Шпоры - Электродинамика и распространение радиоволн - файл n2.docx

приобрести
Шпоры - Электродинамика и распространение радиоволн
скачать (801.3 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.rar
n2.docx289kb.13.05.2010 18:40скачать

n2.docx

2. Сокращение масштабов, собственное время.

Из правил Лоренца вытекает, что свойства движущихся часов и линеек отличаются от свойств покоящихся.

f:\цапков\2_1.jpg
Какова будет длина линейки в движущейся системе?

Пусть линейка покоится относительно K', то есть она движется относительно системы K.
Используем преобразование Лоренца











- собственная длина линейки - это длина, измеренная в той системе отсчета, относительно которой объект покоится, при чем зависит она только от свойств линейки.
Полученный эффект называется эффектом сокращения пространства. Движущийся предмет выглядит более коротким. Если линейка ориентирована перпендикулярно, то ее длина не меняется. В случае трехмерного объекта со сторонами , он имеет объемы:









- собственный объем - объем объекта в системе, относительно которой объект покоится.

Объем объекта при переходе в движущуюся систему отсчета изменяется (уменьшается).
Р/м свойства движущихся часов. Имеются часы, которые покоятся относительно системы K', и измеряют в ней отрезок времени :





Определим, какой промежуток времени прошел для наблюдателя, находящейся в K







- собственное время - промежуток времени, измеренный в системе, где часы покоятся.

Часы для покоящегося наблюдателя движутся быстрее, чем для движущегося.

Собственное время является минимальным из всех времен.

Р/м случай неравномерного движения

f:\цапков\2_2.jpg

Разбить движение объекта на множество интервалов - таких, на которых скорость не меняется.

Введем понятие воображаемой системы отсчета (сопутствующей) - система отсчета, которая движется вместе с телом, относительно которого объект всегда покоится.

Каждая "система" имеет смысл только на бесконечно малых промежутках времени dt, то есть на таких малых, что на каждом отрезке движения за время dt скорость можно считать постоянной. - собственное время для объекта.





- собственное время по часам движущегося наблюдателя.





- инвариантная величина: произведение трехмерного объема на временной интервал остается постоянным в любой системе отсчета. Четырехмерный объем так же сохраняется.


3. Преобразование скорости и аберрации света

Закон сохранения скоростей:

d:\документы\документы семья\наташа\3_1.jpg

Для движущейся системы отсчёта

Определим математический смысл поставленной задачи.

=

Для наблюдателя в системе K’.

=

= =
= =


(1)

Здесь (2) формулы преобразования скоростей.

K?K’ (x, y, z) ? (x’, y’, z’) – для обратного преобразования (2)
Здесь (3) – формулы обратного преобразования.
Аберрации света.





d:\документы\документы семья\наташа\3_2.jpg




d:\документы\документы семья\наташа\3_3.jpg



ф = ф’

Следовательно, поворота вокруг оси x не происходит.

=

В релятивистском случае угол Ѳ немного меньше, то есть происходит смещение векторов скорости в направлении движения. Представим свет как поток частиц, каждая из которых движется со скоростью света. Мы знаем, что скорость света одинакова во всех системах отсчёта. Изменение скорости света происходит за счёт изменения угла Ѳ.

=

<<









4. Геометрический смысл преобразования Лоренца.

Любая точка в 4-хмерном мире характеризуется четырьмя числами (x,y,z,t).

При описании событий мы используем числовые значения.

Мировая линия – совокупность последовательных событий.

f:\цапков\4_1.jpg







При переходе в другую систему отсчета квадрат расстояния не меняется.




f:\цапков\4_2.jpg




Введем , тогда:





В плоскости x? преобразование Лоренца соответствует повороту системы координат на псевдо-угол ?.





Переход от покоящейся к движущейся системе отсчета в 4-хмерном мире соответствует повороту. При повороте не изменяется и расстояние между 2-мя точками (событиями).



Если рассматривать события 1 и 2, то расстояние между ними не изменяется.



Рассмотрим релятивистские эффекты

1) Понятие одновременности событий

f:\цапков\4_3.jpg

В новой системе отсчета события уже не одновременные

2) Эффект сокращения длины

f:\цапков\4_4.jpg

;

3) Эффект замедления времени

f:\цапков\4_5.jpg

;

4) Если скорость относительного движения сонаправлена с осью y, то такому движению будут соответствовать поворот оу?.

Результат 2-х последовательных переходов – 2 поворота плоскостей. Результат зависит от порядка выполнения перехода.

Преобразование Лоренца некоммутативное. Исключение: составное движение производится вдоль одной оси.

_______________________________________

14. Уравнение электромагнитного поля. Первая пара уравнений Максвелла.



Уравнение электромагнитного поля







– поле соленоида






Поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю

f:\цапков\14_1.jpg
6. Четырехмерные векторы, тензоры и скорости.

Все физические величины, законы, формулируются в векторной или тензорной форме. Объяснением этому служит то, что векторная или тензорная форма указывает на тот факт, что величина не привязана к системе координат. Так как пространство 4-мерное, то необходимо пересмотреть все физические законы на 4-мерное представление. Введем понятие 4-мерного вектора:

f:\цапков\6_1.jpg

– четырех-радиус-вектор.



Запишем преобразование Лоренца для 4-вектора.





=() – 4-вектор как совокупность 4-ех величин в некоторой системе отсчета, которые при переходе к другой системе отсчета преобразуются так же, как и компоненты 4-ех радиус-вектора.



Основное свойство вектора: инвариантность относительно системы координат сохраняется для 4-вектора. Но его проекция на оси является инвариантной величиной. Соотношения между векторами также инвариантны, так как все вектора преобразуются по одинаковой схеме. Вектор - это тензор первого ранга, скаляр - это тензор нулевого ранга (величина, неизменная при любых преобразованиях координат).

Скалярное произведение 2-ух 4-векторов инвариантно:






- запись Эйнштейна

- преобразование для радиус-вектора





4-ех тензор второго ранга () - совокупность 16 компонент, образующихся как произведение компонент векторов;





Единичный 4-ех тензор: A









(1) - тензор второго ранга,

(2) - 4-ех тензор третьего ранга,

(3) - 4-ех тензор четвертого ранга.

Свертка: – 4-ех тензор третьего ранга

1. grad

скалярная функция 4-ой точки пространства

2. div

f - скалярная (инвариантная) величина

- 4-ех мерная дивергенция

3. rot



4. Оператор Лапласа

- скалярная функция

) = – оператор Даламбера

Все вышеописанные операции являются тензорными и, следовательно, инвариантными. Таким образом, результат этих операций будет для всех одинаковым.

Пример 4-ех мерной скорости:

f:\цапков\6_2.jpg

т.к. скорость в 4-ех мерном пространстве определить нельзя, так как время не является тензорной величиной в этом случае;

, - собственное время





Выразим компоненты 4-ех скорости через 3-ех мерный вектор скорости:

,





; ; ; ) = ;
Свойства 4-ех вектора скорости.

Возьмем модуль:

, вектор 4-ех скорости меняется только за счет направления, а его величина остается постоянной.

Определим 4-ех ускорение: , так как длина вектора скорости не изменяется, то 4-ех ускорение всегда ортогонально 4-ех скорости ? скалярное произведение скорости на ускорение равно 0.

/ : d



_______________________________________

9. Уравнения движения заряда в ЭМП.

Поставим задачу: как движется заряженная частица во внешнем ЭМП?

Рассмотрим уравнение движения частицы. Запишем уравнение Лагранжа.

- = 0

Подставим конкретный вид функции Лагранжиана в уравнение:

= + =





= = +

где – обобщенный импульс;

Для частицы во внешнем поле обобщенный импульс не совпадает с самим импульсом частицы.

Найдем полную производную по времени от обобщенного импульса:

= +

т.к. =

Вычислим производную Лагранжа по координате:



- z

- y

x







Объединим в одно уравнение:

-

Поставим следующую задачу: нам известно ?, и е. Нам нужно найти импульс и скорость.

Таким образом, последнее уравнение – ду одной переменной (векторной величины) и .

Первое слагаемое данного уравнения зависит только от поля. Правая часть – это силы, действующие на частицу со стороны заданного эмп.

Принято использовать следующие обозначения для величин, входящих в правую часть.







Принято называть вектора и , векторами напряженности электрического поля и вектором магнитной индукции соответственно.

Вектора и описывают свойства эмп и являются двумя частями одного целого.

7. Принцип наименьшего действия.

Для каждой физической системы мы можем ввести функцию Лагранжа, описывающую эволюцию системы:



f:\цапков\7_1.jpg

Ставится задача: как выбрать истинную траекторию.

Введем понятие принципа наименьшего действия (ПНД):

– действие вдоль траектории.

Истинная траектория между точками 1 и 2 - это та траектория, действие вдоль которой минимально.

При переходе к четырехмерному пространству формулировка ПНД не меняется. Траектория – мировая линия.

Рассмотрим пустое пространство и свободную частицу. Лагранжиан такой частицы:

, траектория – прямая линия.

Сформулируем дополнительное условие на ПНД исходя из равноправности систем отсчета: действие должно быть скалярным.

Траектория также не должна изменяться из одной ИСО в другую ИСО.

f:\цапков\7_2.jpg



Найдем выражение Лагранжиана для свободной частицы в четырехмерном пространстве и времени.

f:\цапков\7_3.jpg

Разобьем траекторию на маленькие интервалы dS.

inv характеристика траекторий длина



– не меняет сущности действия







При V 0 и разложив это выражение в ряд



Можно потребовать, что на малых скоростях Лагранжиан должен преобразовываться к классическому виду.

Множитель ?c = const – соответственно

, =>

релятивистское выражение для Лагранжиана свободной частицы.

Соответственно, зная функцию Лагранжа, можно установить характеристики частиц при любых скоростях.

, ,

= , = = , = = , = =

=



+ + - L = + m = E = =

E =

При скорости движения равной нулю, любая частица обладает энергией (энергия покоя).

= - формула Эйнштейна, это есть следствие инвариантности ПНД.

Если скорость частицы отлична от нуля, то полная энергия .

Из выражения для импульса и энергии частицы можно выразить связь между p и E.



Это выражение позволяет вычислить импульс частицы без массы, то есть если объект обладает энергией, то он обладает и импульсом.

Приведем рассмотренные величины к четырехмерной форме записи.

= m = ()



Четвертой компонентой импульса является энергия, поэтому энергии.

В четырехмерном мире нельзя рассматривать отдельно импульс и энергию, так как они являются компонентами одного вектора:

=

= ?( - i), = , = , = ?(i + )

= ?( - i) = ?( + )

= ?( + ) => E=?(V + E’)
Алгоритм отыскания преобразования величины при переходе из одной ИСО в другую:

1. Определение трехмерной величины как четырехмерной

2. Применение преобразования

3. Раскрытие индексной формы записи
Найдем четырехмерную функцию Гамильтона:

= = = -m = + + + = -

= +



_______________________________________

8. 4-x мерный потенциал

Перейдем к описанию электрических явлений. ЭМП р/м как самостоятельно существующий объект. Для выявления существования поля проведем мысленный эксперимент.

f:\цапков\8_1.jpg

Частицы движутся равномерно. Относительно движущейся системы события в точке А и В будут неодновременными. С точки зрения движущегося наблюдателя события в точке А наступит раньше, чем в В |=> в какой-то момент времени первая частица будет двигаться без ускорения, а вторая ускоренно |=> изменится импульс системы на некотором промежутке времени |=> нарушается закон сохранения импульса (этого быть не должно) |=> в нашей системе чего-то нахватает.

Способ разрешения парадокса - предположение существования 3-го объекта – ЭМП. Данный прим. показывает, что ЭМП существует как самостоятельный объект. Заряженные частицы никогда не взаимодействуют друг с другом. Они всегда взаимодействуют с полем.

f:\цапков\8_2.jpg

Каковы обобщенные координаты ЭМП? Обобщение большого количества материальных факторов приводит к утверждению, что заряд частицы полностью описывает эл.маг. свойства этой частицы. f:\цапков\8_3.jpg

Заряд - это скаляр инвариант. ЭМП полностью и однозначно описывается 4-х вектором Ai(ri). Этот вектор мы будем называть 4-х мерным потенциалом ЭМП. Ai – принадлежит всему пространству.

Обратимся к принципу наименьшего действия. Действие для частицы, находящейся в ЭМП, можно описать как . Где - действие свободной частицы, – взаимодействие частицы и поля



предполагается что - заданная величина.

При наличии поля лучшей траекторией будет не прямая, а кривая. Это обусловлено существованием потенциала

Исходя из этих позиций найдем функцию Лагранжа для частицы во внешнем ЭМП.








Обобщим полученный результат:






5. Интервал и причинность

Интервалом называется характеристика для двух любых событий, которая определяется так:







Интервал является кривой, не зависящей от системы отсчёта, то есть интервал инвариантная величина. Рассмотрим частные случаи

1) > 0. Это возможно, когда пространственные координаты не вносят существенного вклада в величину интервала. Такой интервал называется времени подобным.5_1.jpg

2) < 0 пространственные координаты вносят существенный вклад в величину интервала. Такие интервалы называются пространственно подобными

5_2.jpg

3) пространственные и временные координаты вносят одинаковый вклад. Такие интервалы называются нулевыми или световыми.

5_3.jpg
Установим причинно – следственную связь между событиями. Если информация приходит в некоторую точку, то эта точка является следствием, какого-то события. Пусть мы рассматриваем точку 1, и все события рассматриваем относительно неё. Данная фигура - трёхмерный конус в четырёхмерном пространстве. Нижняя часть конуса является областью абсолютного прошлого конуса. Верхняя его часть называется областью абсолютного будущего. Область вне конуса называется абсолютно удалённой. Событие 1 – следствие любого из событий снизу и причина любого из событий сверху.

Для любого события внутри конуса интервал является времениподобным, вне конуса по отношению к 1 – пространственноподобным.

_______________________________________

10. Калибровочная инвариантность. Функция Гамильтона.

Для того, чтобы найти вектор электрического поля, мы должны, исходя из уравнения движения, поместить частицу в поле и измерить силу



Второй шаг – измеряем силу, действующую на неподвижную частицу, вычитаем кулоновскую силу, => определяем вектор .

Это главный и единственный способ определения и . Вернемся к определению полей и через и . Через эти опр-ния не видно прямого способа измерения и .

Если и измеримы, то можно ли восстановить и по этим векторам?

Да, можно восстановить, но неоднозначно.

















Мы убедились, что потенциалы определены неоднозначно.

Преобразование потенциалов, не изменяющее векторов поля называется калибровочным преобразованием или градиентным преобразованием.





Принцип калибровочной инвариантности:

Всякое математическое выражение, описывающее измеряемые характеристики электромагнитного поля, не должно меняться при калибровочных преобразованиях потенциалов.





- энергия частицы во внешнем поле. Она состоит из энергии свободной частицы и энергии воздействия поля.

11. Тензор ЭМП.

Если мы покоимся в системе, то на нее не действуют силы. Если же мы находимся в движущейся системе, то



Необходимо найти инвариантное написание четырехмерной формы для электромагнитного поля.

Получим четырехмерный объект, описывающий четырехмерное поле.

Вернемся к рассмотрению заряженной частицы во внешнем элементарном поле. Повторим вывод в четырехмерной форме.

f:\цапков\11_1.jpg

Если выбранная траектория истина, то действие по очень близкой траектории будет больше. - вариация траектории.







Вариация действия вдоль истиной траектории равна нулю. Раз это справедливо, воспользуемся этим.







Домножим на :



Продифиринцируем это выражение:







Под знаком интеграла останется:



Так как



- функция, которая зависит от координат радиус-вектора.





Подставим данные записи в исходный интеграл, получим:



произведем замену: :









(четырехмерное обобщение уравнения движения частицы в поле)





(характеристическое силовое воздействие поля, тензор эл.маг. поля)



















Эл.маг. поле опр-ся так же как и тензор , точнее как его проекция на оси в выбранной системе координат. Для полного определения поля необходимо определить и эл. и маг.поле – это единый объект.































_______________________________________

13. Инварианты электромагнитного поля.

Есть ли у магнитного поля величины, которые являются инвариантами

; - 4тензор 4-го ранга



в этом произведении каждый элемент умножается сам на себя

- скаляр inv (инварианта)

При переходе из одной системы в другую : исходя из инварианта , если для некоторого наблюдателя , то всегда найдется такая система отсчета, где не будет поле Е, а будет только В.

Введем понятие единичного антисимметричного тензора



0,если два индекса из iklm совпадают;

1,соотвествует четным перестановкам этих индексов и если все индексы отличаются друг от друга;

-1,если все индексы отличны и составляют нечетную перестановку
Пример


Нечетной перестановкой называют такую перестановку, в которой мы производим замену нечетное количество раз.



Четной перестановкой называют такую перестановку, в которой мы производим замену четное количество раз.


слагаемых = 8(-i)-8(-)(-i)+8

-8i()= -8i ()=inv=

Вид угла (острый, тупой, прямой) между векторами остаются такими же во всех системах отсчета.

Т.е., меняя систему отсчета, мы можем добиться любых значений векторов однако инварианты сохраняют свои значения.

Других базовых инвариантов у электромагнитного поля – нет.

– inv ЭМП (инвариант электромагнитного поля)
+ 1 2 3 4

- 1 2 4 3

- 1 3 2 4

+ 1 3 4 2
+ 1 4 2 3

- 1 4 3 2

- 2 1 3 4

+ 2 1 4 3
+ 2 3 1 4

- 2 3 4 1

- 2 4 1 3

+ 2 4 3 1
+ 3 1 2 4

- 3 1 4 2

- 3 2 1 4

+ 3 2 4 1
+ 3 4 1 2

- 3 4 2 1

- 4 1 2 3

+ 4 1 3 2
+ 4 2 1 3

- 4 2 3 1

- 4 3 1 2

+ 4 3 2 1
12. Преобразование Лоренца для электромагнитного поля.

Пусть есть некоторая физическая величина. Рассмотрим разные обобщенные системы отсчета. Как меняется данная физическая величина, при переходе между различными системами отсчета? Меняется не сама физическая величина, а ее численное значение (проекции на оси выбранных систем).

Численным выражением электромагнитного поля является компоненты тензора электромагнитных волн или компоненты 2-х векторов.

Пусть в системе нам задана некоторая конфигурация электромагнитного поля. Пусть это поле покоится относительно. Нам необходимо выяснить параметры этого поля относительно системы К.







===

Выводы: 1. будет в раз больше, чем .

2. На влияет также поперечная компонента электрического поля .



3. Компонента вдоль движения не меняется, при переходе между системами отсчета. Найдем компоненты тензора =(-)+

Поле в раз будет больше, чем в поле, где поле

;

;

;

;

Общая формула поперечной компоненты:



Существуют системы отсчета, в которых вектор электрического поля и вектор магнитного поля будут равны 0. (Можно подобрать такую систему)





1. Основные постулаты СТО. Преобразования Лоренса

Постулаты:

1) Существуют инерциальные системы отсчета.

2) Принцип относительности: любое явление природы происходит одинакового во всех ИСО при одинаковых условиях.

3) О скорости передачи взаимодействия: Нет мгновенности. Взаимодействие частиц происходит не бесконечно быстро. Предел скорости распространения взаимодействия существует и равен скорости распространения света в вакууме м/с.

4) Принцип симметрии пространства и времени (свойство неизменности при преобразованиях) Все точки пространства равноправны, Любое явление может происходить в любой точке пространства. Пространство инвариантно по отношению к сдвигам и вращению, время инвариантно по отношению к сдвигам.

2й и 3й постулаты определяют в совокупности принцип относительности Эйнштейна.

Правило Лоренса, преобразование Лоренса.

Точки четырехмерного пространства-времени называются событиями. Эти точки называются – мировыми точками. Каждой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.

f:\цапков\1_1.jpg

Точки 4-мерного пространства-времени называются событиями. Должна существовать связь между двумя способами описания одного события.

















Тогда для линейного движения в K’ должно сохранять свой тип в К.



1.



2. ,



3. ,



4. ,



5. …

6.

;

;

Выпишем то, что осталось от начальной системы



7. Воспользуемся постулатом об относительности

; ; ; ;

















8. ;

;



9. ; ;











10.















;



- прямое преобразование Лоренца



- обратное преобразование Лоренца

- при малых скоростях:



В случае малых скоростей преобразования Лоренца не дают поправки.



2. Сокращение масштабов, собственное время
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации