Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   32

4.3. Распределения Бернулли и Пуассона


Рассмотрим последовательность п идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1) каждое испытание имеет 2 исхода, называе­мые успех и неуспех; это — взаимно несовместные и противоположные события;

2) вероятность успеха — р — остается постоян­ной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха — q;

3) все п испытаний — независимы. Это значит, что вероятность наступления события в любом из п повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Вероятность того, что в п независимых повтор­ных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно т раз (в любой последовательно­сти), равна



где q = 1— р.

Выражение (4.10) называется формулой Бернулли.

Вероятности того, что событие наступит: а) ме­нее т раз; б) более т раз; в) не менее т раз; г) не более т раз — находятся по формулам:



Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х = О, 1, 2, ..., т, ..., п вычисляются по формуле Бернулли (табл.4.3).

Таблица 4.3



Так как правая часть формулы (4.10) представля­ет общий член биномиального разложения (q + р)n, то этот закон распределения называют биномиаль­ным. Для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, имеем

М(Х) = np; (4.11)

D(X) = npq. (4.12)

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются при­ближенной формулой



где т — число появлений события в п независи­мых испытаниях;  = пр ( среднее число появлений события в п испытаниях).

Выражение (4.13) называется формулой Пуассо­на. Придавая т целые неотрицательные значения т = 0, 1, 2, ..., п, можно записать ряд распределе­ния вероятностей, вычисленных по формуле (4.13), который называется законом распределения Пуас­сона (табл. 4.4).

Таблица 4.4



Распределение Пуассона (приложение 3) часто ис­пользуется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или про­странства, например: число машин, прибывших на автомойку в течение часа; число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км; число мест утечки воды на 100 км водопровода; число остановок стан­ков в неделю; число дорожных происшествий.

Если распределение Пуассона применяется вме­сто биномиального, то п должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких со­тен, а пр < 10.

Математическое ожидание и дисперсия случай­ной величины, распределенной по закону Пуассо­на, совпадают и равны параметру , который опре­деляет этот закон, т. е.

М(Х) = D(X) = . (4.14)

4.4. Гипергеометрическое распределение


Пусть имеется множество N элементов, из кото­рых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекается случайным образом без возвраще­ния п элементов. Требуется найти вероятность того, что из них т элементов обладают признаком А. Искомая вероятность (зависящая от N, М, п, т) определяется по формуле



Полученный с помощью формулы (4.15) ряд рас­пределения называется гипергеометрическим законом распределения (табл. 4.5).
Таблица 4.5



Математическое ожидание и дисперсия случай­ной величины т, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:



Пример 1. Известно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 че­ловека.

1) Составьте ряд распределения числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте его график.

2) Найдите числовые характеристики этого рас­пределения.

3) Напишите функцию распределения числа лю­дей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, и постройте ее гра­фик.

4) Чему равна вероятность того, что среди 4 слу­чайно отобранных человек: а) не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу лич­ным автотранспортом; б) окажется хотя бы 1 чело­век, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом; в) будет не больше 2, предпочи­тающих добираться на работу личным автотранс­портом?

Решение. В качестве случайной величины в дан­ной задаче выступает число людей в выборке, предпо­читающих добираться на работу личным автотранс­портом. Обозначим ее через X. Перечислим все возмо­жные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, постоянна и равна 0,2 (р = 0,2). Вероятность противоположного события, т. е. того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу не личным автотранспортом, а как-то иначе, также постоянна и составляет 0,8 (q= 1 - p= 10,2=0,8).

Все 4 испытания — независимы, т. е. вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспор­том, не зависит от того, каким способом предпочи­тает добираться на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.

Очевидно, что случайная величина Х подчиня­ется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и р = 0,2.

Итак, по условию задачи:

n = 4; р = 0,2; q = 0,8; X = т.

1) Чтобы построить ряд распределения, необхо­димо вычислить вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных зна­чений, и записать полученные результаты в таблицу.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли


Поставим в эту формулу данные задачи.




Получим ряд распределения числа людей в вы­борке, предпочитающих добираться на работу лич­ным автотранспортом (табл. 4.6).

Таблица 4.6

X


0


1


2


3


4


P


0,4096


0,4096


0,1536


0,0256


0,0016



Так как все возможные значения случайной ве­личины образуют полную группу событий, то сум­ма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + + 0,0016 = 1.

Вместо ряда распределения дискретная случай­ная величина может быть задана графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 4.3).



Рис. 4.3

2) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Математическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рассчитано по формуле (4.4)



Но, ввиду того, что в данном случае речь идет о математическом ожидании частоты, для его расче­та можно воспользоваться более простой формулой (4.11)

М(Х = т) = = 4 · 0,2 = 0,8 (чел.).

Рассчитаем дисперсию числа человек, предпочи­тающих добираться на работу личным автотранспортом, среди 4 отобранных. Дисперсия любой дискретной случайной величины может быть рассчи­тана по формуле



В данном случае речь идет о дисперсии частоты, а ее можно найти по формуле (4.12)

D(X = т) = npq = 4 · 0,2 · 0,8 = 0,64 (чел.2).

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа людей в выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Среднее квад­ратическое отклонение рассчитывается по формуле



3) Дискретную случайную величину можно за­дать функцией распределения



где для каждого значения х суммируются вероятно­сти тех значений хi, которые лежат левее точки х.

Зададим функцию распределения дискретной случайной величины применительно к условию дан­ной задачи



Для построения графика функции распределения вероятностей дискретной случайной величины необходимо рассчитать кумулятивные (накопленные) вероятности, соответствующие значениям случай­ной величины. Алгоритм их расчета вытекает из смысла функции распределения

F(Xi) = Р(Х1) + Р(Х2) + ... + Р(Хi-2) + Р(Хi-1).

Эта формула справедлива для всех F(Xi), кроме F(X0). Так как функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, понятно, что вероятность того, что случайная величина примет значе­ние, не более минимального, равна 0, т. е. F(X0) = 0.

Рассчитаем значения F(x)



Эти данные можно представить и в виде табл. 4.7.

Таблица 4.7

Х

х 0

0 < х 1

1 < x 2

2< x3

3 < x 4

х > 4

F(x)

0

0,4096

0,8192

0,9728

0,9984

1


График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает возможные значе­ния (рис. 4.4).



4) Определим вероятность того, что среди 4 слу­чайно отобранных человек:

а) Не будет ни одного человека, предпочитающе­го добираться на работу личным автотранспортом.

Р(Х = 0) = 0,4096.

Вероятность того, что среди четырех случайно отобранных человек не будет ни одного, предпочи­тающего добираться на работу личным автотранс­портом, составляет 0,4096.

б) Будет хотя бы 1 человек, предпочитающий до­бираться на работу личным автотранспортом.

«Хотя бы 1» — «как минимум 1» — «1 или боль­ше». Другими словами, «хотя бы 1» — это «или 1, или 2, или 3, или 4».

Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4 случайно отобранных человек бу­дет хотя бы 1, предпочитающий добираться на ра­боту личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных со­бытий:

Р(Х  1) = Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4);

Р(Х  1) = 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,5904.

С другой стороны, все возможные значения слу­чайной величины образуют полную группу собы­тий, а сумма их вероятностей равна 1. По отноше­нию к событию (X  1) до полной группы событий не хватает события (X = 0), которое является про­тивоположным событию (X  1). Поэтому искомую вероятность того, среди 4 случайно отобранных че­ловек будет хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, про­ще найти следующим образом:

Р(Х  1) + Р(Х < 1) = 1, откуда Р(Х  1)=1 - Р(Х = 0) = 1 - 0,4096 = 0,5904.

Вероятность того, что среди 4 случайно отобран­ных человек будет хотя бы 1 человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспор­том, составляет 0,5904.

в) Будет не больше 2, предпочитающих добирать­ся на работу личным автотранспортом.

«Не больше 2» — «2 или меньше», т. е. «или 0, или 1, или 2».

Используем теорему сложения вероятностей не­совместных событий

Р(Х  2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2);

Р(Х  2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.

Вероятность того, что среди 4 случайно отобран­ных человек будет не больше 2, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, со­ставляет 0,9728.

Пример 2. Среднее число инкассаторов, прибы­вающих утром на автомобиле в банк в 15-минут­ный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга.

1) Составьте ряд распределения числа инкасса­торов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин.

2) Найдите числовые характеристики этого рас­пределения.

3) Напишите функцию распределения числа ин­кассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин, и постройте ее график.

4) Определите, чему равна вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкассатора.

5) Определите вероятность того, что в течение 15 мин число прибывших инкассаторов окажется меньше 3.

Решение. Пусть случайная величина Х — число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 мин. Перечислим все возмож­ные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., п.

Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных зна­чений является счетным.

По условию, прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.

Если мы предположим, что вероятность прибы­тия инкассаторов на автомобиле одинакова в лю­бые 2 периода времени равной длины и что прибы­тие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

Итак, случайная величина Х — число инкасса­торов, прибывающих утром на автомобиле в тече­ние 15 мин, подчиняется распределению Пуассона. По условию задачи:  = пр = 2; Х = т.

1) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная ве­личина примет каждое из своих возможных значе­ний, и запишем полученные результаты в таблицу.

Так как данная случайная величина Х подчинена распределению Пуассона, расчет искомых вероятно­стей осуществляется по формуле Пуассона (4.13).

Найдем по этой формуле вероятность того, что в течение 15 мин утром на автомобиле прибудет 0 ин­кассаторов;



Однако расчет вероятностей распределения Пу­ассона легче осуществлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассо­на. В этих таблицах содержатся значения вероят­ностей при заданных m и  (приложение 6). По условию  = 2, а т изменяется от 0 до n. Воспользовавшись таблицей распределения Пу­ассона (приложение 3), получим:

Р(Х = 0) = 0,1353; Р(Х = 1) = 0,2707;

Р(Х = 2) = 0,2707; Р(Х = 3) = 0,1804;

Р(Х = 4) = 0,0902; Р(Х = 5) == 0,0361;

Р(Х = 6) = 0,0120; Р(Х = 7) = 0,0034;

Р(Х = 8) = 0,0009; Р(Х = 9) = 0,0002.

Данных для =2 и m  10в таблице нет, что указывает на то, что эти вероятности составляют менее 0,0001, т. е.

Р(Х = 10)  0.

Понятно, что Р(Х =11) еще меньше отличается от 0.

Занесем полученные результаты в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Р


Р(Х)


0


0,1353


1


0,2707


2


0,2707


3


0,1804


4


0,0902


5


0,0361


6


0,0120


7


0,0034


8


0,0009


9


0,0002


10


0,0000



Так как все возможные значения случайной ве­личины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверим:

-0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + + 0,0120 + 0,0034 + 0.0009 + 0,0002 = 0,9999 1.

График полученного ряда распределения дискретной случайной величины Х - полигон распределения вероятностей (рис. 4.5).



Рис. 4.5

2) Найдем основные числовые характеристики полученного распределения случайной величины X.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, может быть рассчитано и по формуле

М(Х = т) = пр = , М(Х = т) =  = 2 (инкассатора).

Для выполнения дисперсии случайной величи­ны, подчиняющейся распределению Пуассона, мож­но применить формулу

D(X = т) = .

Итак, дисперсия числа инкассаторов, прибыва­ющих утром на автомобиле в течение 15 мин,

D(X = т) =  = 2 (инкассатора2).

Среднее квадратическое отклонение числа инкас­саторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15 мин,



3) Зададим теперь дискретную случайную вели­чину в виде функции распределения



График функции вероятностей дискретной слу­чайной величины — полигон распределения вероятностей (рис. 4.6).

Рассчитаем значения F(x):





Эти данные можно представить и в виде табл. 4.9.

Таблица 4.9

Х


Р(Х)


х 0


0


0<х1


0,1353


1<х2


0,4060


2<х3


0,6767


3<х4


0,8571


4.<х5


0,9473


5<x6


0,9834


6<х7


0,9954


7 <x8


0,9988


8<х9


0,9997


х>9


1



4) Определим вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут хотя бы 2 инкассатора.

«Хотя бы 2» — «как минимум 2» — «2 или боль­ше». Другими словами, «хотя бы 2» — это «или 2, или 3, или 4, или ...».

Исходя из этого, для определения вероятности того, что в течение 15 мин в банк прибудут хотя бы 2 инкассатора, можно использовать теорему сложе­ния вероятностей несовместных событий:

Р(Х2) = Р(Х=2) + Р(Х=3) + Р(Х=4) + ... + Р(Х=n).

С другой стороны, все возможные значения слу­чайной величины образуют полную группу собы­тий, а сумма их вероятностей равна 1. По отноше­нию к событию (X  2) до полной группы событий не хватает события (X < 2), т. е. (х  1), которое является противоположным событию (X  2). Поэто­му искомую вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкасса­тора, проще найти следующим образом:

Р(Х 2) = 1 - Р(Х 1) = 1 - (Р(Х = 0) + Р(Х = 1)) = = 1 - (0,1353 + 0,2707) = 1 - 0,406 = 0,594.

Вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут на автомобиле хотя бы 2 инкассатора, составляет 0,594.

5) Определим вероятность того, что в течение 15 мин число прибывших инкассаторов окажется меньше 3.

«Меньше 3» — это «или 0, или 1, или 2». Из теоремы сложения вероятностей несовмест­ных событий следует:

Р(Х < 3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2);

Р(Х < 3) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 – 0,6767.

Вероятность того, что в течение 15 мин в банк прибудут меньше 3 инкассаторов, составляет 0,6767.

Пример 3. Из 20 лотерейных билетов выигрыш­ными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета.

1) Составьте ряд распределения числа выигрыш­ных билетов среди отобранных.

2) Найдите числовые характеристики этого рас­пределения.

3) Напишите функцию распределения числа вы­игрышных билетов среди отобранных и постройте

ее график.

4) Определите вероятность того, что среди ото­бранных 4 билетов окажется: а) не меньше 3 выигрышных билетов; б) не больше 1-го выигрышного билета.

Решение. В качестве случайной величины в дан­ной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.

Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4.

Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее, чем на 1, и множество ее возможных зна­чений является счетным.

Очевидно, что отбор лотерейных билетов — бес­повторный. Следовательно, испытания — зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина — чис­ло выигрышных билетов среди отобранных — под­чиняется гипергеометрическому закону распреде­ления.

Изобразим ситуацию на схеме (рис. 4.7).



Случайная величина, интересующая нас, Х = т — число выигрышных билетов в выборке объемом в п билетов. Число всех возможных случаев отбора п билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по п (СnN ), а число случаев отбора т выигрышных билетов из общего числа М выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N — М) проигрышных) равно произведению СmM · Сn-mN-M (отбор каждого из т вы­игрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ров­но m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели веро­ятность получения в выборке m выигрышных би­летов (т. е. вероятность того, что случайная вели­чина Х примет значение m) равна



где СnN общее число всех единственно возмож­ных, равновозможных и несовместных исходов;

СnM · Сn-mN-M число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;

m n, если n M и m  M, если М < п.

Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения.

1) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений, и запишем полученные результаты в таблицу.

По условию задачи N = 20; М = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.



Занесем полученные результаты в табл. 4.10.
Таблица 4.10

Х


0


1


2


3


4


Р(Х)


0,37564


0,46233


0,14861


0,01321


0,00021



Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка:

0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины — полигон распределения вероятностей (рис. 4.8).



Рис. 4.8

2) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по

общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Но математическое ожидание случайной величи­ны, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле



Рассчитаем математическое ожидание числа вы­игрышных билетов среди отобранных:



Дисперсию случайной величины, подчиняющей­ся распределению, также можно рассчитать по бо­лее простой формуле



Вычислим дисперсию числа выигрышных биле­тов среди отобранных:



Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:



3) Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения



Рассчитаем значения F(x):



Эти данные можно представить в виде графика функции распределения (рис. 4.9) и табл. 4.11.


Таблица 4.11

Х


х  0


0 <х  1


1 2


2  3


3 4


х > 4


F(x)


0


0,37564


0,83797


0,98658


0,99979


1


4) Определим вероятность того, что среди 4 ото­бранных билетов окажется:

а) не меньше 3 выигрышных.

«Не меньше 3» — «как минимум 3» — «3 или больше». Другими словами, «не меньше 3» — это «или 3, или 4».

Исходя из этого, для определения вероятности то­го, что среди отобранных 4 билетов окажется не мень­ше 3 выигрышных билетов, можно применить тео­рему сложения вероятностей несовместных событий:

Р(Х  3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) == 0,01321 + 0,00021 = 0,01342.

Вероятность того, что среди отобранных окажет­ся не меньше 3 выигрышных билетов, составляет 0,01342. .

б) не больше 1 выигрышного билета. «Не боль­ше 1» — это «1 или меньше», «или 0, или 1».

Следовательно, для определения вероятности того, что среди отобранных окажется не больше одного выигрышного билета, также применяем теорему сло­жения вероятностей для несовместных событий

Р(Х  1) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,37564 + 0,46233 = 0,83797.

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   32


4.3. Распределения Бернулли и Пуассона
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации