесса.

Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид

,

где , ,

а любая n-мерная плотность вероятности описывается выражением

,

где An, cij, ai, aj – константы, определяемые выбором сечений t1,t2,,,tn.

4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной .

Доказательство:

.

Подставляя , получим

.

5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреляции (коэффициентом корреляции)

.

Очевидно, что .

6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника

.

7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X(t) и Y(t)



.

8. Корреляционная функция суммы независимых случайных процессов есть сумма корреляционных функций каждого из слагаемых СП в отдельности

Доказательство:





.

Вместо усреднения по множеству реализаций случайного процесса можно ввести его усреднение по времени, определяя:
- постоянную составляющую СП,
- переменную составляющую СП,
- мощность переменной состав-

ляющей СП.
Нетрудно видеть, что эти характеристики являются случайными величинами, не зависящими от времени.

Случайные стационарные процессы называют эргодическими, если их усреднение по множеству и по времени приводит к одинаковым результатам:

Э
,
ргодическое свойство СП заключается, грубо говоря, в том, что все его реализации «похожи» друг на друга. Отсюда следует возможность получения вышеуказанных характеристик эргодического СП усреднением по времени единственной его реализации x(t), что существенно облегчает построение аппаратуры для их измерений. В частности, функцию корреляции эргодического СП можно вычислить по одной реализации с помощью следующего выражения:

из которого вытекает схема коррелометра, приведенная на рис. 4.2.

4.3. Спектральный анализ случайных процессов
Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье

.

Распространение этого подхода на случайные процессы наталкивается на ряд серьезных проблем:

1. существует только для функций x(t), удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости



или хотя бы интегрируемости в квадрате

,

т.е. для сигналов с ограниченной энергией. Однако реализации стационарных случайных процессов с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию, так как по определению существуют на бесконечной оси времени и, следовательно, этим требованиям не отвечают. Эту трудность можно обойти, если рассматривать отношение спектральной функции к длительности сигнала Т. Тогда достаточным будет требование ограниченной мощности сигнала x(t)

.

2. Спектральная функция характеризует отдельные реализации x(t) случайного процесса X(t), а не сам процесс целиком. Попытка перейти, как обычно, к усреднению по ансамблю оказывается несостоятельной. Действительно, если определить математическое ожидание случайной спектральной функции

,

где - амплитудный, а - фазовый спектры случайного процесса X(t), то для независимых и при равномерном распределении в интервале получим нулевой результат усреднения для ненулевых процессов.

Выход из этой ситуации состоит в отбрасывании фазового и усреднении только амплитудного спектра или .

Для реализаций случайных процессов X(t) с ограниченной энергией Ех (нестационарных) по теореме Парсеваля имеем

,

где - спектральная плотность энергии реализации x(t).

Усредняя по ансамблю реализаций, получим – спектральную плотность энергии случайного процесса X(t) с размерностью

, что соответствует размерности , если иметь в виду действие X(t) на сопротивлении 1 Ом.

Для стационарных случайных процессов на интервале Т рассмотрим функцию , имеющую размерность . Переходя к пределу при , получим спектральную плотность мощности

, (4.1)

называемую также энергетическим спектром процесса X(t).

Энергетический спектр стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны между собой интегральными преобразованиями Фурье, что было строго доказано А.Я. Хинчиным и Н. Винером (теорема Винера-Хинчина)

, (4.2)

. (4.3)

Рассмотрим нестрогое доказательство этой теоремы с прозрачным смыслом. Исходя из вышеприведенного определения энергетического спектра, имеем




(после замены переменных )



(после замены усреднения по ансамблю усреднением по времени)

,

что и требовалось доказать.
Свойства энергетических спектров случайных процессов
1. , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотношения (4.3) вытекает важное следствие для корреляционной функции – она является положительно определенной, т.е. имеет неотрицательное преобразование Фурье.

2. – четная функция.



.

На этом свойстве основано понятие одностороннего энергетического спектра, существующего только в области положительных частот

.

3.

4.

5. Нормированный энергетический спектр

,

.
Примеры энергетических спектров некоторых стационарных СП:


  1. Квазибелый шум NF(t)

Энергетический спектр такого процесса () равномерен в ограниченной полосе частот (–F, +F) (рис. 4.3).
Корреляционная функция квазибелого шума имеет вид (рис. 4. 4)



.


Из полученного результата вытекает некоррелированность отсчетов квазибелого шума, взятых через интервалы времени k/2F. Для нормального процесса эти отсчеты оказываются еще и независимыми.

  1. Белый шум N(t)

Энергетический спектр белого шума () равномерен в бесконечной полосе частот (рис. 4.5).

Корреляционная функция белого шума (рис. 4.6)

,

здесь использовано одно из определений дельта-функции

.

Из этих результатов вытекает статистическая независимость любых сколь угодно близких сечений такого процесса и его неограниченная дисперсия (мощность)

.

  1. Синхронный телеграфный сигнал X(t)

С
x(t)
h

0 T t1 t2=t1+ t

t
-h
Рис. 4.7. К расчету корреляционной функции телеграфного сигнала
инхронный телеграфный сигнал (CТС) представляет собой стационарный дискретный случайный процесс, принимающий на тактовых интервалах длительностью Т значения +h с вероятностью Р(0) или –h с вероятностью Р(1). Возможная реализация такого процесса показана на рис. 4.7.


Вычислим корреляционную функцию СТС, исходя из ее определения

,

где

.

В силу стационарности и при Р(0) = Р(1) = 0,5 имеем == 0 и



Далее учтем, что произведение , если , где временной интервал от сечения t1 до ближайшей границы такта (сечения принадлежат одному тактовому интервалу). В противном случае (при )

,

где Р(0/0), Р(0/1), Р(1/0) и Р(1/1) – переходные вероятности передачи символов в соседних тактовых интервалах, которые будем считать одинаковыми.

Таким образом

,

где – плотность вероятности временного интервала . Окончательно, учитывая свойство четности корреляционной функции стационарного процесса, получим

.

По полученной корреляционной функции несложно рассчитать энергетический спектр синхронного телеграфного сигнала (4.2)







.

Графики корреляционной функции и энергетического спектра синхронного телеграфного сигнала приведены на рис. 4.8.
Контрольные вопросы


  1. Дайте определение случайного процесса (СП).

  2. Каким образом дают исчерпывающее описание произвольного СП?

  3. Каков смысл и размерность n-мерной функции распределения СП?

  4. Каков смысл и размерность n-мерной плотности вероятности СП?

  5. Как связаны функция распределения и плотность вероятности между собой?

  6. Дайте определение математическому ожиданию СП и укажите его размерность и сущность как математического объекта.

  7. Дайте определение дисперсии СП и укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

  8. Как осуществляют центрирование СП?

  9. Определите функцию корреляции СП.

  10. Какие СП называют стационарными в широком и узком смыслах?

  11. Какие СП называют эргодическими?

  12. Дайте определение постоянной составляющей СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

  13. Дайте определение мощности СП, укажите ее размерность и сущность как математического объекта.

  14. Какие СП называют нормальными (гуссовскими)?

  15. Что понимают под временем корреляции СП?

  16. Укажите основные свойства корреляционной функции стационарных СП?

  17. Дайте определение спектральной плотности энергии СП и укажите ее размерность.

  18. Дайте определение спектральной плотности мощности (энергетическому спектру) СП и укажите ее размерность.

  19. Каковы связи между корреляционной функцией и энергетическим спектром стационарных СП?

  20. Укажите основные свойства энергетического спектра стационарных СП.

  21. Какой СП называют белым шумом? Укажите основные его свойства.

  22. Какой СП называют квазибелым шумом? Укажите основные его свойства.

  23. Какой СП называют синхронным телеграфным сигналом? Какова его корреляционная функция?

  24. Как выглядит энергетический спектр синхронного телеграфного сигнала?


Рекомендации по проведению экспериментальных

исследований случайных процессов
Для закрепления полученных при изучении раздела 4 знаний на базе виртуальной лаборатории можно провести экспериментальные исследования случайных процессов используя:

Целесообразно работать в рамках конфигурации лабораторного стола по темам работ №2 и №19. Источником СП с равномерным и нормальным распределением может служить генератор сигнала (в режиме генератора шума) (рис. 4.9) и соответствующие подпункты меню «Сигналы» (рис. 4.10).

Рекомендуется выполнить лабораторную работу №19 в полном объеме (рис. 4.10). Обратите внимание на связь размеров «шумовой дорожки» на экране осциллографа с эффективным значением шума и на связь корреляционных характеристик с энергетическими спектрами случайных процессов.



5. Прохождение случайных процессов через

преобразователи сигналов
В общем случае решение задачи прохождения заданного СП через конкретную электрическую цепь – функциональный узел (ФУ) произвольной сложности предполагает определение n-мерной плотности вероятности (или функции распределения) реакции цепи Y(t) на заданное случайное воздействие X(t) (рис. 5.1). Однако общего метода решения такой задачи не существует. Поэтому ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.
5.1. Прохождение случайных процессов

через безынерционные цепи
Безынерционная цепь (безынерционный функциональный узел –БФУ) полностью описывается функциональной зависимостью y = f(x), связывающей мгновенные значения воздействия x(t) и реакции y(t) в совпадающие моменты времени. В результате имеем дело с функциональным преобразованием случайного процесса Y(t) = f [X(t)].

Для вычисления одномерной плотности вероятности реакции w(y) по известной плотности вероятности воздействия w(x) рассмотрим рис. 5.2, на котором изображены функциональная характеристика БФУ y = f (x), заданная плотность вероятности воздействия w(x) и искомая плотность вероятности реакции БФУ w(y). Учитывая, что при попадании случайной величины X в интервал (x, x+dx) случайная величина Y с вероятностью 1 попадает в соответствующий ему интервал (y, y+dy), можно написать следующее соотношение

,

из которого вытекает

, (5.1)

где f -1(y) – обратная функция (x = x(y) = f -1(y)).

Дифференциалы dx, dy и производная обратной функции в полученном выражении взяты по модулю в силу свойства положительности плотности вероятности.
  1   2   3   4


Министерство Российской Федерации
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации