Лабораторная работа - Метод последовательных приближений - файл n1.docx

Лабораторная работа - Метод последовательных приближений
скачать (91.9 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx92kb.08.07.2012 20:36скачать

n1.docx



ВВЕДЕНИЕ

Целью лабораторной работы является написание программы которая решала бы уравнение методом последовательных приближений.

1ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Метод последовательных приближений

1.1.1. Описание метода

Нахождение корней уравнения – это одна из древнейших математических задач, которая не потеряла актуальности и в наши дни: она часта встречается в самых разнообразных областях науки и техники. В общем случае, если имеется некоторая функция , то бывает необходимо найти такие значения аргумента , для которых

(1.1)

Функция может быть алгебраической или трансцендентной. Предполагается обычно, что она дифференцируема, т.е. не имеет точек разрыва.

В этом разделе будут рассмотрены функции, которые не имеют аналитических формул для нахождения корней.

Предположим, что (1.1) переписано в виде

(1.2)

Это преобразование можно получить, если в левую и правую части уравнения (1.1)добавить , т.е.

(1.3)

Пусть будет исходным приближением уравнения (1.2), тогда в качестве следующего приближения примем



В качестве следующего приближения возьмём



Продолжая этот процесс, в качестве -го приближения необходимо положить

(1.4)

Рассмотрим геометрическое представление процесса решения. При решении уравнения (1.2) отыскивается точка пересечения кривой и прямой . Рассмотрим рис. 1.1, на котором изображена некоторая кривая . Кривая эта может представлять собой какую угодно функцию. Пусть значение в точке пересечения, тогда является корнем этого уравнения.

Естественно, что при решении задачи корень неизвестен.

Зададимся некоторым Значение равно . Так как (рис. 1.1) равно , то найти можно следующим образом: проведем через точку горизонтальную линию до пересечения с прямой в точке , как показано на рисунке. Значение можно найти, проведя через точку вертикальную линию до пересечения с кривой . При этом получим отрезок , равный , и проводя через точку горизонтальную линию до пересечения с прямой , получим . Процесс продолжается в этом же порядке и дальше; на рисунке последовательность операцией изображена стрелками.

Для сходимости процесса решения необходимо и достаточно, чтобы .

Таким образом, перед началом решения требуется найти такое значение аргумента, при котором значение .













Рис.1.1. Геометрическое представление метода

последовательных приближений.
Пример.

Пусть требуется найти ближайший корень трансцендентного уравнения



Произведем замену





где

Найдем значение



Составим блок-схему и программу нахождения ближайшего корня трансцендентного уравнения (рис. 1.2).

















Рис. 1.2 блок-схема решения уравнений методом

последовательных приближений.

В блоке 2 (рис.1.2) производится ввод начального приближения x0 и требуемой точности нахождения решения уравнения (1.2), а в блоках 3 и 4 – вычисление значений функции f(x) и ее производной f (x). После вычисления значений функции и ее производной в блоке 5 производится анализ равенства аргумента и функции. Если равенство достигнуто, осуществляется переход к блоку 8 и значения аргумента и функции выводятся на печать. Если же нет, то значению аргумента присваивается значение функций (блок 6) и осуществляется проверка сходимости (блок 7). Если сходимость при данном начальном приближении обеспечивается, то осуществляется переход к блоку 4 и начинается поиск решения уравнения. Если же нет, то происходит возврат к блоку 3, где вычисляется значение производной при новом приближении аргумента. Процесс поиска продолжается до тех пор,пока не будет найдено начальное приближение,обеспечивающее сходимость процесса решения, т.е. когда f (x) <1.

К достоинствам метода последовательных приближений относятся его простота и малый объем начальной информации.

Основным недостатком является необходимость анализа сходимости решения.

Для составления программы решения уравнения (1.5) введем некоторые переобозначения f(x) F, f (x) = F1, xx и z - точность решения.

05 PRINT “РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПП”

10 PRINT “ВВЕДИТЕ X, Z”

15 INPUT X, Z

20 LET F1 = –2*EXP(–X) – SIN (X) + 1

25 LET F = 2*EXP (–X) +COS (X) + X

30 IF ABS (F – X) < Z THEN 50

35 LET X = F

40 IF F1 >= 1 THEN 20

45 GOTO 25

50 PRINT “X” = X, “F” = F

55 END
Задание к лабораторно-практическому занятию:
1. Изучить метод последовательных приближений.

2. Выбрал уравнение:

3. Составить блок-схему и программу решения уравнения на ЭВМ.

4. Ввести программу в ЭВМ и получите решение.

Пункты 1-3 выполняются в процессе самостоятельной подготовки к лабораторно-практическойу занятию.

2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ



  1. Изучил метод последовательных приближений.

  2. Выбрал уравнение:



И на его основе вычел производную:



  1. Составил блок-схему и программу решения уравнения на ЭВМ:


















  1. Ввести программу в ЭВМ:

PRINT "Reshenie yravneniya metodom PP"

PRINT "Vvedite X,Z"

INPUT X, Z

20 f1 = COS(.1 * X) + EXP(-.4 * X) + 1

25 f = SIN(.1 * X) + EXP(-.4 * X) + .2 + X

IF ABS(f - X) < Z THEN 50

X = f

IF f1 >= 1 THEN 20

GOTO 25

50 PRINT "x="; X, "f="; f

END

И получил решение x=33.4305 и f(x)=33.4304

ВЫВОДЫ

В результате этой лабораторной работы была написана программа которая решала уравнение методом последовательных приближений, который при определенных условиях выдает достаточно точный ответ.

Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации