Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач - файл n1.doc

приобрести
Ниворожкина Л.И. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач
скачать (17128 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc17128kb.22.08.2012 13:35скачать

n1.doc

1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32

6.2. Числовые характеристики вариационного ряда


Одной из основных числовых характеристик ряда распределения (вариационного ряда) является сред­няя арифметическая.

Существует две формулы расчета средней ариф­метической: простая и взвешенная. Простую среднюю арифметическую обычно используют, когда данные наблюдения не сведены в вариационный ряд либо все частоты равны единице или одинаковы



где хii-e значение признака; п — объем ряда (чис­ло наблюдений; число значений признака).

Если частоты отличны друг от друга, расчет про­изводится по формуле средней арифметической взве­шенной



где хii-e значение признака; тi частота i-го значе­ния признака; k число его значений (вариантов).

При расчете средней арифметической в качестве весов могут выступать и частости, тогда формула расчета средней арифметической взвешенной при­мет следующий вид:



где хi — i-e значение признака; ?i частость i-го значения признака; k — число его значений (вари­антов).

Колеблемость изучаемого признака можно оха­рактеризовать с помощью различных показателей вариации. К числу основных показателей вариации относятся: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Дисперсию можно рассчитать по простой и взвешенной формулам, имеющим вид



Среднее квадратическое отклонение рассчитыва­ется по формуле



Коэффициент вариации определяется формулой



Пример 1. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5;3;2;1;4;6;3;7;9;1;3;2;5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7;

4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4.

  1. Составьте вариационный ряд распределения частот.

2) Постройте полигон распределения частот, кумуляту.

3) Определите средний размер (среднее число членов) семьи.

4) Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей вариации (дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации).

Объясните полученные результаты, сделайте вы­воды.

Решение. 1) В данной задаче изучаемый признак является дискретно варьирующим, так как размер семей не может отличаться друг от друга менее чем на одного человека. Следовательно, необходимо по­строить дискретный вариационный ряд. Чтобы сде­лать это, необходимо подсчитать, сколько раз встре­чаются те или иные значения признака, и располо­жить их в порядке возрастания или убывания. Зна­чения изучаемого признака — размер семьи — обо­значим xi, частоты — тi.

Произведем упомянутые расчеты и запишем их результаты в табл. 6.3.

Таблица 6.3

хi


1


2


3


4


5


6


7


8


9


mi


2


4


6


8


10


9


6


4


1



2) Дискретный вариационный ряд можно пред­ставить графически, построив полигон распределе­ния частот или частостей (рис. 6.3).

Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости. Накопленная частота 1-го варианта 1 = 1) равна самой частоте этого варианта, т. е. v1 = 2. Накопленная частота 2-го варианта (х2 = 2) равна сумме частот 1-го и 2-го вариантов, т.е. v2 = 2 + 4 = 6. Далее, аналогично v3 = 12; v4 = 20; v5 = 30; v6 = 39; v7= 45; v8 = 49; v9 =50.



Построим кумуляту (рис. 6.4).



3) Рассчитаем средний размер (среднее число членов) семьи. Так как частоты отличны друг от друга, расчет средней арифметической произведем по формуле (6.9)



Средний размер семьи — 5,06 чел.

4) Так как частоты неодинаковы, для расчета дисперсии размера семьи используем формулу (6.12)



Дисперсия размера семьи — 3,6964 чел2. Найдем среднее квадратическое отклонение раз­мера семьи по формуле (6.13)



Среднее квадратическое отклонение размера се­мьи — 1,9226 чел.

Найдем коэффициент вариации размера семьи по формуле (6.14)



Коэффициент вариации составляет 38%. Так как коэффициент вариации больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность семей яв­ляется неоднородной, чем и объясняется высокая колеблемость размера семьи в данной совокупности.

Ввиду неоднородности семей, попавших в выбор­ку, использование средней арифметической для характеристики наиболее типичного уровня разме­ра семьи не вполне оправданно — средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности, в качестве характеристики наиболее типичного уров­ня размера семьи в данной совокупности лучше использовать моду или медиану.

Пример 2. Имеются данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности в 1996 г.

Предприятия с годовой мощностью, тыс. т


Количество предприятий


До 500


27


500 - 1 000


11


1 000 - 2 000


8


2 000 - 3 000


8


Свыше 3 000


2



1) Постройте гистограмму, кумуляту.

2) Рассчитайте среднюю мощность предприятий.

3) Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Объясните полученные результаты, сделайте вы­воды.

Решение. 1) Данные о годовой мощности пред­приятий цементной промышленности представле­ны в виде интервального вариационного ряда — значения признака заданы в виде интервалов. При этом первый и последний интервалы — открытые: оба интервала не имеют одной из границ. Наконец, данный интервальный вариационный ряд — с нерав­ными интервалами: интервальные разности (раз­ность между верхней и нижней границами) интер­валов неодинаковы. Условно закроем границы от­крытых интервалов.

Интервальная разность 2-го интервала

1 000 - 500 = 500.

Следовательно, нижняя граница 1-го интервала

500 - 500 = 0.

Интервальная разность предпоследнего интервала

3 000 - 2 000 = 1 000.

Следовательно, верхняя граница последнего ин­тервала

3 000 + 1 000 = 4 000.

В результате, получим следующий вариационный ряд (табл. 6.4):

Таблица 6.4

xi


mi


0-500


27


500 - 1 000


11


1 000 - 2 000


8


2 000 - 3 000


8


3 000 - 4 000


2



Учитывая неодинаковую величину интервалов, для построения гистограммы рассчитаем абсолют­ные плотности распределения по формуле (6.6)







Построим гистограмму (рис. 6.5).



Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рассчитать накопленные частоты или частости.

Накопленная частота нижней границы 1-го варианта х = 0 равна нулю. Накопленная частота верхней границы 1-го интервала равна его частоте, т. е. 27.

Накопленная частота верхней границы 2-го интервала равна сумме частот 1-го и 2-го интервалов, т.е.27 + 11 = 38.

Далее, аналогично 38 + 8 =46; 46 + 8 = 54; 54 + 2 = 56.

Построим кумуляту (рис. 6.6).



2) Рассчитаем среднюю мощность предприятий цементной промышленности в 1996 г. Так как частоты интервалов разные, используем для расчета средней арифметической формулу (6.9). При расчете числовых характеристик интервального вариа­ционного ряда в качестве значений признака принимаются середины интервалов, найдем их.



Теперь расчет средней арифметической примет вид



Средняя мощность предприятий цементной про­мышленности в 1996 г. составляла 964,29 тыс. т.

Следует отметить, что использование с той или иной целью средней арифметической, рассчитанной по данным интервального ряда с открытыми ин­тервалами, может привести к серьезным ошибкам. Это связано с тем, что открытые интервалы закры­ваются условно, в действительности значения при­знака у объектов, попадающих в открытые интер­валы, могут выходить далеко за их условные гра­ницы.

В связи с этим для оценки наиболее типичного уровня изучаемого признака по данным интерваль­ного ряда с открытыми интервалами лучше исполь­зовать моду или медиану.

3) Оценим колеблемость мощности предприятий цементной промышленности в 1996 г.

Так как частоты неодинаковы, для расчета дис­персии используем формулу (6.12)



Дисперсия мощности предприятий — 862 563,78 (тыс. т)2.

Найдем среднее квадратическое отклонение мощности предприятий по формуле (6.13)



Среднее квадратическое отклонение мощности предприятий — 928,74 тыс. т.

Найдем коэффициент вариации по формуле (6.14)



Коэффициент вариации годовой мощности пред­приятий цементной промышленности составляет 96,31%. Поскольку он больше 35%, можно сделать вывод о том, что изучаемая совокупность предприятий является неоднородной, в ее состав вошли и крупные и мелкие предприятия, что и обусловило высокую колеблемость годовой мощности.

Следовательно, использование средней арифме­тической для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности предприятий цементной промышленности неверно — средняя арифметическая нетипична для изучаемой совокупности. Это еще раз подтверждает необходимость использования моды или медианы для характеристики наиболее типичного уровня годовой мощности данной сово­купности предприятий цементной промышленности.

1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32


6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации