Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   32

4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.1. Определение дискретной случайной величины


Величина, которая в результате испытания мо­жет принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, считается случайной.

Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может при­нимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значе­ний есть случайное событие с определенной веро­ятностью.

Соотношение, устанавливающее связь между от­дельными возможными значениями случайной ве­личины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возмож­ные числовые значения случайной величины Х че­рез x1, x2, ..., xn..., а через pi = Р(Х = хi) вероят­ность появления значения xi, то дискретная слу­чайная величина полностью определяется табл. 4.1.

Таблица 4.1

xi


x1


x2


...


xn


pi


p1


p2


...


pn



Здесь значения x1, x2, ..., xn записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называет­ся законом (рядом) распределения дискретной слу­чайной величины X. Поскольку в его верхней строч­ке записаны все значения случайной величины X, то нижняя обладает следующим свойством:



Ряд распределения можно изобразить графически (рис. 4.1).



Рис. 4.1

Если на рис. 4.1 по оси абсцисс отложить значе­ния случайной величины, по оси ординат — вероятности значений, полученные точки соединить от­резками прямой, то получим многоугольник рас­пределения вероятностей (полигон распределения).

Дискретная случайная величина может быть за­дана функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероят­ность того, что Х примет значение, меньшее чем х:



Здесь для каждого значения х суммируются ве­роятности тех значений xi, которые лежат левее точ­ки х.

Функция F(x) есть неубывающая функция. Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 4.2).



Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от  до  (включая ) выражается формулой

Р(Х < ) = F() - F(). (4.3)

Одной из важных числовых характеристик слу­чайной величины Х является математическое ожидание

М(Х) = x1p1, + x2p2 +...+ x3p3. (4.4)

В случае бесконечного множества значений xi в правой части (4.4) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых он абсолютно сходится.

М(Х) представляет собой среднее ожидаемое зна­чение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:

1) М(С) = С, где С = const;

2) М(СХ) = СМ(Х);

3) М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых Х и Y;

4) М(ХУ) = М(Х)М(У), если Х и Y независимы.

(4.5)

Для оценки степени рассеяния значений случай­ной величины около ее среднего значения М(Х) = а вводятся понятия дисперсии D(X) и среднего квадратического (стандартного) отклонения (х). Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (Ха),



где а = М(Х);  (х) определяется как квадратный корень из дисперсии, т. е.



Для вычисления дисперсии пользуются форму­лой

D(X) = М(Х2) - М2(Х). (4.6)

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:

1) D(C) = 0, где С = const;


если Х и У независимы.

Размерность величин М(Х) и (Х) совпадает с размерностью самой случайной величины X, а размерность D(X) равна квадрату размерности случай­ной величины X.

4.2. Математические операции над случайными величинами


Пусть случайная величина Х принимает значе­ния хi с вероятностями Р(Х = xi) =pi(i= 1, 2, ..., п), а случайная величина Y — значения уj с вероятно­стями Р(Y = у) =pj(j = 1, 2, ..., m). Произведение КХ случайной величины Х на постоянную величи­ну K — это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные произведениям на К значений случайной величины X. Следователь­но, закон ее распределения имеет вид табл. 4.2.

Таблица 4.2

kxi


kx1


kx2


...


kxn


pi


p1


p2


...


pn



Квадрат случайной величины (X 2) — это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает зна­чения, равные квадратам ее значений.

Сумма случайных величин Х и Y — это новая случайная величина, принимающая все значения вида xi + уj, (i = 1, 2, .... п; j = 1, 2, ..., т) с вероят­ностями рij, выражающими вероятность того, что случайная величина Х примет значение xi ,a Yзначение yj, т. е.

рij = Р(Х = xi; У = уj) = Р(Х = xiX=xi(Y = уi). (4.8) Если случайные величины Х и Y независимы, то



Аналогично определяются разность и произведе­ние случайных величин Х и Y. .

Разность случайных величин Х и Y — это новая случайная величина, которая принимает все значе­ния вида хi – уj, а произведение — все значения вида хiуj с вероятностями, определяемыми по формуле (4.8), а если случайные величины Х и Y неза­висимы, то по (4.9).

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   32


4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации