Шпоры по физике (1 семестр) - файл n13.doc

приобрести
Шпоры по физике (1 семестр)
скачать (925.9 kb.)
Доступные файлы (14):
2.4-2.5.doc71kb.19.01.2005 17:22скачать
n2.db
n3.doc352kb.20.12.2006 22:02скачать
n4.doc293kb.22.11.2006 00:48скачать
n5.doc71kb.14.10.2006 17:48скачать
n6.doc846kb.25.02.2005 03:52скачать
n7.doc569kb.26.10.2006 20:00скачать
Fizika tumba.doc91kb.20.12.2006 22:02скачать
n9.doc1451kb.31.10.2003 13:20скачать
n10.doc985kb.08.02.2005 13:49скачать
n11.doc634kb.21.04.2004 15:11скачать
n12.doc263kb.29.10.2006 00:26скачать
n13.doc263kb.20.12.2006 22:02скачать
n14.doc69kb.26.10.2006 20:00скачать

n13.doc

  1   2   3

1.1 Элементы кинематики

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин этого движения

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ:

Матерьяльная точка – это тело, размером которого по условиям данной задачи можно принебречь. Возможность не учитывать размеры тела при механическом движении определяется не размерами самого тела, а условиями рассматриваемого движения. Например, космический корабль при описании его движения по орбите может быть взят в качестве матерьяльной точки, а космонавт, находящийся внутри этого корабля не может считаться матерьяльной точкой.

Абсолютно твердое тело – это тело, которое не при каких условиях не деформируется, т.е. расстояние между любыми 2мя его точками остается постоянным. Существование абсолютно твердых тел запрещено теорией относительности.

Система отсчета – одно или несколько тел, относительно которых рассматривается движение данного тела.

Кинематическое описание движения тела: уравнение движения матерьяльной точки при координатном способе задания

[ r = i * x ( t ) + j * y ( t ) + k * z ( t ) ].

Число степеней свободы – число независимых координат, определяющих положение точки в пространстве.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая линия, связанная с телом остается параллельной сама себе.

Вращательное движение – это такое движение тела, при котором каждая точка тела движется по окружности, центр которой лежит на одной прямой, оси вращения.

Траектория – линия, вдоль которой движется тело.

Путь – длинная траектории.

Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называется перемещением.

Скорость показывает простоту изменения тела в пространстве.

Пусть моменту времени t1 соответствует радиус-вектор r1 движущейся точки, а близкому моменту времени t2 – радиус-вектор r2. Тогда за малый промежуток времени (delta) t точка совершит малое перемещение, равное (delta) s = (delta) r = r2 - r1. (рисунок – веторы r1, r2 выходят из нуля к точке 1, 2 на кривой; точки 1 и 2 соединены и образуют вектор deltaR; вектор средней скорости проходит через 1 и 2, а просто скорость выходит из точки по прямой). v (среднее) = < v > = (delta) s / (delta) t = (delta) r / (delta) t . Вектор средней скорости направлен вдоль вектора перемещения.

Более полно описать движение позволяет мгновенная скорость, т.е. скорость в любой момент времени. Она равна lim (при delta t 0) delta r / delta t = r ‘ ( t ). Вектор мгновенной скорости направлен по касательной траектории данной точки. Модуль полной скорости равен:

| v | = (корень) v (ст.2) по х + v (ст.2) по y + v (ст.2) по z

Ускорение показывает скорость изменения скорости. a ( среднее ) = delta v / delta t. (рисунок – точка на полуокружности, от нее 2 вектора скорости, вверх и вправо, их соединяет delta v, вдоль нее уходит в некуда вектор среднего ускорения). Мгновенное ускорение – a = lim (delta t  0) delta v / delta t = dv / dt = v ‘ (t). Направление вектора ускорения составляет некоторый угол с вектором скорости. Угол АЛЬФА между векторами скорости и ускорения может изменяться в пределах 0 <= АЛЬФА <= ПИ. Углы АЛЬФА=0 и АЛЬФА=ПИ соответствуют прямолинейному движению. При 0 <= АЛЬФА <= ПИ/2 модуль скорости возрастает, при ПИ/2 < АЛЬФА <= ПИ модуль скорости убывает. При АЛЬФА = ПИ/2 модуль скорости не изменяется.

Вектор ускорения АЛЬФА при криволинейном движении тела обычно представляют в виде суммы двух составляющих, направленных следующим образом: одна по касательной к траектории – это тангенсальное ускорение, вторая по нормали к касательной – нормальное ускорение.

a (нормальное) = v (ст.2) / R //// a (тангенсальное) = dv / dt ///// | a | = (корень) a тангенсальное (ст.2) + a нормальное ст.2.

Прямолинейное ускоренное движение. Если матерьяльная точка движется по прямолинейной траектории, то ее нормальное ускорение равно 0. Модуль полного ускорения равен модулю тангенсального. (рисунок – полуокружность, на ней точка, тангенсальное ускорение напралено по касательной, а нормальное перпендикулярно ей, сумма векторов дает ускорение). Т.к. тангенсальное ускорение характеризует только изменение модулю скорости: a = а тангенсальное = dv / dt = v ‘ ( t ). Если модуль скорости возрастает, то тангенсальное ускорение положительно, а вектор тангенсального ускорения направлен вдоль вектора скорости. Если же модуль скорости убывает, то тангенсальное ускорение отрицательно, а вектор тангенсального ускорения направлен противоположно вектору скорости.

S = интеграл от v * dt

Движение точки по окружности. При равномерном движении мат.точки по окружности радиус-вектор r точки описывает за время deltaT равные углы deltaФИ. Отношение deltaФИ / deltaT = ОМЕГАмаленькое, называемое угловой скоростью, остается постоянным. За время deltaT = Tбольшое, за которое совершается один оборот, радиус-вектор повернется на угол deltaФИ = 2ПИ. Следовательно ОМЕГАмал. = 2ПИ / T. Учитывая, что частота вращения v = 1 / T, получим ОМЕГАмал = 2ПИv.

Модуль скорости при таком движении (линейная скорость) равен производной от длины дуги по времени: скоростьV = ds / dt = s’ ( t ).

(рисунок – окружность, 2 точки, расстояние между ними deltaS, от нуля до точек проведены вектора r, угол между ними deltaФИ). Так как deltaS = r * deltaФИ, то между модулями линейной и угловой скорости получается:

v = r dФИ / dt = r ОМЕГАмал. Так как модуль скорости остается неизменным, а вектор скорости меняется по направлению, то ускорение в этом движении связано только с изменением направления скорости, т.е.

вектор a нормальное = lim (при delta t 0) вектор delta v нормальное / delta t = dv нормальное / dt.

(рисунок – точки A и D на окружности, delta s, r, угол АЛЬФА между радиус-векторами, вектор скорости по касательной к точке A v1 и тоже к точке D v2; проекция v2 к точке A; теперь расстояние между v1 и v2 = BC = delta v нормальное; расстояние от точки A до D = delta t)

Из рисунка видно, что треугольник ABC равнобедренный. Если delta t  0, то угол АЛЬФА между векторами v1 и v2 также стремится к нулю, т.к. сумма углов в треугольнике равна ПИ, то угол между векторами delta v нормальное и v в пределе равен ПИ/2. Следовательно вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости. Т.к. вектор скорости всегда направлен по касательной, то вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.

Если матерьяльная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, то это движение происходит с ускорением, направленным в каждый момент времени перпендикулярно вектору скорости.

a нормальное = v (ст.2) / r = v ОМЕГАмал = ОМЕГАмал. (ст.2) r = 4ПИ (ст.2) r / T (ст.2) = 4ПИ (ст.2) v (ст.2) r

Угловое ускорение: Е = dw / dt.

В случае равноускоренного движения –

ФИ = ФИ нулевое + w нулевое * t + E * t (ст.2) / 2

Произвольное криволинейное движение:

a = a тангенсальное = dv / dt = v ‘ ( t )

a нормальное = v / r * lim (при delta t 0) delta s / delta t = v (ст.2) / r

Причем r в выражении – это не радиус окружности, а радиус кривизны траектории в этой точку.
1.2 Динамика поступательного движения

Динамика изучает движения тел и причины, вызывающие это движение.

Чтобы решить основную задачу механики, необходимо выбрать рациональную систему отсчета и выяснить причины возникновения ускорений. Раздел механики, где решаются эти задачи называется динамикой. Механику, основанную на законах Ньютона называют классической механикой.

Масса – мера количества вещества. F=ma, F=G * m1 * m2 * / R*R

Импульс тела – количество движения. P = m v (вектор) – справедливо для матерьяльной точки. Если тело имеет конечный размер, то импульс этого тела можно найти как векторную сумму импульсов матерьяльных точек, на которое можно разбить это тело. P – импульс.

Сила – мера взаимодействия тел друг с другом. 4 вида взаимодействий:

1. Гравитационное – взаимодействие притяжения 2х тел, обладающих массой.

2. Слабые взаимодействия – ответственно за некоторые виды распада элементарных частиц, в частности за бета-распад.

3. Электро-магнитные взаимодействия – кулоновская и лоренцева силы.

4. Сильное взаимодействие – обеспечивает связь нуклонов в ядре. Закон всемирного тяготения:

F=G m1 m2 / R * R; Fk = (1 / 4ПИ * Rнулевое) * (E1 E2 / R * R);

Fл = kq[v,b (векторы)]

1 закон Ньютона: Если на тело не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Согласно этому закону всякое тело, не подверженное внешнему воздействию находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно.

Первый закон выполняется только в инерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета ускорение тела может быть вызвано только его взаимодействием с другими телами.

2 закон Ньютона: F = ma (F,a-векторы); a = F / m; ma=F1+F2+…+Fn;

a=dv/dt; F=m dv / dt = d(wv) / dt = dP / dt; [ F = dP / dt ]; В таком виде 2ой закон применяется для описания движения тела с переменной массой.

Fх= dPx / dt= m dVx / dt= m d2 X / d t*t; Fy= m d2 Y / d t*t; Fz= m d2 Z / t*t

3 закон Ньютона: 2 тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению. 3-ий закон позволяет перейти от динамики отдельной матерьяльной точки к динамике системы матерьяльных точек. Это следует из того, что и для сист.мат. точек взаимодействия этих матерьяльных точек сводятся к парным взаимодействиям.
1.3 Закон сохранения импульса

Замкнутой системой матерьяльных точек называется система матерьяльных точек, рассматриваемое как единое целое. Силы, действующие между матерьяльными точками, входящими в замкнутую систему называются внутренними. Силы, с которыми на мат.точки замкнутой системы действуют внешние тела, называются внешними.

Согласно 3му закону Ньютона геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

(F’ – внутр., F – внеш.) Пусть система состоит из n матерьяльных точек:

[знак системы] d (m1 v1) / dt = F1’ + F1; ….; d (mn vn) / dt = Fn’ + Fn.

Сумма всех внутренних сил F’ = 0 !!! F, P – векторные величины

(d / dt) * (m1 v1 + … + mn vn) = F1 + … +Fn

dP / dt = F , где F – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек. F = 0  dP / dt = 0  P = const

Закон сохранения импульса: Если равнодействующая всех сил, приложенных к замкнутой системе матерьяльных точек равна нулю, то суммарный импульс в замкнутой системе остается постоянным.

Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов физики. Он справедлив не только в классической механике, но и в квантовой. Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородность. При параллельном переносе в пространство замкнутой системы как целого, ее физические свойства и законы движения не изменяются. Импульс системы матерьяльных точек может быть выражен через импульс центромасс этой системы.

(рисунок – ось ОХ, точки 0, x1, x0, x2; от x1 и x2 вниз идут вектора – m1, m2 - масса; расстояние от x1 до x0 = Xc – X1; от x0 до x2 = X2 – Xc)

m1 g (Xc – X1) = m2 g (X2 – Xc); m1 Xc – m1 X1 = m2 X2 – m2 Xc;

(m1 + m2) Xc = m1 X1 + m2 X2; Xc = (m1 X1 + m2 X2) / m; m= m1 + m2;

Xc= (сумма Mi Xi) / m ; r центромасс = (сумма m * r) / m ;

v центромасс = dr / dt = (d / dt)*([сумма m*v] / m) = (сумма m * dv / dt) / m =

(сумма m*v) / m = P / m ; P = m * v центромасс ; Видно, что сумма импульсов замкнутой системы матерьяльных точек равен импульсу центромасс этой системы – dP / dt = F1 +…+Fm ;

m * (dv центромасс / dt) = F1+…+Fm

dP / dt = F ; dP = F * dt. Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.

Реактивное движениею Уравнение Мещерского.

(рисунок – летящая ракета, подписи – t+dt ; m –dm ; v+dv ; над хвостом подпись – dm (u+v)). dP = (m – dm)(v dv) + (u + v)dm – mv = mv +vdm + mdv – dm dv + udm + vdm – mv = mdv + udm. dP = mdv + udm ; Разделим обе части на dt: dP / dt = mdv / dt + udm / dt ; ma = F – udm / dt ; Fp = udm / dt (реактивная сила). [m*a = F – Fp] – уравнение Мещерского.

Если внешние силы на систему не действуют, то F=0 ; ma = - udm / dt ;

mdv / dt = - udm / dt; mdv = - udm; dv = - udm / m ;

v = - (интеграл от m 0 до m 0 – m) udm / m = - u (интеграл) dm / m =

= u*ln (m 0 /m 0 - m). Уравнение цеалковского [v = u*ln (m 0 / m0 - m)]

v – конечная скорость, u – скорость истока газа, m – масса ракеты.
1.4. Закон сохранения энергии.

Работа и кинетическая энергия. Мощность.

В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина, называемая энергией.

Движение – неотъемлемое свойство материи, поэтому любое тело, любая система тел и полей обладает энергией.

Энергия системы количественно характеризует систему в отношении возможных в ней превращений движений.

Изменение механического движения тела и следовательно его механической энергии возможно за счет действия на это тело других тел, т.е. сил. Элементарной работой, силой F, называется величина, равная

dA = F * dr = F dr cosАЛЬФА ; |dr| = ds ; Работа равна нулю в том случае, если: 1. тело неподвижно dr = 0  dA= 0. 2. АЛЬФА=+ - ПИ/2, dA= 0.

dA>0, если АЛЬФА – острый угол и dA< 0, если АЛЬФА – тупой угол.

Вектор F (Fx, Fy, Fz) ; вектор dr (x, y, z) ; dA= F*dr = Fx*dx+Fy*dy+Fz*dz

A = (интеграл от 1 до 2) Fdr – работа силы по перемещению тела из 1 в 2.

Другой вариант записи – A = (интеграл от 1 до 2) Ft ds.

Кинетическая энергия – это энергия механического движения. Изменение кинетической энергии происходит за счет работы внешних сил.

dVk = dA = Fdr ; dr = vdt ; dWk = Fdr = F v dt = vdP

F = dP / dt = 1/m * vdP = d(P[ст.2] / 2m) ; dWk = d(P[ст.2] / 2m) ;

Wk = P[ст.2] / 2m = mv(ст.2) / 2

Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета.

(рисунок – точка, 2 системы координат k и k’, проведены 2 радиус-вектора от начала отсчета – r и r ’) r итое = r нулевое + r итое ' ;

v итое = dv / dt = (dr нулевое / dt) + (dr итое штрих / dt) = v нулевой + v итое’

v итое = v нулевое + v итое' ; v итое в кв. = v нулевое в кв. +2 v нулевое v итое’ + v итое’ в кв. Wk = сумма mi vi в кв. / 2 = v нулевое в кв. * сумма[mi /2] + 2 v нулевое * сумма[mi vi / 2] + 1/2 *сумма[mi vi’ в кв.] – кин. энергия.

Если выбрать начальную систему отсчета k’ в центре масс, то vc’=0 и среднее слагаемое в кинетической энергии равно 0.

Теорема Кёнита – Wk = Wk’ + mvo2/2

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий этой системы, ее движение относительно центромасс и кинетической энергии, которая имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью ее центромасс.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Энергия движения системы как целого.

Рассмотрим систему из n матерьяльных точек. Общая работа dA, совершаемая всеми силами, приложенными к системе за время dt, будет

dA= сумма [Fi * dr итое]. Покажем, что суммарная работа, совершаемая всеми другими силами системы равна 0. Возьмем 2 точки системы – i и k.

(рисунок – прямая, на концах стрелки – слева Fik, справа Fki; на ней 2 точки i и k; соединенены вектором r ik; другая точка, от нее радиус-векторы r i и r k). Согласно 3мц закону Ньютона Fik = - Fki.

dAik = Fik*dri + Fki*drk = Fik*dri – Fik*drk = Fik (dri - drk) ; dri – drk = drik.

[i, k – это индексы!!!]. Т.к. тело абсолютно твердое, то Fik*drik = const (т.к. для абсолютно твердого тела расстояние между любыми 2мя его точками остается в процессе движения неизменным). drik – т.к. |rik|= const, то вектор rik может менять только свое направление, следовательно изменение этого вектора будет направлено перпендикулярно вектору drik. Сила Fik перпендикулярна перемещению drik, следовательно такая сила работы не совершает – dAik = Fik*drik = 0, т.е. внутренние силы работы не совершают.

dA = сумма Fi*dri (где F – внешняя сила).

Если тело движется поступательно, то dri = drc ; dA= сумма Fi * drc = drc * сумма Fi = F *drc ; Получаем dA= F * drc ; Работа всех сил, приложенных к системе матерьяльных точек равна работе внешних сил по перемещению центромасс этой системы. Wk = сумма mi * vi(ст.2) / 2 = mvc(ст.2) / 2.

[Где c, k, i – индексы!!!]

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Консервативные и неконсервативные силы.

Сила F, действующая на матерьяльную точку называется консервативной или потенциальной, если работа этой силы по перемещению этого тела из состояния 1 в состояние 2 не зависит от формы траектории движения, а зависит только от начального и конечного положения тела. Для консервативной или потенциальной силы работа по перемещению тела по замкнутой траектории равна нулю.

A = (интеграл с кружком в центре) Fdt=0 – условие потенциальной силы.

В противном случае сила называется диссепативной. Дессипативная сила зависит от скорости точек и совершает отрицательную работу.

N = dA / dt – мгновенная мощность.

Потенциальная энергия. Работа, совершаемая потенциальными силами при изменениии конфигурации системы, т.е. расположении ее частей относительно системы отсчета не зависит от пути перехода из начального состояния в конечное. Эта работа A1-2 определяется только начальной и конечной конфигурацией систем, следовательно ее можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы, называемой потенциальной энергией Wп. A1-2= Wп (1) – Wп (2) ;

dA= - dWп. В каждой конкретной задаче для получения однозначной энергетической зависимости каждой потенциальной рассматриваемой системы от ее конфигурации, выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальная энергия системы считается равной нулю.

Потенциальной энергией механической системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы, при переводе системы из данного состояния в нулевое. dA= Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz ; dA = - dWп ;

dWп = дWп*dx / дх + дWп*dy / дy + дWп*dz / дz

dA = Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz = - дWп*dx / дх - дWп*dy / дy - дWп*dz / дz

F = i * Fx + j * Fy + k * Fz = - (i *дWп / дх + j *дWп / дy + k *дWп / дz) =

= - gradWп

Потенциальная энергия матерьяльной точки в однородном поле.

Силовое поле однородно, если сила F одинакова во всех точках поля. Рассмотрим однородный случай! Пусть сила F, приложенная к матерьяльной точке действует вдоль оси Z ; dWп = - dA = Fz dz ;

Wп = (интеграл z0 – z1) Fz dz = - Fz (z1 – z0) = -Fz * z ; Например тело в поле силы тяжести: F= mg ; z = h ; Wп = mgh

Закон сохранения энергии. Все законы сохранения связана с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, т.е. вид физических знаков не изменяется при параллельном переносе в пространстве системы отсчета. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени, т.е. выбор начала отсчета времени не изменяет физических законов или физические законы имвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Полной энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Механическая система называется консервативной, если все приложенные к ней непотенциальные силы не совершают работу, а все потенциальные силы постоянны во времени. Потенциальная энергия системы может изменяться только за счет изменения ее консервации, поэтому если конфигурация системы не меняется, то Wп = const

дWп / dt = 0. Рассмотрим консервативную систему, на которую действует внутренняя и внешняя консервативные силы и внешние диссепативные силы. Пусть вектор Fi – это внешняя консервативная сила, приложенная к внешней точке. Вектор Fi’ – внутренняя консервативная сила. Вектор f i – внешняя диссепативная сила. Запишем 2ой закон Ньютона для i-той точки матерьяльной системы: m i * dv i / dt = Fi + Fi’ + f i ; dr = v i * dt ;

mi vi dt * dv / dt = (Fi’ + Fi) dvi + fi dri ; d (mi vi [ст.2] / 2) = (Fi’+Fi)dri+fidri

Для всей системы будет тоже самое, но ставится знак суммы перед каждым слагаемым. Отсюда следует dWk + dWп = dA ; d(Wk + Wп) = dA ;

A1-2 = (интеграл 1-2) d(Wk + Wп) ; A1-2 = (Wk + Wп)2 = - (Wk - Wп)1.

Если внешние силы не совершают работу, то dA=0 ; d (Wk + Wп) = 0 ;

т.е. полная энергия системы остается постоянной Wk + Wп = const
1.5. Твердое тело в механике

Условие равновесия твердого тела. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. Отсюда вытекает 2 условия равновесия твердого тела: 1) F1+…+Fn = 0 – тело не движется поступательно ; 2) M1 +… Mk= 0 – тело не вращается.

Момент инерции тела относительно оси.

Моментом инерции матерьяльной точки относительно оси называется величина J = m r (ст.2). Где r – расстояние от точки до оси вращения.

Wk = m*v*v / 2. Если тело состоит из нескольких матерьяльных точек, то момент его инерции будет равен сумме моментов инерций этих точек. Эта формула справедлива для дискретного распределения масс. В случае непрерывного распределения масс J = (интеграл) v (ст.2) dm .

Момент инерции сплошного диска: (рисунок – диск, толщина h ; радиус R ; r – половина радиуса, проведена двойная окружность ; диск крутится)

d J = r (ст.2) dm ; Площадь кольца: dS = 2ПИ r dr ; dV = rds = 2ПИrhdr

dm = ПЛОТНОСТЬ * dV = 2ПИ p h r dr ; p – плотность.

d J = 2ПИph r (ст.3) dr ; J = (интеграл 0 - R) 2ПИph r (ст.3) dr = 2ПИph *

* r (ст.4) / 4 | 0-R = 1/2 ПИ R (ст.2) ph R (ст.2) ; m = ПИ R(ст.2) ph ;

J=1/2 m R (ст.2)

Момент инерции стержня. (рисунок – стержень, ось O, слева расстояние до оси = a, справа тоже расстояние = r , еще такое же расстояние как r вправо дает вместе dr ; l – расстояние вниз от центра пересечения оси и стержня). dm = (m / l) * dr ; d J = r (ст.2)*dr ; J = (m / 3l) ((l-a)(ст.3) +a(ст.3))

Если a =0, то J = 1/3 m l (ст.2)

Теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен массе тела, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения до центромасс тела, плюс момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его ось центромасс.

J = ma (ст.2) + J нулевое ; r i = a + Ri ; mi ri (ст.2) = mi (a - Ri) (ст.2) = mi (a (ст.2) + 2aRi + Ri (ст.2)) = a (ст.2)mi + mi Ri (ст.2) + 2amiRi ; J=сумма(miri2)

Теорема Штейнера J = ma (ст.2) + J центромасс.

Вращательный момент. Моментом силы M называется величина M=r *F

(* - скалярное произведение, все значения векторные) r – радиус-вектор, F – сила ; r *sinАЛЬФА = l ; M = r F sinАЛЬФА = r sinАЛЬФА F = F l

(рисунок – вектор M вверх; вектор r чуть выше места, где по идее должна быть ось OX; на 90 градусов от r от M проходит из той же точки прямая L ; векотор F скрещивается с r под углом АЛЬФА).

Основное уравнение динамики вращательного движения. Wk = 1/2 J * w(ст.2) ; dWk = 1/2 J 2w dw = Jwdw ; dWk = dA ; M dФИ = Jwdw;

M dФИ/dt = Jw dw/dt ; w = dФИ/dt ; E = dw/dt ; M w = J w E ; M = J E (M,E - вектора). Основное уравнение динамики вращательного движения. Это аналог 2го закона Ньютона для вращательного движения. (F-M, m-J, a-E).

Кинетическая энергия катящегося тела. При вращательном движении катящегося тела каждая точка участвует в 2х движениях – поступательном и вращательном. Скорость поступательного движения всех точек колеса одинакова и равна скорости поступательного движения колеса в целом.

mi vi (ст.2) / 2 ; vi (ст.2) = v пост. (ст.2) + vi вращ. (ст.2) ; v вращ. = wRi ;

mi vi (ст.2) / 2 = 1/2 mi v пост. (ст.2) + 1/2 mi w (ст.2) Ri (ст.2) ;

Wk = сумма (mi vi (ст.2) / 2) = 1/2 v пост (ст.2) СУММА(mi) + 1/2 w(ст.2) СУММА(mi Ri (ст.2)) ; Wk = 1/2 m v пост. (ст.2) + 1/2 J w (ст.2)

Работа при вращательном движении. dA = Fds = F sinАЛЬФА ds = F r sinАЛЬФА dФИ ; ds = r dФИ ; ds = r dФИ ; dA = M dФИ ; ФИ – угол поворота при повороте на большой угол. A=(интеграл ФИ1-ФИ2) M dФИ

Для матерьяльных точек Wk = 1/2 mv(ст.2) = 1/2 m r (ст.2) w (ст.2) =

1/2 J w (ст.2) ; v = w r ; Wk = 1/2 J w (ст.2)
1.6. Закон сохранения импульса

Моментом импульса (моментом количества движения) матерьяльной точки относительно оси называется векторная величина L = r * P ; где все величины – векторы ; r – расстояние от оси вращения до этой точки. Импульс точки: P = mv. Моментом силы M называется величина M=r *F

Моментом импульса твердого тела относительно оси является

L = сумма ri Pi ; |L| = |r | |P| sinАЛЬФА ; Рассмотрим случай, когда АЛЬФА=ПИ/ 2: L = сумма mi vi ri = w сумма mi vi (ст.2) = J w; L = J w ;

Продефференцируем это выражение по времени: dL / dt = J dw/dt = J центромасс = M ; dL / dt = M ; Если M= 0, то dL / dt = 0  L = const

Это закон сохранения импульса!!! --- Если на систему тел не действует момент силы M или равнодействующая всех сил равна нулю, то момент импульса этой системы остается постоянным. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом физики. Он справедлив не только в классической механике, но и в релитивистской и в квантовой механике. Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства – пространство обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
1.7. Принцип относительности в механике

Инерциальная система отсчета и принцип относительности.

Установлено, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форуму. В этом состоит суть принципа относительности Галелея. В Ньютоновской механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета k (x, y, z, t) к другой

k’ (x’, y’, z’, t’), движущейся относительно 1ой со скоростью u, справедливы преобразования Галелея. Они основаны на 2х аксиомах – об неизменности промежутков времени между 2мя событиями и расстояния между 2мя точками по отношению к центру системы отсчета. Иными словами – время течет одинаково во всех инерциальных системах отсчета и размеры тел не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.



r = r’ + r нулевое = r’ + u t ; U – скорость ; r – радиус вектор до точки от 1ой системы отсчета; r ‘ – радиус-вектор до точки от 2ой системы ; r нулевой – расстояние от одной системы до другой ;

Будем считать, что скорость u направлена вдоль радиус-вектора r нулевое:

x = x’ + Ux t ; y = y’ + Uy t ; z = z’ + Uz t ; t = t’ – преобразования Галилея

v = dr / dt = dr / dt + dr нулевое / dt ; v = v’ + u ; a = dv / dt = a’ ; a = a’ ;

При таком переходе ускорение не меняется ; z = z’ ; Из этих выражений следует, что уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Иными словами – никакими механическими опытами нельзя определить движение инерциальной системы отсчета.

Постулаты специальной теории относительности. Специальная теория относительности также как и Ньютоновская механика предполагает, что время однородно, а пространство однородно и изотопно. В основе специальной теории относительности лежат 2 постулата, которые являются результатом эксперементально установленных закономерностей.

1 постулат обобщает принцип механической независимости Галилея на все физические явления. В любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинакова.

2 постулат выражает принцип имвариантности скорости света. Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника. Она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в вакууме является предельной скоростью в природе.

Эйнштейн пересмотрел классические свойства пространства и времени. Он предположил, что время в различных инерциальных системах отсчета течет неодинаково. Пространство и время в теории относительности рассматривается совместно, а не обособленно, как в Ньютоновской механике. Они образуют единое 4х-мерное пространство и время. Возьмем в таком 4х-мерном пространстве и времени декартовую систему координат с осями (x, y, z, ct). Положение тела в таком 4х-мерном пространстве изображается точкой с координатами (x, y, z, ct). Эта точка называется мировой точкой. Со временем она меняет свое положение, описывая в 4х-мерном пространстве некоторую линию, называемую мировой линией. Даже в том случае, если тело остается неподвижным в обычном 3х-мерном пространстве, его мировая точка перемещается вдоль оси ct.

Выберем 2 инерциальные системы отсчета k (x, y, z, t) и k’ (x’, y’, z’, t’). Будем считать, что система отсчета k’ движется относительно системы k со скоростью v, направленной вдоль оси OX. Пусть в начальный момент времени начала этих систем отсчета совпадают. В этот момент из начала отсчета вдоль оси OX излучается световой импульс. За время t в системе отсчета k он дойдет до точки ; x = ct ; x’ = ct’

ГАММА (x - vt) = x’ ; ГАММА (x’ – vt’) = x ;

ГАММА (ct - vt) = ct’ УМНОЖАЕМ НА ГАММА (ct + t) = ct ; ПОЛУЧАЕМ ГАММА (ст.2) (c (ст.2) – v (ст.2)) = c (ст.2);
  1   2   3


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации