Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из ее определения, классификация событий, диаграммы Венна


Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступле­нии того или иного случайного события. Напри­мер, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строи­тельство нового дома завершится в срок.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некото­рого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исхо­дом опыта может быть результат наблюдения или измерения (табл. 2.1).

Единичный, отдельный исход испытания назы­вается элементарным событием.

Случайное событие может состоять из несколь­ких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.

Таблица 2.1

Испытание

Исход испытания

Подбрасывание монеты

Контроль качества деталей

Продажа квартиры

Результат футбольного матча

Цифра, герб

Годная, бракованная

Продана, не продана
Победа, проигрыш, ничья


Событие, которое обязательно произойдет в ре­зультате испытания, называется достоверным. На­пример, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие дос­товерное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события ус­ловимся обозначать символом .

Событие, которое не может произойти в резуль­тате данного опыта (испытания), называется не­возможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие. Невозможное событие обозначим ш.

Достоверные и невозможные события, вообще го­воря, не являются случайными.

Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление од­ного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры

на одной не исключает появления цифр на других монетах.

В магазин вошел покупатель. События «В мага­зин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» — совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

Несколько событий называются несовместны­ми в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события.

События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности со­бытий произойдут; одно точно произойдет). Напри­мер, некая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «Потребитель услы­шал о товаре по радио», «Потребитель прочитал о товаре в газете», «Потребитель получил информа­цию о товаре по радио и из газеты», «Потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Эти 4 события единственно возможные.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной

кости появление каждой из ее граней — события равновозможные.

Два единственно возможных и несовместных со­бытия называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Совокупность всех единственно возможных и не­совместных событий называется полной группой событий.

Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью так называемых диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна).

Изобразим полную группу событий в виде квад­рата, тогда круг внутри квадрата будет обозначать некоторое событие, скажем. А, а точка - элемен­тарное событие - Е (рис. 2.1).



Рис. 2.1 демонстрирует два противоположных со­бытия А и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий. Противоположное событие обозначается Ā.

Пересечение А и В (обозначается как А В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В (рис. 2.2).


Рис. 2.2

Объединение А и В (обозначается AВ) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.

Полную группу можно определить так:



тогда {А1, А2, ..., Аn} — полная группа событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элемен­тарных исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N:

P(A)=M/N, (2.1)

где М — целое неотрицательное число, 0 М  N.

Другой тип объективной вероятности определя­ется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 — это час­тота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 — это относительная частота.

Относительной частотой события называется от­ношение числа испытаний т, при которых собы­тие появилось, к общему числу проведенных ис­пытаний п.
W(A) == т/п (2.2)

где т — целое неотрицательное число, 0  т п.

Статистической вероятностью события А назы­вается относительная частота (частость) этого со­бытия, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Сле­довательно,



При очень большом числе испытаний статисти­ческая вероятность приближенно равна классичес­кой вероятности, т. е.



Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы мо­жем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) веро­ятность. То есть классическая вероятность — апри­орная, а статистическая — апостериорная.

Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P() =1.

Действительно, если событие А = , то М = N, значит,

Р() = N/N = 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е.

Р()= 0.

Если А = , то оно не осуществится ни при од­ном испытании, т. е.

М = 0 и Р() = 0/N = 0.

3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число, заключенное между 0 и 1.

В самом деле, так как 0M N, 0 M/N 1, т. е. 0 Р(А) 1.

4. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна 1, т. е. Р(А) + Р(А) = 1. В самом деле,

Р(А) = (N - M)/N = 1 - M/N = 1 - P(A), следовательно,

Р(А)+Р(А)=1. (2.3)

Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна

1 - 4/52 = 48/52

Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых, 100 — третьих и 1 000 — чет­вертых. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10 000 покупателей. По правилам розыгрыша после извлечения выигрышного билета он возвращается в урну, и поку­патель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) вы­играет 1-й приз; б) выиграет хотя бы 1 приз; в) не выиграет ни одного приза?

Решение, а) Определим событие А: «Покупатель выиграл 1-й приз». Согласно условию задачи, в лотерее участвовало 10 000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10 000, а число исходов, благо­приятствующих событию А, М = 1. Все исходы явля­ются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следо­вательно, по формуле классической вероятности:

б) определим событие В: «Покупатель выиграл хотя бы 1 приз». Для этого события число благоприятствующих исходов

М = 1 + 5 +100 + 1 000 = 1 106. P(B) = M/N = 1106/10 000 = 0,1106;

в) событие «Покупатель не выиграет ни одного при­за» — противоположное событию В: «Покупатель вы­играет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как . По формуле (2.3) найдем

Р(В) =1- Р(В) = 1 - 0,1106 = 0,8894 .

Ответ. Вероятность того, что покупатель выигра­ет 1-й приз равна 0,0001, один приз — 0,1106, не выиграет ни одного приза — 0,8894.

Пример 2. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид (табл. 2.2):

Таблица 2.2

Структура

Женщины

Мужчины

Администрация

25

15

Операционисты

35

25


Если один из служащих выбран случайным об­разом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина-операционист; в) муж­чина; г) операционист?

Решение.

а) В банке работают 100 человек, N = 100.

Из них 15 - мужчины-администраторы, М = 15. следовательно,

Р(мужчина-администратор) = 15/100 = 0,15.

б) 35 служащих в банке - женщины-операцио­нисты, следовательно,

P(женщина-операционист) == 35/100 = 0,35.

в) 40 служащих в банке - мужчины, следова­тельно,

Р(мужчина) = 40/100 = 0,40.

г) Из общего числа служащих в банке 60 - операционисты, следовательно,

P(операционист) = 60/100= 0,60.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации