Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

1.4. Сочетания


Сочетаниями из п элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каж­дое содержит т элементов, взятых из числа дан­ных п элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из п элементов по m в каждом обозначается символом Cnm и вычисляется так:



или



Пример 3. Правление коммерческого банка вы­бирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шан­сы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение. Состав различных групп должен отли­чаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, сле­довательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи п = 10, т = 3. Подставив данные в формулу (1.5), получаем


Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.



Замечание. Надо уметь различать сочетания от раз­мещений. Например: если в группе 25 студентов и 10 человек из них, выйдя из аудитории на перерыв, стоят вместе и беседуют, то порядок, в котором они стоят, несуществен. Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в данном случае — сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет или в кассу за стипендией, то тогда существенно, в каком, порядке они стали, т. е. кто из них первый, второй и т. д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо состав­лять размещения.

1.5. Сочетания с повторениями


Сочетание с повторениями из n элементов по m (n m) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не толь­ко из m различных элементов, но из m каких угод­но и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, два со­единения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом (Cnm)c повт и вычислять по формуле



Замечание, т может быть и больше n.

Пример 4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение.



Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

1.6. Перестановки


Перестановками из п элементов называются та­кие соединения, из которых каждое содержит все п элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается символом Pn, это то же самое, что число размещений из п элементов по n в каждом, поэтому



Пример 5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько суще­ствует способов его осуществления?

Решение. Способы просмотра изданий различа­ются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Сле­довательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи п = 6. Следовательно,
Рn = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.

Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.

1.7. Перестановки с повторениями


Число перестановок с повторениями выражает­ся формулой



Пример 6. Сколькими способами можно разде­лить т + п + s предметов на 3 группы, чтобы в одной группе было т предметов, в другой n пред­метов, в третьей — s предметов?

Решение.


Задачи к теме 1


1. Во многих странах водительское удостовере­ние (автомобильные права) имеет шифр, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число воз­можных номеров водительских удостоверений, счи­тая, что число букв русского алфавита, используе­мых для составления шифра, — 26, а буквы занима­ют первые 3 позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно об­щее число всех возможных номеров удостоверений, если: а) цифры в шифре не повторяются; б) повто­ряются?

2. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность? Какова вероят­ность того, что кандидаты будут расставлены в спис­ке по возрасту (от меньшего к большему)?*

3. Руководство фирмы выделило отделу рекла­мы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По рас­четам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует спосо­бов случайного отбора газет для помещения объяв­лений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший ти­раж?*

4. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 чело­век, подавших заявления о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке? Какова ве­роятность того, что они случайно будут приглаше­ны на собеседование в зависимости от времени их прихода в офис?*

5. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава? Какова вероятность того, что составы слу­чайно будут расставлены на путях в порядке возрастания их номеров?*

6. Покупая карточку лотереи «Спортлото», иг­рок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комби­наций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все 6 номеров?*

7. Четыре человека случайно отбираются из 10 согласившихся участвовать в интервью для выяснения их отношения к продукции фирмы по производ­ству продуктов питания. Эти 4 человека прикреп­ляются к 4 интервьюерам. Сколько существует раз­личных способов составления таких групп? Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепле­ния определенного человека к интервьюеру?*

8. Сколькими способами можно рассадить 5 гос­тей за круглым столом? Какова вероятность того, что гости случайно окажутся рассаженными по ро­сту?*

9. Девять запечатанных пакетов с предложения­ми цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с пред­ложениями цены? Какова вероятность того, что конверты случайно окажутся вскрытыми в зависимос­ти от величины предлагаемой за аренду участков цены?*

10. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существу­ет способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число ото­бранных попадут 4 помещения, расположенные в многоэтажных зданиях?*

11. Для разгрузки поступивших товаров менедже­ру требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуще­ствляя отбор в случайном порядке? Какова вероят­ность того, что в число отобранных войдут самые высокие рабочие?*

12. Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристичес­ких поездок. Сколько существует способов распре­деления 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки? Какова вероятность того, что заявки получат агент­ства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?*

13. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько все­возможных комбинаций он может составить для набора пароля: а) если цифры в коде не повторяют­ся; б) если повторяются? С какой вероятностью мож­но открыть замок с первой попытки?*

14. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Какова вероятность того, что список окажется со­ставленным в алфавитном порядке?*

15. На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно равными возможностями. Для апробации в своих фи­лиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?*

16. Выделены крупные суммы на выполнение 4 крупных правительственных программ, сулящих исполнителям высокую прибыль. Сколько существует способов случайного распределения этих 4 программ между 6 возможными исполнителями? Какова ве­роятность того, что средства на выполнение про­грамм при таком распределении получат 4 испол­нителя, имеющие наибольшую прибыль, причем ве­личина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?*

17. Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей среди имеющихся акций цене и обладают одинако­вой доходностью. Клиент собирается приобрести ак­ции 3 таких компаний — по 1 от каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких ак­ций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число слу­чайно отобранных попадут акции, рост цен на ко­торые будет наибольшим в следующем году?*

18. Фирмы Fl, F2, F3, F4, F5 предлагают свои условия по выполнению 3 различных контрактов Cl, C2 и СЗ. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е. если фирма Fl получит контракт Cl, то это не то же самое, если она получит контракт C2. Сколько спо­собов получения контрактов имеют фирмы? Если предположить равновозможность заключения кон­трактов, чему равна вероятность того, что фирма F3 получит контракт?*

19. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участ­ков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Какова вероятность того, что случайно отобранные для бурения участки окажутся, например, самыми северными?*

20. На 9 вакантных мест по определенной специ­альности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно ком­бинаций выбора 9 из 15 безработных?

* Для вычисления вероятностей здесь и далее ознакомьтесь с материалом гл. 2.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


1.4. Сочетания
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации