Кобзев А.В., Михальченко Г.Я., Дякин А.С., Алейников О.А. Импульсно-модуляционные системы (ИМС). Часть 3 - файл n1.doc

приобрести
Кобзев А.В., Михальченко Г.Я., Дякин А.С., Алейников О.А. Импульсно-модуляционные системы (ИМС). Часть 3
скачать (2251.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2252kb.26.08.2012 22:10скачать

n1.doc

  1   2
Федеральное Агентство Образования
ТОМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)


Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_____________Обрусник В.П.

« » _______________2005г.


Промышленная электроника
ИМПУЛЬСНО-МОДУЛЯЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Методические указания для студентов специальности 2005
Часть 3
Нормоконтролер

___________Н.Н. Чернышева

« 20 »___апреля______2005г.

Зав.кафедрой ПрЭ, профессор

______________А.В. Кобзев

« 20 »___апреля______2005г.
Зав.лабораторией 16 отдела,

канд. Техн. наук

_________Г.Я. Михальченко

« 20 »___апреля______2005г.
Нач. ЭВМ АВК-32

________________А.С. Дякин

« 20 »___апреля______2005г.
Ассистент каф. ПрЭ,

канд.техн.наук

____________О.А. Алейников

« 20 »___апреля______2005г.
2005
Содержание
8. Особенности замкнутых импульсных систем

8.1 Основные понятия

8.2 Структура систем с импульсной модуляцией

8.3 Методы исследования нелинейных систем

8.4 Характеристики систем с импульсной модуляции

8.5 Поиск периодических режимов в системах с МИМ

8.6 Динамические свойства систем с МИМ.

Устойчивость периодических процессов

8.7 Влияние параметров фильтра на устойчивость

8.8 Влияние параметров регулятора на устойчивость

8.9 Характеристики воспроизведения сигналов в системах с МИМ

9. Рекомендуемая литература

8. ОСОБЕННОСТИ ЗАМКНУТЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

8.1. Основные понятия

Реальные системы с импульсной модуляцией представляют собой сложные структуры с обратной связью, высокое качество функционирования которых обеспечить без изучения их динамических свойств невозможно. Эффективное изучение динамики таких систем можно провести на их м а т е м а т и ч е с к и х м о д е л я х в простран­стве состояний, отражающих существенные для планируемого исследования свойства реальной системы. Модель включает, как правило, ло­гические и математические зависимости между тремя множествами пе­ременных:

  1. входными переменными {U1,U2,…,UR}, представляющими собой управляющие воздействия, генерируемые системами,
    внешними по отношению к исследуемой;

  2. выходными переменными {Y1,Y2,…,YP}, характеризующими реакцию системы;

  3. п е р е м е н н ы м и с о с т о я н и я {X1,X2,…,XN},
    т.е. промежуточными (внутренними) переменными, характеризующими динамическое поведение исследуемой системы.

Поскольку вход, состояние и выход описываются конечным числом переменных, то удобно представить их в виде в е к т о р а в х о д а

U=[ U1,U2,…,URT, в е к т о р а с о с т о я н и я (вектора переменных состояния) X=[ X1,X2,…,XN]­T и в е к т о р а в ы х о д a Y=[ Y1,Y2,…,YPT . При этом под п р о с т р а н с т в о м с о с т о я н и й системы будем понимать множество всех значений, которые может принять вектор состояния в фиксированный момент времени t.

Если векторы входа, состояния и выхода определены в каждый момент времени t из некоторого интервала, то говорят о н е п р е р ы в н о й системе. Если векторы входа и состояния опреде­лены только в дискретные моменты времени tK, где k - после­довательности чисел, обычно целых из некоторого интервала, то го­ворят о д и с к р е т н о й системе (системе с дискретным временем).

В случае детерминированных внешних воздействий модель системы может быть представлена в виде:

; (8.1)

Y= ?( X, U ); (8.2)

причем вектор-функция f должна допускать существование решения (8.I) (при заданных X(t0) и U(t) ) во всех областях про­странства состояний. Отметим, что во многих случаях в преобразовании (8.2) необходимости не возникает, так как для электротехничес­ких систем вектор X частично или полностью совпадает с векто­ром Y . Если выражение (8.1) можно представить в виде:

, (8.3)

где матрицы А и В - матрицы коэффициентов размерностью, соответственно, ( n*n ) и ( n * r ), то исследуемая система - линейна. В терминах теории автоматического управления представление (8.3) эквивалентно требованию линейности всех объединенных в сис­тему звеньев.

Важным свойством линейных систем и процессов в них является подчинение принципу суперпозиции, вследствие чего вид и* поведение выходной переменной ( X ) не зависит от величины входной перемен­ной ( U ) в процессе установления реакции (рис.8.1, пунктирная линия), также как выходная переменная ( X ) в установившемся ре­жиме не зависит от начальных условий ( Х0 ).



Рис. 8.1

Нелинейные системы, описываемые в общем случае выражением (8.1), принципу суперпозиции не удовлетворяют, следствием чего является наличие у них ряда специфических свойств. Перечислим некоторые из них:

1) зависимость параметров переходного процесса от величины входного воздействия (сплошная линия на рис.8.1);

2) неединственность состояния устойчивого равновесия (наличие некоторого множества устойчивых точек в пространстве состояний);

3) возможность существования в системе незатухающих колебаний с различными параметрами (амплитудой, частотой) при неизменном входном воздействии (наличие в пространстве состояний так называе­мых предельных циклов). Импульсный принцип преобразования анергии предполагает обязательное наличие колебаний и в линейных импульсных системах, но только одного, однозначно определяемого парамет­рами системы вида и с частотой квантования импульсного элемента (т.е. с частотой вынуждающего воздействия);

4) возникновение субгармонических, полигармонических и почти
периодических колебаний на выходе системы при гармоническом одночастотном входном сигнале;

5) возможность возникновения явлений синхронизации и скачко­образного резонанса по амплитуде и (или) фазе.

Существование таких и подобных им свойств порождает неодно­значность поведения нелинейных систем и требует разделения тождественных с точки зрения, линейных систем понятий системы и процесса (режима). Если с и с т е м а описывается уравнением (8.1), то процесс в ней можно описать решением (8.1) при определенном начальном условии X (t0)= Х0 и определенном управлении U=U (t, t0 ). Таким образом, некоторому объединенному мно­жеству начальных условий и управлений {{X0}, {U}} можно про­тивопоставить ненулевое множество процессов в системе.

Состояния равновесия, вынужденные процессы и более сложные регулярные виды колебаний могут существовать реально лишь в том случае, когда они устойчивы. Устойчивость этих процессов определя­ется характером изменения отклонений от устойчивого состояния, вызванных приложением к системе возмущающих воздействий, причем, в общем случае, если с течением времени отклонения стремятся к нулю, то соответствующие процессы устойчивы. Для линейных систем отклоне­ния представляют собой переходную составляющую процесса, в нелинейных же системах переходная составляющая существенно зависит от стационарного режима и возможны ситуации, в которых один из режимов устойчив, тогда как другие неустойчивы и могут реализоваться при изменении величины возмущающих воздействий, начальных условий и т.д.

Будем говорить, что рассматриваемый процесс а с и м п т о т и ч е с к и устойчив, если удовлетворяют условию

(8.4)

отклонения ?, вызванные возмущающими воздействиями или вариа­циями величины начальных условий ? такими, что

?= ? 0, (8.5)

где ? 0 - наперед заданная величина возмущающих, воздействий или начальных условий вектора состояния.

Если в (8.5) величина ? принимается достаточно малой, то соответствующая устойчивость является устойчивостью в м а л о м или локальной устойчивостью. Если ? - фиксированная, но ограни­ченная величина, то рассматривают устойчивость в б о л ь ш о м. Устойчивость в целом соответствует неограниченным измене­ниям ? . И, наконец, если условия устойчивости в целом распространяются не на одну фиксированную характеристику нелинейного элемента, а на некоторый класс характеристик (например, на сис­темы с ШИМ-2), то имеет место абсолютная устойчивость.

Необходимость введения семейства определений устойчивости для нелинейных систем связана с неоднозначностью процессов в них. Для линейных же систем, независимо от вида невозмущенного движения (процесса), имеет место либо устойчивость в целом, либо неустой­чивость, что определяется собственными числами матрицы А из (8.3), Поэтому для л и н е й н о й с и с т е м ы с в о й с т в о у с т о й ч и в о с т и п р и п и с ы в а е т с я н е д в и­ ж е н и ю и л и п р о ц е с с у, а с а м о й с и с т е м е. Заметим, что все перечисленные выше виды устойчивости невозмущен­ного движения распространяются на системы с дискретным временем

X[k+1] = f [X[k],k], (8.6)

причем определения остаются практически без изменений.
8.2. Структура систем с импульсной модуляцией

Независимо от частных особенностей систему с импульсной мо­дуляцией модуляцией можно представить структурной схемой (рис.8.2), включающей непрерывную часть (линейное корректирующее звено WКЗ, выходной фильтр WФ1, входной фильтр WФ2) и импульсную



Рис. 8.2

часть (модулятор с коэффициентом передачи Sмод и импульсный преобразователь Sип). Поскольку в функции импульсного пре­образователя входят просто масштабирование (усиление) выходной величины модулятора, то будем считать, что импульсная часть пред­ставлена только модулятором. Непрерывную часть системы можно до­статочно корректно описать линейными дифференциальными уравнения­ми. Линейность же или нелинейность модулятора определяется приме­ненным в системе видом модуляции. В случае АИМ непрерывная вход­ная величина модулятора ( U1) преобразуется в последователь­ность импульсов одной и той же формы, модулированных по амплитуде U2 . При этом, как указывалось ранее, совпадают амплитудная и модуляционная характеристики модулятора (рис.8.3,а, сплошная линия), имеющие вид линейкой функции входной величины.



Рис. 8.3

Для ШИМ и ЧИМ амплитудная и модуляционная характеристики существенно разли­чаются. Амплитудная характеристика разрыва (рис.8.3,б), т.к. при смене знака входной величины меняется полярность выходных импуль­сов, а модуляционная характеристика - четная, так как длительность импульсов Т (или частота их повторения) не могут быть отрица­тельными. И, кроме того, длительность импульсов не может превосхо­дить периода их повторения.

Таким образом, модуляторы с ШИМ и ЧИМ, а также основанные на
их принципах модуляторы с МИМ являются существенно нелинейными,
то есть их нелинейные свойства проявляются даже при малых величинах входных воздействий. Модулятор с АИМ обычно такими свойствами
не обладает. Его нелинейность (например, типа ограничения - рис.
8.3,а - пунктирная линия) проявляется лишь при значительных вели­чинах входных сигналов. Эта особенность АИМ значительно облегчает
исследование системы, в которой она используется, позволяя исполь­зовать строгий математический аппарат непрерывного и дискретного преобразований Лапласа.

8.3. Методы, исследования нелинейных систем.

Поскольку общи» аналитические методы решения нелинейных дифференциальных уравнений отсутствуют, то каждый конкретный вид не­
линейной системы необходимо исследовать особо. Для этого существу­ют следующие возможности:

1) решение нелинейных дифференциальных уравнений численными
методами и анализ выходного сигнала. Эффективность анализа во мно­гом определяется выбором метода численного интегрирования, однако
решение задач со сложными законами управления даже при невысоком
порядке дифференциальных уравнений часто оказывается очень трудо­емким и неосуществимым на мини- и микро-ЭВМ. Расчет стационарных
(установившихся) процессов ведется последовательным интегрирова­нием уравнений системы с некоторых начальных условий вектора сос­тояния;

2) моделирование характеристик системы на аналоговой ЭВМ (АВМ).
Возможности метода по существу ограничиваются только возможностями
АЗМ по формированию коэффициентов передачи нелинейных импульсных
звеньев системы;

3) рассмотрение важных видов состояния системы (например, установившихся колебаний). В случае, если исходная система сводится к кусочно-линейному виду, появляется возможность точного опре­деления периодических колебаний. Метод является численно-аналити­ческим и чрезвычайно эффективным. Недостатком метода является не­обходимость априорного задания некоторых свойств периодического процесса (например, периода, временной конфигурации коммутацион­ной функции);

4) линеаризация исходных нелинейных характеристик с последую­щим применением линейных методов анализа систем. Наиболее широко используются методы малого параметра (линеаризации касательными) и гармонической линеаризации (гармонического баланса).

Первый метод основан на разложении решения уравнения в ряд по степеням малого параметра (отклонения) относительно порождающего решения и использовании первого приближения (первых членов ряда), исследования проводятся при малых, отклонениях.

Гармоническая линеаризация опирается на анализ установивших­ся колебаний в предположении, что, если в системе установились колебания, то на входе модулятора они по форме близки к гармоничес­ким благодаря хорошим фильтрующим свойствам линейной непрерывной части системы. Метод развивает частотный подход к анализу систем.

Недостатки обоих методов, весьма существенны: методы примени­мы только в рамках определенных ограничений и только для малой об­ласти изменения переменных. Их использование для одной и той же системы при разных подходах к линеаризации часто приводит к сущест­венному искажению количественных и даже качественных результатов, делая актуальнейшей проблему проверки результатов. Достоинством методов является обозримость получаемых в аналитическом виде резуль­татов, и при условии обоснованных допущений они эффективно исполь­зуются для анализа нелинейных систем.

Рассмотрим некоторые принципы линеаризации систем с ШИМ. Са­мым простым (и наименее точным) из них является метод "эквивалентирования площадей импульсов", сводящий ШИМ к АИМ при условии, что система содержит низкочастотный фильтр с постоянной времени, по крайней мере, вдвое большей периода квантования а (а = 1/fкв, где fкв - частота квантования). Иллюстрация замены импульсов с ШИМ на импульсы с АИМ приведена на рис.8.4.

Более точным, хотя и значительно более трудоемким является сведение системы с ШИМ к эквивалентной нелинейной многоконтурной импульсной системе с амплитудной модуляцией, принципы которого разработаны Я.З.Цыпкиным [_9.10]. Линеаризация эквивалентной системы приводит к уравнениям первого приближения, на которых возможно построение анализа устойчивости в малом.



Рис. 8.4

Однако проведенное таким образом исследование может оказаться бесполезным с точки зрения практики, если не учесть так называемый ф а к т о р п у л ь с а ц и й. Это понятие было введено В.Н.Йшилло для объяснения и уче­та влияния прохождения пульсаций выходной величины X (обусловленных импульсным способом преобразования) на вход системы по кон­туру обратной связи (см. рис. 8.2)

Пусть в модуляторе осуществляется ШИМ-2. Определим коэффи­циент передачи модулятора Sмод как отношение модули­руемого параметра (длительности импульсов) tu к входному напряжению U1, учитывая, что импульсы длительностью 0 < tu < а формируются при 0 < U1m . Если U1(t)- const, Sмод легко определить по графику пилообразного напряжения (рис.8.5):

(8.7)

Рассмотрим диаграмму формирования импульсов при ШИМ-2 при от­сутствии и наличии пульсаций в U1(t), причем в обоих случаях U1ср= сonst (рис.8.5). Очевидно, что в точках сравнения U1(t) с пилообразным напряжением производная входного сигнала изменяется в зависимости от параметров пульсаций (амплитуды и фазы): в т.1 – dU1(t)/ dt =0, в т.2 – dU1(t)/ dt >0 и в т.3 – dU1(t)/ dt <0. При этом для одного и того же "среднего значения входного сигнала U1(t)ср длительности импульсов формируются разные. Таким образом, наличие пульсаций приводит к изменении Sмод относительно значения при dU1(t) = сonst, и установлению нового значения - Sмод*



Рис. 8.5

Определим Sмод* как

Sмод* = F · Sмод , (8.8)

где F - безразмерная величина, называемая фактором пульсаций. Очевидно, что при вычислении F необходимо сравнивать скорости изменения, входного и развертывающего сигналов, тогда:

, (8.9)

где Z(t) - закон и dZ/dt - скорость изменения пилообразного напряжения. С учетом (8.7) и рис.8.5

и .

Отметим, что обязательным условием при формировании ШИМ-2 является требование , т.к. иначе не произойдет сравнения U1(t) и Z(t).

Пусть dU1(t)/dt=0, т.е. пульсации отсутствуют, тогда F=1 и коэффициент передачи модулятора не меняется. Если dU1(t)/dt>0 (кривая 2 по рис. 8.5), и, например, dU1(t)/dt=[ dZ(t)/dt ]/2= Sмод/2 ,

и Sмод* = 2· Sм ,

то есть коэффициент передачи модулятора удвоился. Для dU1(t)/dt<0, например, dU1(t)/dt = - dZ(t)/dt значение F = 0.5 Sмод* в два раза меньше, чем Sмод.

В заключение отметим, что введение фактора пульсаций позволя­ет повысить достоверность результатов, полученных по линеаризован­ным моделям, хотя и усложняет процедуру исследования.
8.4. Характеристики систем с импульсной модуляцией

Математическое моделирование импульсно-модуляционных систем проводится с целью получения четырех основных видов характеристик:

  1. статических;

  2. информационных;

  3. динамических в области большого сигнала;

  4. динамических в области малых сигналов.

Статические характеристики касаются, в основном, оценки свойств различных типов импульсных систем с целью определения их энергетических, регулировочных характеристик и изучаются в курсе преобразовательной техники. Информационные характеристики подробно изучались а предыдущих разделах с точки зрения спектрального под­хода. Обеспечение работоспособности систем, спроектированных с учетом статических режимов и информационных свойств выбранного вида модуляции, требует исследования динамики их поведения в замк­нутых структурах. При этом изучение динамических свойств в режиме большого сигнала необходимо, как минимум, для оценки переходных процессов при включении и выключении системы, при скачкообразном изменении нагрузки, а также при исследовании частотных свойств не­линейных ключевых усилителей и модуляторов. Эти характеристики можно получить лишь в результате многократного численного интегрирования уравнений модели (8.1) или на аналоговой вычислительной машине.

Наибольший интерес при анализе свойств системы в области малых сигналов представляет изучение ее устойчивости к возмущающим воз­действиям и способов ее обеспечения, так как в системе с заданными показателями устойчивости гарантируется ее надежная работоспособ­ность. Однако в нелинейных системах показатели устойчивости зави­сят не только от их параметров, но и от величин управляющего и воз­мущающего воздействия, что серьезным образом усложняет методику анализа. Кроме того, устойчивость является необходимым, но не дос­таточным условием хорошей работоспособности системы: система долж­на функционировать с заданным к а ч е с т в о м отработки управ­ляющих и возмущающих воздействий.

Рассмотрим с точки зрения качества систему стабилизации с ШИМ, выбрав в качестве критерия коэффициент пульсаций выходного напряже­ния КП = U~ /UСР , где U~ - амплитуда пульсации относи­тельно среднего значения выходного напряжения UСР. Закон изме­нения U~, во времени достаточно сложен, но тем не менее возникающий периодический процесс можно охарактеризовать амплитудой UП и периодом колебаний ТП . При этом для неизменных внутренних па­раметров системы (рис.8.2) изменением величины U входа можно по­лучить три основных типа процессов:



Рис. 8.6

1) с TП = а (рис.8.6) период изменения выходной величины равен периоду квантования;

2) с TП = nа (рис.8.6, n = 2), где n = 2, …;

3) почти периодические и непериодические процессы. Колебания
непериодичны, но в первом случае они упорядочены по амплитуде
(имеют предельное амплитудное значение), а во втором - не упоря­дочены.

Очевидно, что пригодными для использования могут быть лишь первые два типа процессов. Характерной чертой второго типа процессов яв­ляется увеличение значения амплитуды колебаний по мере роста их периода, и, как следствие, увеличение КП при неизменном UСР , то есть ухудшение качества системы. С этой точки зрения наиболее "качественным" является первый тип периодических процессов, обла­дающий минимальной амплитудой переменной составляющей. Для систем воспроизведения сигналов не менее важным является и наибольшая из возможных для разных типов процессов частота пульсации, при попа­дании которой в полосу пропускания системы резко ухудшаются такие характеристики качества систем воспроизведения, как КГ и КГ . По этим причинам устойчивость периодических режимов с ТП = а. Часто ассоциируется с устойчивостью системы с ШИМ.

8.5. Поиск периодических режимов в системах с МИМ

Определение свойств установившегося режима является основой формирования принципов предупреждения нежелательных и использова­ния приемлемых периодических движений в замкнутых нелинейных сис­темах.

Приемы решения рассматриваемой задачи, использующие метод установления, дают возможность получения установившихся решений с учетом всех особенностей математической модели лишь ценой значи­тельных затрат машинного времени и поэтому не могут быть рекомен­дованы для проведения массовых расчетов. Приближенные методы опре­деления периодических движений нелинейных систем отличаются срав­нительной простотой, однако их точность и области допустимого при­менения в общем случае определить трудно. В случае, если исходная система сводится к кусочно-непрерывному виду, появляется возмож­ность точного определения периодических колебаний. Основы методов получения периодических решений сложных кусочно-непрерывных систем были заложены в работах М.А.АЙэермана, Ф.Р.Гантмахера, Ю.И.НеЙнарка, Е.Н.Розенвассера и других исследователей и заключаются в априорном задании типа искомого движения и последующей проверке возможности его существования.

Математическая модель нелинейной дискретной системы на участ­ках неизменности значения коммутационной функции является системой линейных дифференциальных уравнений, причем изменение коэффициентов системы происходит в некоторые моменты времени (моменты переключе­ния), определяемые уравнениями модели, параметрами системы и дина­микой процессов. Если предположить, что в кусочно-линейной систе­ме установились периодические колебания конкретно определенного типа, то задачу нахождения этих колебаний можно свести к решению некоторой системы трансцендентных уравнений относительно неизвестных начальных условий, соответствующих периодическому режиму и моментов переключения.

Рассмотрим схему замещения системы с МИМ, в соответствии с общей структурной схемой (см.рис.8.2), включающую нагруженный LC - фильтр, корректирующее звено (КЗ), модулятор, реализующий МИМ-1, импульсный преобразователь ИП, формирующий на входе фильт­ра импульсы с амплитудой питающего напряжения EП к длитель­ностью, определяемой коммутационной функцией модулятора, и делитель напряжения с коэффициентом ?, выбранный таким образом, что UН MAX · ? = UУПР MAX, UH напряжение на нагрузке, а UУПР - входное напряжение системы (рис.8.7).



Рис 8.7

Математическую модель представим в виде системы дифференци­альных уравнений, описывающих процессы в силовой цепи:

(8.10)

Уравнений цепи обратной связи:

(8.11)

где ? - коэффициент передачи П -регулятора (пропорциональ­ного регулятора) выбранного в качестве корректирующего звена, и уравнений модулятора:

(8.12)

где, как и ранее, UM - амплитуда и ? - период развертки. Для удобства выкладок представим (8.10) в матричном виде:

(8.13)

где Y = [i , U]T – вектор переменных состояния;

B = [EП/L·KФ ;0]T – вектор управляющих воздействий;

A – вектор постоянных коэффициентов.


Система (8.13) нелинейна и в виде (8.3) не может быть пред­ставлена, т.к. для этого необходимо было бы извлечь из функции sign, составляющую вектора состояния.

Введем следующее предположение. При постоянном управляющем воздействии в системе с МИМ-1, содержащей N зон (в каждой из которых реализована ШИМ-2), в установившемся режиме с частотой, равной частоте квантования, переключения осуществляются только в одной зоне. Доказательство верности предположения основано на том что устойчивость периодического решения нарушается не в связи с переходом сигнала из зоны в зону, где на границе перехода сущест­вуют нелинейности типа насыщения модулятора по амплитуде или огра­ничения длительности импульса, а из-за специфической нелинейности замкнутых систем с использованием ШИМ, связанной с нестационарностью параметров колебаний (фазы и амплитуды) при изменении управляющего воздействия UУПР(t).



Рис. 8.8

На основании введенного предположения периодическая коммута­ционная функция на такте квантования может быть представлена сле­дующим образом (рис.8.8):

(8.14)

где К – номер зоны, в которой происходит переключение;

t* - момент времени переключения.

Далее, поскольку В = f(KФ), то

(8.15)

т.е. при заданной конфигурации коммутационной функции вектор В становится кусочно-постоянной величиной, а система (8.13) на ин­тервалах постоянства вектора В может быть решена, аналитически.

Известно, что решение задачи Коши X(t0) = X0 линейной системы дифференциальных уравнений можно представить в виде:

(8.16)

Здесь F(t) = eA(tt0) – фундаментальная матрица решений однородного уравнения:

(8.17)

где eA(tt0) – экспоненциальная матрица, I - единичная матрица, а t0 =0 – начальный момент времени.

Рассмотрим движение системы (8,13) с начальными условиями Х(t0) = Q, где Q – вектор начальных условий. Интегрируя с учетом (8.15) систему (8.13), получаем из (8.16):



или после интегрирования:

X(t) = eAt·Q + A-1·( eAt – I)·B1 (8.18)

Движение системы описывается соотношением (8.18) до момента времени t*, когда изменяется значение коммутационной функции и, соответственно, вектора В . На интервале t* < t < a , с учетом (8.15) можем записать решение системы (8.13):

(8.19)

справедливое вплоть до следующего момента переключения t = a, причем X(t*) получен из (8.18) при t = t*:

X(t*) = eAt*·Q + A-1·( eAt* – I)·B1 (8.20)

Таким образом, а – периодическое решение системы (8,13) на такте квантования определяется выражением:

(8.21)

включающим неизвестные вектор начальных условий периодического решения Q, момент времени переключения коммутационной функции t* и номер зоны переключений К.

Для определения Q найдем значение вектора X при t = a:

X(a) = eAa·Q + A-1·( eAa – eA(a-t*))·B1 + A-1· (eA(a-t*) – I) ·B2 (8.22)

Учитывая, что X(a) = X(0) = Q и разрешая (8.22) относительно Q, получим:

Q = [I - eAa]·A-1·[( eAa – eA(a-t*))·B1 + (eA(a-t*) – I) ·B2] (8.23)

Далее, из рассмотрения (8.12) ясно, что при t1 = 0, t2 = t*, t3 = a и т.д., то есть в момент времени изменения коммутационной функции, переменная ? в K–й зоне (зоне переключений) обращается в нуль. Тогда при известном периодическом решении легко найти t* как наименьший корень уравнения:

?K (t*) = 0,

или, с учетом (8.12):

(8.24)

где i(t*) и U(t*) – значения вектора X в момент времени переключения.

Для того, чтобы полученное из (8.24) значение t* действительно соответствовало периодическому режиму, должно выполняться очевидное условие:

0 < t* < a, (8.25)

что осуществимо при совместимости неравенств:

?K = (t*)│t*?0 > 0 ?K = (t*)│t*?а < 0 (8.26)

определяющих направление переключения КФ в зоне (см.рис.8.8). Решени­ем неравенств (8.26) и определяется номер зоны переключения К.

Рассмотрим смысл соотношений (8.26) применительно к системам с пропорциональным регулятором. Для нахождения ?K (t*) при t = 0 необходимо иметь периодическое решение системы (8.13), которое получим из (8.20):

X(t*)│t*=0 = eA·0·Q + A-1(eA·0 – I)·B1 = Q,

где Q определяется из (8.23) при условии t*?0:

Q│t*?0 = A-1· B2.

Таким образом, периодическое решение для t*?0 будет стремиться к значению X(0) = - A-1·B2.

Если t*?а, то аналогично:

X(t*)│t*?0 = eA·a·Q - A-1(eA·a – I)·B1 ,

причем Q определим из (8.23):

Q(t*)│t*=a =[I - eA·a]-1·A-1·[ eA·a­ – I]·B1 = -A-1·B1

Окончательно, используя свойство перестановочности матриц и их функций:

X(t*)│t*=a = eA·a·(A-1·B1) + A-1·( eA·a –I)B1 = -A-1·B1.

Так как для системы (8.13) обратная матрица

,

и при переключении в К–й зоне справедливо:

, при t* ? 0;

, при t* ? a.

то существование периодического решения определяется совместимостью следующих неравенств:

(8.27)

В случае широтно-импульсной модуляции, т.е. при N=1, K=1 получим условие существования периодического решения в виде:



Здесь первое из неравенств требует положительности напряжения задатчика UУ при используемом законе изменения развертывающего напряжения (подразумевается, что ? не может быть отрицатель­ным). Второе из неравенств ограничивает напряжение задатчика в соответствии с величиной эквивалентного к.п.д. системы (равного RH/(RH+R)) и приведенного напряжения питания ?∙EП.
Таким образом, условия (8.27) прозрачны физически и сводятся к
необходимости размещения сигнала управления в диапазоне изменения
напряжения развертки.

В общем случае для определения зоны переключений наиболее просто поочередно в каждой из зон находить периодический режим системы совместным решением (8.23), (8.24), причем, в действитель­ности переключения будут происходить в зоне, для которой строго выполняются условия (8.25).

Как было отмечено ранее, реализуемые физически периодические движения отвечают периодическим решениям системы уравнений только при условии, что эти решения устойчивы по отношению к малым внеш­ним возмущениям. Соответственно, заключительный этап численно-аналитического определения периодических движений состоит в выяс­нении устойчивости в малом найденных периодических решений. Вопросы устойчивости удобно рассматривать на основе первого метода Ляпунова путем исследования уравнений в вариациях, описывающих движение, вызванное малым отклонением начальных условий периоди­ческого решения. Возможность использования этого метода для сметем С кусочно-линейными и разрывными характеристиками доказана Н.А. Айзерманом и Ф.Р.Гантмахором, показавшими принципами составления уравнений линейного приближения и применения теории Ляпунова для исследования устойчивости периодических решений систем дифферен­циальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Рассмотрим систему уравнений (8.13) в виде:

(8.28)

где G(t,x) - вектор-функция. В случае периодического движения при

X(t) = XП(t), XП(t) = XП(t+a)

первая часть уравнения (8.28) также является периодической функцией с периодом а. Примем а – периодическое решение ХП(t) системы (8.28) за невозмущенное. Тогда возмущенное решение пред­ставляется как

X(t) = XП(t) + ?(t), (8.29)

где ?(t) - вектор возмущений. Подставив (8.29) в (8.28), полу­чим нелинейную систему в вариациях путем разложения G(t,x) в ряд Тейлора в окрестности периодического решения:

,

где H(t)∙? - линейная часть разложения, а H1(? , t) - его нелинейный остаток. В предположении, что при ? ? 0, H1(? , t) ? 0 получим линеаризованную систему уравнений:

; ?(t0) = ?0 . (8.30)

Матрица системы (8.30) Н(t) = dG(t,ХП)/dх называется матрицей Якоби, и в силу периодичности правой части (8.28) и его решения также имеют период а, т.е. H(t)=Н(t+a).

Уз теории матричных уравнений известно, что любое решение уравнения (8.30) с а-периодической матрицей Н может быть представлено в виде:

?(t) = F(t) ∙ ?(t0), (8.31)

где F(t) - неособая матрица, обладающая свойствами

F(t0) = F(0) = I и F(t+а) = F(t) ∙ F(a), (8.31)

причтем I - единичная матрица, а F(a) - постоянная матрица, называемая матрицей монодромии уравнения (8.31) или основной мат­рицей.

По Ляпунову устойчивость (локальная, асимптотическая) перио­дического решения XП(t) имеет место, если в некоторой окрест­ности этого решения выполняется условие:

limX(t) = XП(t) при t??,

причем

lim?(t) = 0 при t??,

Из (8.31) следует, что устойчивость будет определяться свойствами F(а) и сводиться к требованию локализации собственных значений (мультипликаторов) ?1,?2,…,?N матрицы монодромии внутри еди­ничного круга комплексной плоскости, причем мультипликаторы могут быть найдены как корни уравнения:

det│F(a) - ?∙I│= 0.

Согласно теореме Флоке-Ляпунова [9.8], основная матрица может быть представлена в виде:

F(t) = Z(t) ∙ e pt , (8.33)

где Z(t) – периодическая матрица, причем Z(0) = Z(a) = I, а матрица ? - постоянна и выражается через F(a):



В общем случае матрицу ? найти весьма непросто, однако в слу­чае различных мультипликаторов матрицы F(а) удобнее воспользо­ваться соотношениями между собственными числами матриц F и ?:

, j = 1,…,n;

. (8.34)

Здесь { ?i }j , { ?r }j - мнимые вещественные части j -го мультипликатора матрицы F: { ?i }j , { ?r }j - мнимые и ве­щественные части j -го собственного числа (характеристического показателя) матрицы ?. Таким образом, устойчивость периодичес­кого решения определяется также расположением характеристических показателей ?j матрицы ? (а) в комплексной плоскости и имеет место при

?r1, ?r2,…, ?rN < 0,

Характерной особенностью рассматриваемых систем является на­личие разрывов первого рода в правой части уравнения (8.28), вследствие чего матрица Якоби будет иметь особенности в виде ? - функций:

. (8.35)

где М - число разрывов на периоде решения, HC - составляю­щая без ? -особенностей и HM - коэффициенты при ? – функциях. Тогда уравнение для определения основной матрицы принимает вид:

(8.36)

Задачу поиска F(t) сформируем как задачу решения уравнения:

, F(0) = I (8.37)

с пересчетом в точках t = tm по формулам:

(Fm)+ = Dm(Fm) , (Fm)± = lim F(t), t ? tM ± 0,
где (Fm)+, (Fm) - значения матрицы F справа и слева от точки разрыва tM , Dm - матрица пересчета (скачка) в точке tM.

Найдем связь матрицы пересчета с НM. Представим решение уравнения (8.36) в окрестности точек разрыва tM в виде:

F(t) = (Fm) + [ (Fm)+(t) - (Fm)(t) ]·?(t – tM), (8.38)

где ?(t – tM) – функция Хевисайда (единичная функция).

Подставим это решение в (8.36). Получим:



Продифференцируем (8.38) по общим правилам дифференцирования сложной функции:



с учетом того, что

.

поскольку справа и слева от точки разрыва решение F(t) удовлетворяет уравнению (8.37), то

, .

Получим



Сопоставляя полученное с (8.39), найдем:



Неопределенным здесь является произведение двух обобщенных функций ?(t – tM) и ?(t – tM). В общем случае можно записать:

?(t – tM)· ?(t – tM) = ? ?(t – tM), 0 ? ? ? 1.

Тогда, приравнивая к нулю выражение в фигурных скобках, получим:

(Fm)+(t)·[ I – ?HM] = (Fm)▬­(t)·[ I – (1-?)HM];

(Fm)+(t) = [ I – ?HM]-1·[ I – (1-?)HM] ·(Fm)▬­(t).

В рассматриваемых цепях ? = 1. Тогда

(Fm)+(t) = [ I – ?HM]-1 ·(Fm)▬­(t);

DM = [ I – (1-?)HM]-1.

Рассматриваемые системы в а – периодическом режиме имеют две точки разрыва, связанные с изменением значения коммутационной функции: t1 = t* и t2 = a. С учетом этого запишем в общем виде решение уравнения (8.36). На интервале 0* F(t) известно как решение задачи Коши (8.37):

F(t) = eHc(t) .

Используя (8.38), получим для t = t*:

F(t* - 0) = F(t1 - 0) = F1▬ = eHc t* ;

F(t* + 0) = F(t1 + 0) = F1+ = D1· F1▬ .

Аналогично, при t* < t ? а получим:

F(a - 0) = F(t2 - 0) = F2▬ = eHc(a▬t*) · F1+;

F(a + 0) = F(t2 + 0) = F2+ = D2· F2▬ .
Здесь D1, D2-.значение матрицы скачка в моменты времени t* (m = 1) и a(m = 2). Таким образом, для исследования устойчивости а – периодического режима системы необходимо найти мультипликаторы, основной матрицы F2+, которая для рассматривае­мого случая имеет вид:

F2+ = D2 · eHc(a▬t*) · D1 · eHc t* (8.40)

Определим матрицы HC и HM (m = 1,2) для системы (8.13)

,

причем содержит ? -особенности в моменты вре­мени tM(m=1,2). Таким образом, в соответствии с (8.35)

, .

Далее, необходимо найти частные производные от коммутационной функции. По правилу дифференцирования сложной функции для (8.11), (8.12) получим:

, .

Отсюда

.

Так как с учетом правил получения обобщенных производных:

,

то

. (8.41)

Определим значения производных из (8.41), (8.10) – (8.12) для момента времени tm:

(8.42)

Найдем значение (8.41) в моменты времени t = t* и t = a.

При t = t* (m = 1) при модуляции среза импульса в соответствии с (8.41)

,

тогда

.

Таким образом, для t = t* выражение (8.41) может быть представлено как:

, (8.43)

где l – введенное для упрощения записи обозначение. Из (8.43) следует выражение для Н1:

. (8.44)

При t2 = a,

,

и, следовательно,

.

Тогда при t2 = a (8.41) запишем в виде:

, (8.45)

где Х(1)a , X(2)a - значения вектора состояния в момент t = а. В числитель и знаменатель выражения (8.45) входят синхронные ? – функции, и, следовательно, значение частной производной при t = a будет равно отношению коэффициентов при ? – функциях:

. (8.46)

Как видно, в отличие от (8.43) выражение (8.46) не содержит ? -особенностей и, следовательно, Н2 = 0 , а матрица НС на интервале 0 ? t ? а постоянна везде, кроме точек t = 0 и t = a , где ее элементы получают конечное приращение:



С учетом (8.39) и полученных соотношений для матриц НС и Н1 выражение (8.40) для определения основной матрицы имеет вид:

F2+ = eHc(a-t*) ∙ I-H1] ∙ eHct*

а устойчивость a – периодического режима системы с П -регулятором определяется мультипликаторами F2 + .

Этапы расчета устойчивости найденного периодического решения предусматривают:

  1. формирование исходных массивов, описывающих функционирова­ние системы в соответствии с (8.10) - (8.12);

  2. поиск непрерывной и разрывной составляющих матрицы Якоби,
    включающий определение значений производных от коммутационных
    функций;

  3. определение матрицы скачка при t = t* в соответствии
    с (8.39) и основной матрицы системы из соотношения (8.47);

  4. определение мультипликаторов матрицы монодромии путем ре­шения уравнения:

det│F(a) - ?∙I│ = 0,

которое может быть реализовано операционными или численными мето­дами;

  1. определение характеристических показателей матрицы из со­отношений (8.34).

Изложенная методика поиска периодических решений и анализа их устойчивости может быть положена в основу анализа любых замкнутых импульсных систем, уравнения моделей которых сводимы к кусочно-линейному виду.
8.6. Динамические свойства систем с МИМ. Устойчивость периодических процессов
Направленный синтез требуемых динамических характеристик сис­тем с МИМ требует тщательного изучения связи свойств установивше­гося режима с параметрами системы, регуляторов и управляющих воз­
действий.

Рассмотрим характер изменения периодических режимов в системе с пропорциональным регулятором при изменении коэффициента петлево­го усиления замкнутого контура ? , положив вначале N = 1 , т.е. сведя многозонную модуляцию к широтно-импульсной. При напря­жении управления UУ, равном половине амплитуды напряжения развертки и приведенном на рис. 8.9,б наборе параметров системы (в соответствии с рис.8.7. ) в области 0П = а (рис. 8.9,а); форма переменной составляющей выходного напряжения и коммутационной функции для этого случая по­казаны на рис. 8.10,а. Далее, при 86П=4а при 88146 колебания не имеют явно выраженной периодичности. В облас­ти 56П увеличивается значение пере­менной составляющей выходного напряжения, что наглядно отряжает зависимость коэффициента пульсаций КП от ? (см.рис. 8.9,6). При этом особенно значительным и "неудобным" является увеличение КП при 56П = f(?) становится монотонной, на ней отсутствуют локальные области неустойчивости, характеризующиеся резким ростом коэффициента пульсаций выходного напряжения (см.рис.6.9, пунктирная линия).
Диаграммы изменения характеристик периодических

режимов


Рис.8.9

Периодические режимы в системе с ШИМ



Рис.8.10

Совокупная диаграмма областей существования периодических режимов системы с ШИМ ( N=1 ) в плоскости петлевого коэффициен­та усиления и напряжения управления представлена на рис. 8.11 и соответствует устойчивости в малом. Область существования режима с ТП = а ограничена осью абсцисс и кривей 1. Кривые 1 и 2, 2 и 3 ограничивают области существования режимов. с периодами, соответственно, ТП = 2а и ТП = 4а. Механизм чередова­ния периодических режимов можно проследить по изменению конфигу­рации коммутационной функции с ростом ? (см.рис.8.10). Переход от режима с ТП = а к режиму с ТП = 2а сопровождается возник­новением импульсов с различной длительностью в соседних периодам квантования: при ТП = а для относительной длительности импуль­сов ? справедливо(см.рис.8.10,а):

?I = ?II = ?III = …,

а при ТП = 2а (см.рис.8.10,б)

?I = ?III = ?V = … и ?II = ?IV = ?VI = … .

Дальнейшее увеличение неравенства соседних значений КФ вызывает появление периодических режимов с ТП = 4а (см.рис.8.10,в) и, наконец, при исчезновении одного из импульсов (например, при ?II = ?IV = 0) возникает эффект эквивалентного снижения в 2 раза частоты переключения КФ по сравнению с частотой квантования (см.рис. 8.10,г). Подобным же образом происходит дальнейший процесс обра­зования областей существования периодических режимов с частотой, кратной 2fКВ, где fКВ = 1/а. Назовем области с такими периодическими режимами нормальными областями.

Устойчивости в большом наряду с нормальными властями сущест­вования режимов свойственно возникновение областей с периодами, не кратными 2а. (см.рис.8.10,д), которые, в противоположность предыдущим, назовем аномальными областями. Границы одной из таких областей приведены на рис. 8.II (кривые 4 и 5). Аномальные облас­ти находятся внутри нормальных областей; для них характерны высо­кие коэффициенты пульсаций и расширение границ с одновременным смешением и оси абсцисс при стремлении UУ к 0,5UM . Зави­симости, приведенные на рис. 8.9 — 8.11, позволяют отметить следующее. В системах с ШИМ при некотором наборе внутренних пара­метров предельно возможное значение коэффициентов петлевого усиления ? (с точки зрения обеспечения заданного


Области устойчивости периодических

режимов



Рис.8.11

коэффициента пуль­саций КП) ограничено минимумом функции ? = f(UУ) (кри­вая 1 по рис. 8.11), т.е. ее значением при UУ/UM?0 или UУ/UM?1, т.к. при ТП >а резко возрастает значение КП при величинах сигнала управления, близких к границам поля развертки.

Рассмотренные характеристики, в той или иной мере, свойствен­ны любым системам с модуляцией длительности импульсов. Выделим долее основные особенности развития периодических режимов в замкну­тых системах с многозонной модуляцией ( N>1 ).

Известно [9.2], что в разомкнутой системе с МИМ амплитуда пуль­саций выходного напряжения в N раз меньше, чем для системы с
ШИМ с теми же параметрами непрерывной части. В замкнутых структурах это соотношение также выполняется, но только при частоте пульсации, равной частоте квантования. Подтверждение этому можно найти, сопоставив зависимости, приведенные на рис.. 8.9 и рис. 8.12. Очевидно, что этот эффект объясняется изменением коммутационной функции только в одной из зон при фиксированных состояниях других, как в случае разомкнутой системы с неизменным сигналом управления, так и в случае замкнутой системы, устойчивой в колебаниях с ТП = а
(рис. 8.13,а).

С точки зрения устойчивости периодических режимов в малом за­висимость TП=f(?) , как и в системах с ШИМ, остается монотонной. Однако процесс изменения периодических режимов развивается не только по "горизонтали", т.е. путем уменьшения эквивалентной частоты переключений КФ (и, следовательно, увеличения ТП ), но и по "вертикали", т.к. происходит захват в колебания последовательно возрастающего числа зон (см.рис.8.13,а-д). В случае больших возму­щений зависимость числа зон, участвующих в формировании переменной составляющей, от ? (см.рис.8 Л2,в) нерегулярна, но, как правило, большему количеству упомянутых зон соответствуют более высокие ко­эффициенты пульсаций(см.рис.8.12,в), К - число зон на периоде квантования, участвующих в формировании переменной составляющей выходного напряжения).

Для многозонных структур, с точки зрения устойчивости в боль­шом, как и в системах с ШИМ, характерно наличие аномальных облас­тей существования режимов с периодами, не кратными 2a и сопут­ствующими им высокими коэффициентами пульсаций. Однако эти области возникают при существенно больших, чем для N=1 коэффициентах петлевого усиления, и становится более узкими (см.рис.8.12,а-б). Высокие коэффициенты пульсаций аномальных областей, и обусловлены

Диаграммы изменения характеристик

периодических режимов



Рис.8.12

Коммутационные функции периодических

решений



Рис.8.13

тем, что переключения происходят во всех зонах, и конфигурация КФ системы с МИМ приближается по форме к КФ системы с ШИМ в аналогич­ном режиме (см.рис.8.13,е). Сходный эффект наблюдается в многозонных системах при высоких коэффициентах усиления, когда скорость нарастания сигнала на входе модулятора много больше скорости нарас­тания напряжения развертки, и свойства системы перестает зависеть от числа зон, что соответствует переходу от пропорциональной к ре­лейной модуляции.

Границы областей устойчивости системы с МИМ



Рис.8.14

Для разомкнутых систем с МИМ известно свойство цикличности информационных и энергетических характеристик[9.2]. В замкнутых системах свойство цикличности распространяется и на динамические характеристики, в частности на области устойчивости и их границы (рис.8 .14). При этом необходимо отметить, что при MИM-I экстремумы граничных функций для различного числа зон равны между собой. Важным следствием этой особенности является то, что максимальные значения коэффициента усиления, пригодные для использования в сис­темах с МИМ-1, не уменьшаются с ростом числа зон, несмотря на усложнение закона модуляции и увеличение количества степеней сво­боды системы.

Известным свойством многозонной многофазной модуляции МИМФ-2 является возможность эквивалентного увеличения частоты пульсаций относительно частоты переключений элементарной ячейки пропорцио­нально числу зон и уменьшение амплитуды пульсаций обратно пропор­ционально квадрату числа зон. Следствием этого является расширение области устойчивости периодических режимов с ТП = а/N (дающих наилучшее качество выхода) с увеличением числа зон при неизменных параметрах непрерывной части системы (рис. 8.15). Та­кая особенность систем с МИМФ-2 дает основание считать их наибо­лее перспективными для устройств, в которых необходимы высокие коэффициенты петлевого усиления.



Рис.8.15

8.7. Влияние параметров фильтра на устойчивость

Если нагрузка импульсной системы не обладает сколько-нибудь существенными собственными частотными свойствами, то определяющее влияние на динамику замкнутого контура будут оказывать частотные свойства выходного фильтра преобразователя, и его параметры долж­ны выбираться из условий обеспечения оптимальности не только энергетических, но и динамических процессов. Основной интерес при этом представляет характер влияния параметров фильтра на трансформацию границы области устойчивости периодического режима с TП = а.

Рассмотрим зависимость критического значения коэффициента петлевого усиления ?КР от величины сопротивления нагрузки RH, зафиксировав некоторые значения ? и ?0 , обеспечивающие не­прерывность тока дросселя (рис. 8.16). Как видно, при N = 1 рост величины RH (уменьшение коэффициента нагрузки r = R/ RH) при­водит к уменьшению предельных значений ? и уплощению кривой ?КР = f (UУ). При увеличении r область существования перио­дического режима существенно увеличивается по ?, однако при этом она сокращается по UУ (см.рис.8.16), что. связано с невыпол­нением условий (8.27) существования периодических решений системы (8.23)-(8.24) с периодом TП = а0. Подобные же ограничения об­ласти существования действуют для любого количества зон (см.рис. 8.16) и порождают ограничения, связанные с необходимостью со­блюдения определенных соотношений между напряжением питания EП , амплитудой развертывающего напряжения UМ и максимальной ве­личиной напряжения обратной связи, определяемой в том числе и значением r. Таким образом, приведенные зависимости говорят о наличии двухсторонних ограничений на диапазон изменения сопротивления нагрузки.

Поиск границ областей устойчивости является достаточно слож­ным и трудоемким делом, особенно если границы не гладкие, а облас­ти устойчивости не односвязные и требует выбора специальных стра­тегий движения вдоль границы. Однако структура области устойчи­вости может быть достаточно хорошо предсказала при изучении траекторий движения (годографов) собственных чисел матрицы Р (8.34) по исследуемому параметру системы. Корневые методы исследо­вания широко и эффективно используются при анализе и синтезе ли­нейных систем автоматического управления. В случае нелинейных сис­тем траектории собственных чисел не только несут информацию о сте­пени устойчивости (неустойчивости) периодических режимов, но и дают возможность оценить параметры переходных процессов для воз­мущений, соответствующих выполнению условий локальной устойчивос­ти периодических решений.



Рис.8.17

Траектории действительных ?r и мнимых ?i составляющих собственных чисел при изменении величины ? для фиксированных значений UУ приведены на рис. 8.17. Видно, что UУ/UM = 0.45 собственные числа матрицы Р периодического решения с ТП = а являются действительными при 0 < ? < 2 и ? > 77 и комп­лексно-сопряженными с постоянной действительной частью и нарастаю­щей от куля до ?fКВ мнимой частью (при 2 < ? < 77 ). Таким образом, возникновение неустойчивости исследуемого периодического режима связано с повышением внутренней (собственной) частоты до половины значения ?КВ (круговой частоты внешнего вынуждающего воздействия). Значения коэффициента усиления ?, при которых действительные части собственных чисел равны нулю, являются граничными для соответствующих величин UУПР и позволяют определить диапазон изменения ? при поиске зависимости ?КР = f( UУ ).

Семейство годографов, образованное изменением выбранной в ка­честве параметра величины r, иллюстрирует снижение степени устойчивости системы при уменьшении коэффициента нагрузки (рис.8.18). При этом необходимо отметить, что хотя границы устойчи­вости для r = 0,1 и r = 0,01 достаточно близки (см.рис.8.16), степени устойчивости периодических режимов для этих значений пара­метров, определяемыми величинами ?r , разнятся очень существенно. Последний вывод, безусловно, имеет значение не только в смысле устойчивости в "малом", но и определяет поведение системы в "боль­шом".

Траектории собственных чисел периодического решения хорошо
согласуются с характером переходного процесса в системе при изме­нении r. Действительно, для ? и UУ/UM = 0.5 из рис. 8.18 следует, что значению r=0.4 соответствует действительный корень, что определяет апериодический характер, соответ­ствующей переходной характеристики (рис. 8.19). При r = 0.1 и
r = 0.01 корни комплексно сопряженные, но с существенно различными запасами устойчивости, что приводит к резкому возрастанию перере­гулирования и времени установления режима при изменении коэффициента, нагрузки от 0,1 до 0,01. Интересную особенность имеет зависимость годографов собствен­ных чисел от изменения волнового сопротивления фильтра ? (рис. 8.20). При ? = 10 огибающая годографов, составленная фрагментами траекторий составляющих



Рис.8.18



Рис.8.19

?r1(?) и ?r2(?), которые удовлетворяют условию ?rКР = max(?r1 , ?r2) для каждого из значений ?, имеет два минимума: при lg(?/?0)?1.3 и lg(?/?0)?-1.5. { ?0 - базовое значение), соответствующих максимально достижимым значениям степени устойчивости системы. Аналогичные минимумы имеются на зависимости ?rКР = f (?) и для ? = 70, причем они характеризуются еще большей степенью
устойчивости. Поскольку максимумы и минимумы функции ?2КР = f (?)
отличаются на порядок и более, то направленное применение этой зависимости позволит существенно улучшить устойчивость системы по
отношению к внешним воздействиям.



Рис.8.20

Ранее было показано, что равномерное расширение области ус­тойчивости периодических режимов может быть получено применением в системе МИМФ-2, причем ?КР тем больше, чем больше отношение ?=f/КВ/f0 где f/КВ = fКВ·N, а f0 – собственная частота фильтра системы(см,рис.8.15). Для МИМ-1 можно отмететь, что при выбранном из энергетических соображений значении fКВ рост ? (здесь ?=fКВ/f0) может быть достигнут толь­ко снижением величины f0 и, следственно, сужением полосы пропус­кания системы и ее быстродействия (соответствующие кривые приведе­ны на рис. 8.15 пунктирной линией).
8.8. Влияние параметров регулятора на устойчивость
В случае, когда параметры выходной цепи модуляционного преоб­разователя приходится выбирать неоптимальными с точки зрения сте­пени устойчивости или вообще по независимым от устойчивости сооб­ражениям, коррекция динамических свойств системы осуществляется при помощи регуляторов. Наиболее часто применяемыми на практике являются линейные ПИ- и ПИД - регуляторы, позволяющие определенным образом деформировать частотные характеристики замкнутого контура. Рассмотрим общие закономерности воздействия изменения параметров регулятора на динамические свойства исследуемой системы.

На рис. 8.21 приведены траектории реальных частей собственных чисел при изменении коэффициента петлевого усиления (как пара­метра П - составляющей) ПИ-регулятора для различных значений постоян­ных времени И - составляющей регулятора. Введение интегратора в кон­тур регулирования повышает порядок системы, чему соответствуют три собственных числа на диаграмме.

Интересно отметить, что поведение годографов комплексно сопряженных корней системы с ПИ-регулятором (см.рис.8.21)и с П - регулятором(см.рис.8.17) совпадает для приведенных значений постоянной времени интегратора ТИ. Изменение, величины ТИ приводит к перемещению годографов относительно оси абсцисс: с увеличением ТИ происходит удаление комплексно-сопряженных (на интервале 0r = 0) и приближение к ней действительного корня, что, по аналогии со свойствами линейных систем, должно означать уменьшающуюся склонность системы к колеба­ниям. Очевидно, что, с точки зрения обеспечения максимальной сте­пени устойчивости, представляет интерес значение ТИ0 , при ко­тором реальные части действительного и комплексно-сопряженных кор­ней совпадают при 0r=f(TИ), при­веденная на рис. 8.22, позволяет определить значение ТИ0 для системы с тем же набором параметров. Семейство кривых на этом ри­сунке образовано параметром ?, причем значению ? = 10 соответствуют действительный корень ?r1 (кривая 7) и комплексно-сопряженные ?r2, ?r3 (5) и ?i, │ ?i2 │(3) при ? = 50 и ? = 70 реальные части корней совпадают с аналогами при ? = 10, а мнимым соответствуют кривые 2 и 1,и, наконец, при ? = 80 все корни действительные (кривые 4,6,7). Таким образом, о ростом ? степень устойчивости системы в функции ТU не изменяется вплоть до ? = 76 (см.рис.8.21), а внутренняя частота ее непрерывно возрастает.



Рис.8.21



Рис.8.22

Поверхность области устойчивости периодического режима
с ТП = 0 системы с ПИ-регулятором представлена пространствен­ным изображением (рис. 8.23) зависимости критического значения коэффициента петлевого усиления от UУ и ТU. Видно, что, как и в случае П - регулятора, зависимость ?КР = f( UУ ) имеет экстремум при UУ/UM ? 0.5 в достаточно широком диапазоне изменения ТU, причем отношение ?КР{ UУ/UM?0.5 }/ ?КР{ UУ/UM?0 }
резко падает только при ТU<10-4сек (т.е. ТUКР во всем диапазоне изменения напряжения управления. Образованная сечением поверхности области устойчивости по UУ зависимость ?КР = f( ТU )(см.рис.8.23) имев!1 характерный пологий участок с несущественным изменением ?КР при уменьшении постоянной времени интегратора до значения ТU?10-4сек и участок резкого падения величины
?КР при ТU<10-4сек. Следствием этого является возмож­ность
  1   2


Федеральное Агентство Образования
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации