Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 3 - файл n1.doc

приобрести
Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 3
скачать (3334 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3334kb.22.08.2012 11:25скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9

5.3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Основные определения


В общем случае сложного сопротивления в стержне возникают все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти шесть усилий определяем, как обычно, методом сечений и строим эпюры усилий . При определении внутренних усилий используем правила знаков, описанные во вступительной части разд. 5 и поясняемые рис. 5.1. После определения внутренних усилий находим опасные сечения, а в опасных сечениях – опасные точки. Рассмотрим подробно, где расположены опасные точки в двух наиболее часто используемых сечениях: круглом и прямоугольном10. Выпишем формулы, необходимые для проверки прочности в этих точках.




Рис. 5.25. Изображение пар сил Мy и Мz

в виде векторов

Для определения положения опасных точек в круглом сечении построим эпюры распределения напряжений. Чтобы построить эпюру нормальных напряжений, вызванных двумя изгибающими моментами и определим направление суммарного изгибающего момента. Изобразим пары и в виде векторов, определяя их направление по правилу правого винта (рис. 5.25). Полный изгибающий момент является равнодействующей этих векторов и изображен на рис. 5.26. Поскольку для круглого сечения любая ось является главной, то в какой бы плоскости не был приложен изгибающий момент, он вызывает плоский изгиб. Нейтральная линия в этом случае перпендикулярна плоскости изгиба, то есть совпадает с линией действия вектора полного изгибающего момента . На рис. 5.26 показана эпюра нормальных напряжений, вызванных действием изгибающего момента . Кроме того, в сечении возникают нормальные напряжения от продольной силы N и касательные напряжения от крутящего момента Эпюры распределения этих напряжений показаны. на рис. 5.2611. Знаки напряжений соответствуют положительным значениям внутренних усилий. Видно, что опасными точками могут быть точки 1, 1ў, в которых действуют максимальные нормальные напряжения от изгиба и продольной силы и максимальные касательные напряжения, вызванные крутящим моментом. Для проверки прочности хрупких материалов важен знак нормальных напряжений (более опасной точкой будет, как правило, точка с растягивающими напряжениями), для пластичных материалов опасной будет точка, где нормальные напряжения от изгиба и продольной силы имеют одинаковые знаки. Опасные точки находятся в "балочном" напряженном состоянии и проверку прочности в них следует осуществлять по теориям прочности, соответствующим материалу стержня. Приведем условия прочности, справедливые для "балочного" напряженного состояния, по двум наиболее часто используемым теориям:

, (5.30)

где .

. (5.31)

В формулах (5.30), (5.31) и – напряжения в опасных точках.

В точках 1, 1ў круглого сечения эти напряжения определяются так:

, (5.32)

, (5.33)

, (5.34)

, (5.35)

где , , , .

При подборе сечения обычно пренебрегают влиянием продольной силы. В этом случае условия прочности (5.30) и (5.31) для круглого сечения с учетом формул (5.34) и (5.35) можно преобразовать. Теория Мора приобретает такой вид:

, (5.36)

а третья теория прочности приводится к следующему условию:

, (5.37)

где . Из условий прочности (5.36), (5.37) можно найти необходимый момент сопротивления, а далее радиус поперечного сечения. Чтобы учесть продольную силу, немного увеличивают полученное значение радиуса (как правило, достаточно округления в большую сторону), находят напряжения по формулам (5.33)–(5.35) и проверяют прочность с учетом по условиям (5.30) или (5.31).




Рис. 5.27. Эпюры распределения напряжений

в стержне прямоугольного сечения
Построим эпюры распределения напряжений от всех усилий в прямоугольном сечении и определим положение опасных точек. Эти эпюры изображены на рис. 5.27, где знаки и направления напряжений соответствуют положительным внутренним усилиям. Из рис. 5.27 следует, что в прямоугольном сечении в общем случае опасными могут быть три группы точек:

; (5.38)

, (5.39)

; (5.40)

, (5.41)

. (5.42)

В зависимости от величин и знаков внутренних усилий необходимо выбрать самые опасные точки и проверить в них прочность. Знаки "плюс" или "минус" в формулах (5.38) – (5.42) выбираются в зависимости от направления напряжений в рассматриваемой точке. При этом в точках 2, 2ў или 3, 3ў хотя бы для одного напряжения ( или ) направления должны совпадать.

В точке 1, где нормальные напряжения от , и имеют один знак, условие прочности записывается так

, (5.43)

так как эта точка находится в линейном напряженном состоянии. Для хрупких материалов в правой части неравенства стоит или в зависимости от направления напряжения. Точки 2 (2ў) и 3 (3ў) находятся в "балочном" напряженном состоянии и условие прочности в них записывается по формулам (5.30) или (5.31) в зависимости от материала.

В формулах (5.38) – (5.42)

, (5.44)

, (5.45)

, (5.46)

, (5.47)

, (5.48)

, (5.49)

, , , . Коэффициенты и определяются по таблице и зависят от . В приведенных формулах – меньшая сторона прямоугольника, параллельная оси . Знаки усилий в формулах (5.33)–(5.35) и (5.44)–(5.49) не учитываются.

Подбор размеров прямоугольного сечения производят из условия прочности в угловой точке без учета продольной силы. Условие прочности (5.43) в этой точке преобразуется к следующему виду:

. (5.50)

Зная отношение моментов сопротивления , из (5.50) можно найти необходимую величину момента сопротивления, а далее размеры сечения. Для учета продольной силы обычно округляют полученные размеры в большую сторону и проверяют прочность во всех опасных точках прямоугольного сечения с учетом всех усилий по приведенным выше формулам.

Примеры решения задач

5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного

сопротивления (задача № 32)

Условие задачи




Рис. 5.28. К решению задачи № 32: а – схема стержня с нагрузками;

б – местные системы координат на участках стержня
Задан стержень пространственного очертания, загруженный нагрузками (рис. 5.28, а). Для заданного материала стержня требуется подобрать размеры поперечного сечения наиболее опасного участка для двух вариантов сечения: круглого и прямоугольного.

Решение

Определим внутренние усилия, используя метод сечений и правила знаков для усилий, справедливые для всех задач сложного сопротивления (см. рис. 5.1). На каждом участке введем местные системы координат, показанные на рис. 5.28, б. Ось х всегда направлена вдоль оси стержня12, оси – главные центральные оси инерции сечения. Чтобы не определять опорные реакции, будем рассматривать все силы со свободного конца стержня и найдем усилия в сечениях 0–5 (см. рис. 5.28, б).

; ; ;

; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

; ;

; ; ;

; ;

; ; .

В соответствии с полученными результатами построим эпюры внутренних усилий (рис. 5.29). В рассматриваемом примере опасным является участок длиной , где действуют все усилия. На этом участке опасным будем считать сечение 5 (хотя при определенном сочетании величин нагрузок и размеров может быть опасным и сечение 4). Считая, что материал стержня – чугун (, , ) подберем размеры поперечного сечения стержня, приняв следующие исходные данные: , , , , , . Для этих данных в опасном сечении 5 действуют такие усилия: , , , , , .

Рассмотрим первый вариант – стержень круглого поперечного сечения. Подбор радиуса сечения производим без учета продольной и поперечных сил в соответствии с заданным материалом из условия прочности по теории Мора (5.36). В формуле (5.36)

, , .

Из условия (5.36) найдем необходимый момент сопротивления

см3,



Рис. 5.29. Эпюры внутренних усилий в стержне
откуда, вспомнив, что , найдем радиус сечения

см.

Округляя радиус в большую сторону, примем см.

Далее необходимо построить эпюры распределения напряжений в круглом поперечном сечении так, как описано во вступительной части разд. 5.3. Для рассматриваемого примера эти эпюры показаны на рис. 5.30. Напряжения определены по формулам (5.33)–(5.35). Сделаем проверку прочности для найденного размера с учетом продольной силы. Для чугунного стержня опасной является точка, в которой действуют растягивающие нормальные напряжения, т. е. точка 1 на рис. 5.30. В этой точке

кН/см2;

кН/см2.

Подставим найденные напряжения в условие прочности по теории Мора (5.30)

кН/см2 < кН/см2.




Рис. 5.30. Эпюры напряжений (в кН/см2) в стержне

круглого сечения

Таким образом, найденный радиус см удовлетворяет условию прочности с учетом продольной силы и является окончательным.

Теперь рассмотрим второй вариант – стержень прямоугольного сечения с отношением . Подбор сечения производим из условия прочности (5.50) в угловой точке сечения. Поскольку в рассматриваемом примере , то располагаем сечение выгодным образом, т.е. так, чтобы ось располагалась посередине длинной стороны прямоугольника. Тогда и условие (5.50) для чугуна перепишем в таком виде:

.

Отсюда получим необходимый момент сопротивления

см3

и, учтя, что , найдем высоту сечения

см см.



Рис. 5.31. Эпюры напряжений (в кН/см2) в стержне

прямоугольного сечения
Построим эпюры распределения напряжений в прямоугольном сечении от всех видов внутренних усилий так, как описано во вступительной части разд. 5.3, и проверим прочность во всех опасных точках. Эпюры напряжений и опасные точки для рассматриваемого примера показаны на рис. 5.31. Напряжения найдены по формулам (5.44)–(5.49). Опасными для хрупкого материала являются точки, в которых действуют растягивающие напряжения, т. е. точки 1, 2 и 3 (см. рис. 5.31). Суммируем напряжения в опасных точках с учетом их направлений. В точке 1

кН/см2 <кН/см2,

то есть условие прочности выполняется.

В точке 2

кН/см2,

кН/см2

и условие прочности (5.30) по теории Мора

<кН/см2

выполняется.

Наконец, в точке 3 действуют напряжения

кН/см2,

кН/см2.

Условие прочности (5.30) в этой точке

<кН/см2

тоже выполняется. Таким образом, найденные размеры поперечного сечения и удовлетворяют условиям прочности во всех опасных точках.

5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)


Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 19 (§ 19.1–19.6).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 15.

В. И. Феодосьев В. И.. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970. Гл. ХIII.

Иванов М. Н. Детали машин. М.: Высшая школа, 1998. Гл. 15.

Основные определения


Коленчатый вал является плоской рамой, испытывающей действие пространственных циклических нагрузок, в которой возможно усталостное разрушение, поэтому кроме расчета на статические нагрузки требуется учет влияния на напряжения динамического действия нагрузок. Известно, что под действием длительных, циклически меняющихся нагрузок материалы конструкций обнаруживают значительное понижение прочности. Это явление носит название усталости материала. Способность материала сопротивляться усталостному разрушению называют выносливостью. Важной характеристикой материала является предел выносливости, определяемый экспериментально. Следует отметить, что расчет на циклические нагрузки (усталостную прочность) носит эмпирический характер, требует наличия большого количества экспериментальных данных, обычно приводимых в справочниках в виде таблиц и графиков. Используемый в рассматриваемой задаче расчет на усталостную прочность является достаточно приближенным, так как многие необходимые для расчета величины эмпирических коэффициентов принимаются условно. Более точный расчет коленчатых валов рассматривается в специальных курсах.

Один из способов расчета на усталостную прочность сводится к определению действительного коэффициента запаса усталостной прочности и сравнению его с нормируемым коэффициентом запаса n. В данном расчете примем . Условием усталостной прочности является условие

. (5.51)

Для "балочного" напряженного состояния, которое имеет место в опасных точках коленчатого вала коэффициент запаса усталостной прочности находится по формуле Гафа и Полларда

(5.52)

где – запас прочности по нормальным напряжениям в предположении, что касательные напряжения равны нулю; – запас прочности по касательным напряжениям, когда . Коэффициенты и определяются следующим образом:

, (5.53)

. (5.54)

В формулах (5.53), (5.54) и – пределы выносливости при изгибе и кручении для симметричного цикла; , – амплитудные значения цикла напряжений при изгибе и кручении, , – средние напряжения цикла при изгибе и кручении. Остальные величины, входящие в формулы (5.53), (5.54), являются эмпирическими коэффициентами, учитывающими

Эти коэффициенты в инженерных расчетах определяют по специальным справочникам. При решении рассматриваемой задачи студенты условно принимают значения этих коэффициентов по данным, приведенным в [4].

Пример расчета коленчатого вала


Условие задачи13

Идеализированная расчетная схема коленчатого вала представлена на рис.  5.32. Левый и правый концы вала имеют шарнирное закрепление в вертикальной и горизонтальной плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Правый конец, кроме того, жестко закреплен от продольного перемещения и поворота сечения вокруг оси стержня. Требуется, подобрать радиус круглого сечения шатунной шейки (горизонтальная участок вала длиной ) и размеры прямоугольного сечения кривошипа (вертикальные участки вала длиной ) так, чтобы удовлетворялись условия статической и усталостной прочности вала. Примем следующие исходные данные:  кН,  кН,  кН, ,  см,  см,  см, . Для кривошипа отношение сторон прямоугольного сечения . Материал вала – сталь С275 с допускаемым напряжением 190 МПа. Пределы выносливости для симметричного цикла примем в соответствии с [4]: при изгибе  МПа, при кручении  МПа.



Рис. 5.32. Расчетная схема коленчатого вала
Решение


Определение внутренних усилий. Прежде всего надо найти внутренние усилия в сечениях вала, т. е. построить эпюры усилий. Для этого сначала определим опорные реакции. В заданных закреплениях на концах вала возникает шесть опорных реакций, показанных на рис. 5.33. Составим шесть уравнений статики







Из них получим , , , , , , кН·м.



Рис. 5.33. Местные системы координат для определения внутренних

усилий в расчетных сечениях 1–10

При вычислении внутренних усилий используем местные системы координатных осей для каждого участка стержня. Направление оси , совпадающей с осью стержня, следует сохранять на всех участках рамы. На рис. 5.33 оно соответствует обходу вдоль оси стержня слева направо. Оси и – главные центральные оси инерции поперечного сечения. Ось будем всегда направлять перпендикулярно плоскости чертежа, ось лежит в плоскости рисунка и меняет свое направление при переходе с одного участка рамы на другой (см. рис. 5.33). При определении усилий используем правила знаков для внутренних усилий, описанные во вступительной части разд. 5 и поясняемые рис. 5.1. Тогда, используя метод сечений, найдем внутренние усилия в расчетных сечениях 1–10:

; ; ;

; ;

; ; ;

; ;

; ;

;

;

; ,

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ; .

Эпюры внутренних усилий, построенные по принятым в условии задачи исходным данным, показаны на рис. 5.34. Эпюры изгибающих моментов откладываем со стороны растянутых волокон. Обратим внимание на соблюдение дифференциальных зависимостей между и , а так же между и .

Предварительный подбор сечений шатунной шейки и кривошипа. После построения эпюр можно подобрать размеры поперечных сечений. Предварительный подбор сечений производим из условия статической прочности без учета напряжений от продольной и поперечных сил, а для прямоугольного сечения, кроме того, не учитываем напряжения от крутящего момента. При предварительном подборе сечения допускаемое напряжение примем пониженным – МПа14, имея в виду снижение прочности металла за счет усталости при циклически меняющихся напряжениях и необходимости удовлетворения еще условию усталостной прочности. Сначала определим радиус круглого сечения шатунной шейки. Выберем опасное сечение, сравнив величины суммарных изгибающих моментов в потенциально опасных сечениях 3, 4–5 и 6 (см. рис. 5.33). Суммарный изгибающий момент находится по формуле

.



Рис. 5.34. Эпюры внутренних усилий

В сечении 3 кН·см, , тогда кН·см; в сечении 4(5) кН·см, кН·см и  кН·см; наконец, в сечении 6 кН·см, кН·см и  кН·см.

Видно, что опасным будет сечение 4(5), в котором действует суммарный момент кН·см. Условие статической прочности в опасной точке этого сечения, полученное из третьей теории прочности, имеет вид (5.37):

,

где – приведенный момент, а – момент сопротивления изгибу. Из условия статической прочности найдем необходимый радиус сечения шатунной шейки. В рассматриваемом примере

 кН·см.

Из условия  кН/см2 получим  см. Так как в использованном условии прочности не учтена продольная сила, немного увеличим сечение. Достаточно округлить полученный размер в большую сторону. Примем  см.

Теперь предварительно подберем размеры прямоугольного сечения кривошипа из условия прочности в угловых точках сечения, где действуют только максимальные нормальные напряжения от изгиба, а касательные напряжения равны нулю. Условие прочности в этих точках имеет вид (5.50).

Прежде чем находить размеры сечения, подумаем, как рационально расположить сечение. Поскольку в рассматриваемом примере , то для обеспечения рациональной работы кривошипа сечение надо развернуть так, чтобы наибольшая сторона была расположена вдоль оси . Тогда , и . Условие прочности (5.50) в этом случае запишется так:

.

Чтобы выбрать опасное сечение, надо сравнить значение числителя в условии прочности в потенциально опасных сечениях правого15 кривошипа (сечения 7, 8 на рис. 5.33). При самым опасным сечением будет сечение 7, в котором кН·см. Из условия прочности, считая допускаемое напряжение равным 95МПа, найдем размер сечения кривошипа.

 кН/см2.

Отсюда 2,72 см. Округляя размер в большую сторону примем  см,  см.



Рис. 5.35. Эпюры напряжений (в МПа) в опасном сечении шатунной шейки
Построение эпюр напряжений. Построим эпюры напряжений в опасных сечениях с тем, чтобы найти положение дополнительных опасных точек и завершить в дальнейшем окончательную проверку статической прочности. Чтобы найти точное положение опасных точек в круглом сечении шатунной шейки, определим направление суммарного изгибающего момента. Изобразим пары и в виде векторов с учетом их знаков (в опасном сечении и в соответствии с эпюрами отрицательны), определяя их направление по правилу правого винта (см. рис. 5.25). Нейтральная линия для круглого сечения перпендикулярна плоскости изгиба и совпадает с линией действия вектора полного изгибающего момента . На рис. 5.35 построены эпюры нормальных напряжений, вызванных действием изгибающего момента , продольной силы N, и эпюра касательных напряжений от крутящего момента .На эпюрах напряжений учтены знаки усилий. Максимальные напряжения от продольной силы, изгиба и кручения найдены по формулам соответственно (5.33), (5.34) и (5.35).

Построим эпюры распределения напряжений в прямоугольном сечении кривошипа (рис. 5.36). При определении максимальных нормальных напряжений, вызванных продольной силой и изгибающими моментами, использованы формулы (5.33), (5.44) и (5.45). Максимальные касательные напряжения крутящего момента и от поперечных сил найдены по формулам (5.46)–(5.49). Знаки нормальных напряжений соответствуют знакам усилий , и . Стрелками показаны направления касательных напряжений, вызванных усилиями , и с учетом их знаков.



Рис. 5.36. Эпюры напряжений (в МПа) в опасном

сечении кривошипа

Проверка усталостной прочности шатунной шейки. Нормальные напряжения от изгиба изменяются по симметричному циклу, а нормальные напряжения от продольной силы постоянны, поэтому характеристики цикла, по которому меняются полные нормальные напряжение,

, .

Касательные напряжения от кручения изменяются по пульсирующему (отнулевому) циклу с такими характеристиками

.

Найдем эти характеристики, считая радиус шатунной шейки равным 3,1 см. Тогда

см3, см3, см2

и

кН/см2, кН/см2;

кН/см2.

Сосчитаем коэффициенты запаса по формулам (5.53), (5.54), (5.52). Примем следующие значения эмпирических коэффициентов:

, , .

Тогда

,

,

> 1,5,

то есть условие усталостной прочности шатунной шейки выполняется.

Проверка статической прочности шатунной шейки и кривошипа. Проверка статической прочности производится на кратковременное двукратное увеличение нагрузки с учетом напряжений от всех внутренних усилий. Допускаемое напряжение при этом принимается равным 190 МПа.

По построенным ранее эпюрам напряжений выбираем опасные точки. Для круглого сечения шатунной шейки опасными могут быть точки 1, 1ў (рис. 5.35). Для пластичного материала опасной является только точка 1, в которой нормальные напряжения от изгиба и продольной силы имеют один знак (в рассматриваемом примере знак "минус"). В этой точке, кроме того, действуют максимальные касательные напряжения, вызванные кручением. Таким образом, точка 1 находится в "балочном" напряженном состоянии. Проверку прочности в этой точке необходимо осуществлять по теориям прочности, соответствующим материалу. При подборе сечения в условии прочности точки 1 не учитывалась продольная сила. Теперь учтем ее влияние. В соответствии с условием окончательной проверки прочности увеличим найденные ранее напряжения в 2 раза. Сложим нормальные напряжения от изгиба и продольной силы в точке 1

МПа.

Касательные напряжения в точке 1 МПа. Подставим их в условие прочности по третьей теории (5.31)

МПа < 190 МПа.

Таким образом, условие прочности в точке 1 шатунной шейки выполняется. то есть найденный радиус поперечного сечения см, удовлетворяющий условию и статической, и усталостной прочности является окончательным.

Для прямоугольного сечения кривошипа опасными могут быть три группы точек, показанных на рис. 5.36. В рассматриваемом примере будем проверять прочность в точках 1 (здесь нормальные напряжения от , и имеют один знак), 2 и 3 (в них складываются имеющие одинаковые направления касательные напряжения от крутящего момента и поперечных сил). Увеличим показанные на рис. 5.36 напряжения в 2 раза и проверим прочность в каждой из опасных точек.

МПа < 190 МПа

выполняется.

МПа,

и касательные напряжения

МПа.

Точка находится в "балочном" напряженном состоянии и проверку прочности производим по третьей теории прочности (5.31)

МПа < 190 МПа.

МПа,

МПа.

Условие прочности в этой точке по третьей теории прочности

МПа < 190 МПа.

Поскольку условия прочности во всех опасных точках выполняются, окончательные размеры поперечного сечения кривошипа  см,  см.
1   2   3   4   5   6   7   8   9


5.3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации