Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА


Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятнос­тей интересующих нас событий. Затем из источни­ков информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать зна­чения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас собы­тий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероят­ностей можно схематично изобразить так:



Пусть событие А может осуществиться лишь вме­сте с одним из событий Н1, Н2, H3, ..., Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нi), ..., Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то



а также известны и условные вероятности события А:



Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как



Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вмес­те с одним из событий Н123, ..., Нn, образую­щих полную группу несовместных событий и на­зываемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую ус­ловную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле



или



Это — формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе — формула полной вероятности.

Пример 1. Предприятие, производящее компью­теры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й — 35%. Изве­стно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах каче­ства составлена табл. 3.1.

Таблица 3.1


Поставщик


% качественной продукции


% брака


1-й поставщик
2-й поставщик


98
95


2
5



Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с не­исправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомп­лектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от 2-го поставщика.

Решение задач с использованием формул пол­ной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

Гипотезы

Нi

Вероятности

априорные Р(Нi)

условные Р(А/Нi)

совместные Р(Нi  А)

апостериорные Р(Нi/А)

1

2

3

4

5


Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, кото­рые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 ЧИП от 1-го постав­щика; Соб. Н2 — ЧИП от 2-го поставщика. Это — гипотезы и они образуют полную группу независи­мых и несовместных событий.

В колонке 2 записываем вероятности этих событий:

Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.

В колонке 3 определим условные вероятности со­бытия А — «ЧИП бракованный» для каждой из

гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для со­бытий «ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. По­скольку сформулированные события являются ре­зультатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:

Р(Нi  А) = Р(Нi)Р(А/Нi).

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 — вероятность поставки некачествен­ного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 — вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го постав­щика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)



Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):



Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Гипотезы

Нi


Вероятности

априорные
Р(Нi)


Условные
Р(А/Нi)


Совместные
Р(Нi  А)


апостериорные Р(Нi/А)


1


2


3


4


5


ЧИП от 1-го постав­щика


0,65


0,02


0,0130


0,426


ЧИП от 2-го постав­щика

0,35

0,05

0,0175

0,574




=1




P(A)=0,0305


=l



Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика стра­ны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успеш­но развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Ис­пользуя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Определим события:

А — «Акции компании поднимутся в цене в бу­дущем году».

Событие А может произойти только вместе с од­ной из гипотез:

Н1 — «Экономика страны будет на подъеме»;

Н2 «Экономика страны не будет успешно развиваться».

По условию известны вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:

Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2

несовместны.

События Н1 и А, Н2 и А — зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для оп­ределения искомой вероятности события А форму­лу полной вероятности
Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

Решение оформим в виде табл. 3.4.

Таблица 3.4

Гипотезы Нi

Р(Нi)

Р(А/Нi)

Р(Нi)Р(А/Нi)

Н1 «подъем экономики»

0,80

0,75

0,60

Н2 «спад экономики»

0,20

0,30

0,06



1,00




0,66


Вероятность того, что акции компании поднимут­ся в цене в следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66.

Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американ­ский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он по­дорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероят­ностью 0,20. В течение любого периода времени ве­роятность активного экономического роста — 0,30;

умеренного экономического роста — 0,50 и низко­го роста — 0,20. Предположим, что доллар дорожа­ет в течение текущего периода. Чему равна вероят­ность того, что анализируемый период совпал с пери­одом активного экономического роста?

Решение. Определим события:

А — «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 — «Активный экономический рост»;

Н2 «Умеренный экономический рост»;

Н3 «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) ве­роятности гипотез и условные вероятности события А:
Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их ве­роятностей равна 1. Событие А — это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. — не­совместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 — несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А — зависимые.

Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономи­ческого роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем



Мы можем получить тот же результат с помо­щью табл. 3.5.

Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.
Таблица 3.5



Для более наглядного восприятия решения на­шей задачи мы можем также построить дерево ре­шений:



Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 чер­ных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.

а) Найти вероятность того, что шар, извлечен­ный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.

б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?

Решение. Определим события:

А — «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может произойти только вместе с одной из ги­потез:

Н1 — «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили чер­ный шар» и Н2 — «Из 1-й урны во 2-ю переложили

белый шар».
Используя классическое определение вероятнос­ти, найдем вероятности гипотез

Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10

и условные вероятности события А.

После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили чер­ный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 бе­лых шаров, тогда

Р(А/Н1) = 7/11.

Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров, тогда

Р(А/Н2) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их веро­ятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 несовместны. События Н1 и А, Н2 и А — зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 · 6/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.

Таблица 3.6

Гипотезы Нi

Р(Нi)

Р(А/Нi)

Р(Нi)Р(А/Нi)

Н1 «из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар»

6/10

7/11

42/110

Н2— «из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар»

4/10

6/11

24/110



1,00

0,6





Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным, составляет 0,6.

2. Во 2-й части задачи предполагается, что собы­тие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:

Р(Н2/А).

Для определения искомой вероятности восполь­зуемся формулой Байеса (3.2)



Мы можем получить тот же результат с помо­щью табл. 3.7.
Таблица 3.7



Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, ока­зался черным, составляет 0,3636.

Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации