Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события


Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их со­вместного наступления

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ),

или (2.4)

Р(А  В) - Р(А) + Р(В) - Р(А  В).

Для несовместных событий их совместное на­ступление есть невозможное событие, а вероятность его равна нулю, следовательно, вероятность сум­мы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.



или (2.5)

Р(А  В) = Р(А) + Р(В).

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий



В случае нескольких совместных событий необ­ходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повтор­ный учет областей пересечения событий. Рассмот­рим три совместных события (рис. 2.3).



Рис. 2.3

Для случая трех совместных событий можно записать

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ)- Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

Сумма вероятностей событий А1, А2, А3 , ..., Аn, образующих полную группу, равна 1

Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + ... + Р(Аn) = 1.

или


Пример 3. Компания производит 40 000 холо­дильников в год, которые реализуются в различ­ных регионах России. Из них 10 000 экспортиру­ются в страны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 продаются в стра­ны дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4 000 в Дальневосточ­ном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на эк­спорт; б) продан в России?

Решение. Обозначим события:

А - «Холодильник будет продан в странах СНГ»;

В - «Холодильник будет продан в Европейской части России»;

С - «Холодильник будет продан в страны даль­него зарубежья»;

D - «Холодильник будет продан в Западной Си­бири»;

Е — «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;

F «Холодильник будет продан в Дальневосточ­ном районе».

Соответственно, вероятность того, что холодиль­ник будет продан в странах СНГ:

Р(А) = 10000/40000 =0,25;

вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:

Р(В) = 8 000/40 000 = 0,20;

вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:

Р(С) = 7 000/40 000 = 0,175;

вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири;

Р(D) = 6 000/40 000 = 0,15;

вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:
Р(Е) = 5 000/40 000 = 0,125;

вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:

P(F) = 4 000/40 000 =0,10. События А, В, С, D, Е, F несовместные.

1) Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны даль­него зарубежья. Отсюда по формуле (2.5) находим его вероятность:

Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,25 + 0,175 = 0,425.

2) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле (2.6) нахо­дим его вероятность:

Р(холодильник будет продан в России) = Р(А +D+E+ F) = Р(В) + P(D) + Р(Е) + P(F) = 0,20 + 0,15 + +0,125 + 0,10 = 0,575.

Этот же результат можно было получить рассуж­дая по-другому. События «Холодильник произве­ден на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» — два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2.3):

Р(холодильник будет продан в России) = 1 - Р(холодильник произведен на экспорт) = 1 - 0,425 = =0,575.
Пример 4. Опыт состоит в случайном извлече­нии карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?

Решение. Определим события: А — «Извлече­ние туза», В — «Извлечение карты трефовой мас­ти». Вероятность извлечения туза из колоды карт Р(А) = 4/52; вероятность извлечения карты трефо­вой масти — Р(В) = 13/52; вероятность их пересече­ния — извлечение трефового туза - Р(АВ) = 1/52 (рис. 2.4).



События А и В — совместные, поскольку в коло­де есть трефовый туз.

Согласно условию задачи, нас интересует веро­ятность суммы совместных событий А и. В. По формуле (2.4) получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 1/2.

Пример 5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара: а) при 1-м извлечении из урны; б) при 2-м извлечении из урны?

Решение. Здесь возможны 2 случая.

1-й случай. Схема возвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения возвращается в урну.

Пусть событие А — «Появление белого шара при 1-м извлечении», так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5.

Пусть событие В — «Появление белого шара при 2-м извлечении», так как шар после 1-го извлечения возвратился в урну, то N=5,а М=2 и Р(В) = 2/5.

Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае явля­ются независимыми.

Итак, события А и В называются независимы­ми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Вероятности независимых событий называют­ся безусловными.

2-й случай. Схема невозвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения в урну не возвращается.

Вероятность появления белого шара при 1-м извлечении Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались 1 бе­лый и 3 черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М = 1.

Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)A или РA(В). Итак, Р(В/А) = 1/4 называют ус­ловной вероятностью, а события А, В — зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А) = 4/52;
Р(А/В) =
4/16.

Например, тот факт, что человек работает науч­ным сотрудником, не является независимым от наличия у него высшего образования; событие, состо­ящее в том, что станок может выйти из строя, не является независимым от срока его эксплуатации; событие, состоящее в том, что цена акций компа­нии пошла вверх, не является независимым от того с прибылью или с убытком сработала компания в прошлом периоде; и т. д.

Таким образом, события А и В называются за­висимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предполо­жении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Вероятность произведения двух независимых со­бытий А и В равна произведению их вероятностей

Р(А В) = Р(А)Р(В),

или (2.8)

Р(А  В) = Р(А)Р(В).

События А1, А2, ..., Аn (п > 2) называются неза­висимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Распространим теоремы умножения на случаи п независимых и зависимых в совокупности событий.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна про­изведению вероятностей этих событий

Р(А1·А2·А3·...·Аn) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3)·...·Р(Аn). (2.9)
Вероятность произведения двух зависимых со­бытий А и В равна произведению вероятности од­ного из них на условную вероятность другого



Вероятность события В при условии появления события А



Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятно­сти всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили



Если события А1 , А2 ,..., Аn зависимые в со­вокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них равна



Вероятность появления хотя бы одного собы­тия из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей со­бытий, противоположных данным,



Пример 6. Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения кон­сультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?

Решение. Обозначим события:

А — «Получение консультационной работы в кор­порации А»;

В — «Получение консультационной работы в кор­порации В».

События А и В — зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.

По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также зна­ем, что Р(В/А) = 0,9.

Необходимо найти вероятность того, что оба со­бытия (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (2.10).

Отсюда получим

Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.

Пример 7. В большой рекламной фирме 21% ра­ботников получают высокую заработную плату. Из­вестно также, что 40% работников фирмы — жен­щины, а 6,4% работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы ут­верждать, что на фирме существует дискримина­ция женщин в оплате труда?

Решение. Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения не­обходимо ответить на вопрос: «Чему равняется ве­роятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?» и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет вы­сокую зарплату.

Обозначим события:

А — «Случайно выбранный работник имеет вы­сокую зарплату»;

В — «Случайно выбранный работник — женщина». События А и В — зависимые. По условию

Р(АВ) = 0,064; Р(В) = 0,40; Р(А) = 0,21.

Нас интересует вероятность того, что наудачу выб­ранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т. е. — условная вероят­ность события А.

Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим

Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 0,064/0,40 = 0,16.

Поскольку Р(А/В) = 0,16 меньше, чем Р(А) = 0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Пример 8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит: а) на все 3 вопроса; б) хотя бы на 1 вопрос.

Решение. Обозначим события:

А — «Студент знает все 3 вопроса»;

А1 — «Студент знает 1-й вопрос»;

А2 «Студент знает 2-й вопрос»;

А3 — «Студент знает 3-й вопрос».

По условию

Р(А1) = 20/25; Р(А21) = 19/24; Р(А3,/А2A1) = 18/23.

1) Искомое событие А состоит в совместном на­ступлении событий А1, А2, А3.

События А1, А2, A3 — зависимые.

Для решения задачи используем правило умно­жения вероятностей конечного числа п зависимых событий (2.10):

Р(А) = (20/25)(19/24)(18/23) = 57/115 = 0,496.

Вероятность того, что студент ответит на все 3 вопроса, равна 0,496.

2) Обозначим событие:

В — «Студент ответит хотя бы на один вопрос». Событие В состоит в том, что произойдет или со­бытие А1, а события А2 и А3 — не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и A3 — не произойдут, или произойдет событие А3 , а события А1 и А2 — не произойдут, или произойдут события А1 и А2 ,а событие A3 — не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 — не произойдет, или произойдут события А2 и А3 , а событие А1 — не про­изойдет, или произойдут все три ,события А1, А2, А3.

Для решения этой задачи можно было бы исполь­зовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий (2.13).

Учитывая, что



получим

Р(В) = 1 - (5/25)(4/24)(3/23) = 229/230 = 0,9957.

Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.

Пример 9. Вероятность того, что потребитель уви­дит рекламу определенного продукта по телевиде­нию, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба собы­тия — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?

Решение. Обозначим события:

А — «Потребитель увидит рекламу по телевиде­нию»;

В — «Потребитель увидит рекламу на стенде»;

С — «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по

телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию

Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06.
События А и. В — совместные и независимые.

а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.

Отсюда

Р(АВ) = Р(А) · Р(В) = 0,04 · 0,06 = 0,0024.

Вероятность того, что потребитель увидит обе рек­ламы, равна 0,0024.

б) Так как событие С состоит в совместном на­ступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.

Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступ­ления хотя бы одного из п независимых событий.

Учитывая, что





Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) на­селения, охватываемого ею, и отсюда следует оцен­ка рекламных усилий.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации