Шпоры к ГИА по математике. Специальность: Учитель математики с доп.спец. информатика, 4-х летний срок обучения, Елец, 2010 год - файл n6.doc

приобрести
Шпоры к ГИА по математике. Специальность: Учитель математики с доп.спец. информатика, 4-х летний срок обучения, Елец, 2010 год
скачать (2741 kb.)
Доступные файлы (45):
n6.doc845kb.24.05.2008 21:33скачать
n7.doc281kb.30.03.2010 21:17скачать
n8.doc68kb.15.04.2009 23:33скачать
n9.doc723kb.28.05.2008 08:17скачать
n10.doc335kb.28.05.2008 08:14скачать
n11.doc623kb.25.05.2006 20:38скачать
n12.doc310kb.25.05.2006 20:41скачать
n13.doc617kb.25.05.2006 20:48скачать
n14.doc245kb.25.05.2006 20:56скачать
n15.doc368kb.25.05.2006 20:59скачать
n16.doc215kb.15.04.2009 16:26скачать
n17.doc299kb.25.05.2006 20:53скачать
n19.doc23kb.05.06.2006 21:31скачать
n20.doc24kb.05.06.2006 21:30скачать
n21.doc22kb.05.06.2006 21:32скачать
n22.doc36kb.05.06.2006 21:26скачать
n23.doc24kb.05.06.2006 21:28скачать
n24.doc30kb.05.06.2006 21:21скачать
n25.doc28kb.05.06.2006 21:24скачать
n26.doc30kb.05.06.2006 21:23скачать
n27.doc30kb.05.06.2006 21:20скачать
n28.doc35kb.05.06.2006 21:19скачать
n29.doc28kb.05.06.2006 21:16скачать
n30.doc23kb.05.06.2006 21:17скачать
n31.doc24kb.05.06.2006 21:12скачать
n32.doc25kb.05.06.2006 21:13скачать
n33.doc34kb.05.06.2006 20:45скачать
n34.doc32kb.05.06.2006 20:47скачать
n35.doc25kb.05.06.2006 20:50скачать
n36.doc26kb.05.06.2006 20:48скачать
n37.doc24kb.05.06.2006 20:39скачать
n38.doc22kb.05.06.2006 20:39скачать
n39.doc27kb.05.06.2006 20:40скачать
n40.doc22kb.05.06.2006 20:41скачать
n41.doc40kb.05.06.2006 20:23скачать
n42.doc30kb.05.06.2006 20:25скачать
n43.doc34kb.05.06.2006 20:27скачать
n44.doc47kb.05.06.2006 20:21скачать
n45.doc33kb.05.06.2006 20:13скачать
n46.doc37kb.05.06.2006 20:11скачать
n47.doc31kb.05.06.2006 20:10скачать
n48.doc896kb.23.02.2007 22:13скачать
n49.doc5166kb.30.03.2010 21:11скачать
n50.doc1504kb.08.03.2007 17:02скачать
n51.doc7561kb.30.03.2010 21:14скачать

n6.doc

13. Результант двух многочленов. Исключение переменной из системы двух уравнений с двумя переменными.

Пусть и - многочлены из кольца многочленов над полем . Найдём условия, при которых эти полиномы обладают общим делителем положительной степени.

Теорема1. Пусть и - многочлены от над полем такие, что , и, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля. Полиномы и имеют общий делитель положительной степени в тогда и только тогда, когда в существуют полиномы и , удовлетворяющие условиям: 1) 2) 3) хотя бы один из полиномов и отличен от нуля.

Опр. Результантом полиномов и называется определитель R, вида:



Теорема2. Пусть - многочлены над полем . И хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Многочлены и имеют общий делитель положительной степени тогда и только тогда, когда результант этих полиномов равен нулю.

Следствие. Если результант полиномов и равен нулю, то либо полиномы имеют общий делитель положительной степени, либо коэффициенты равны нулю и обратно.

Исключение переменных.

Результант можно применить к исключению переменных из системы двух алгебраических уравнений, хотя бы одно из которых нелинейно, с двумя переменными. Пусть дана система уравнений (1) , где и - многочлены от и над полем . Запишем эти полиномы по убывающим степеням :



где и полиномы из кольца . Найдём результант полиномов и , рассматривая их как полиномы от . Этот результант есть полином из кольца , обозначим его . Предположим, что система (1) имеет решение . Тогда полиномы имеют общий корень . Поэтому они имеют общий множитель положительной степени. Следовательно (по теореме2) их результант . Т.о. решение системы уравнений (1) с двумя переменными сведено к решению уравнения (2) с одной переменной . Говорят, что (2) представляет собой результант исключения из системы (1).
А14. Порядок элемента группы. Циклические группы.

Пусть - мультипликативная группа, е – её единичный элемент и .

Опр. Порядком элемента а группы называется наименьшее отличное от нуля натуральное число такое, что . Если же для любого ненулевого натурального числа , то а называют элементом бесконечного порядка.

Порядок элемента а группы обозначается через .

Теорема. Пусть - порядок (конечный) элемента а мультипликативной группы. Равенство , где - целое число, выполняется тогда и только тогда, когда делит .

Следствие. Пусть а – элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок . Равенство , где и - целые числа, выполняется тогда и только тогда, когда делит .

Следствие. Пусть а – элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок . Тогда элементы различны.

Следствие. Пусть а – элемент бесконечного порядка мультипликативной группы и , - целые числа. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда =.

Циклические группы.

Опр. Мультипликативная (аддитивная) группа называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней (кратных) какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

Примеры: 1) Пусть Z,+,-> - аддитивная группа целых чисел. Каждый элемент группы является кратным 1 (или -1). Следовательно, есть циклическая группа с образующим элементом 1 (или -1).

2) Пусть - целое положительное число, и - множество всех классов вычетов по модулю . Операция сложения + и унарная операция – определяются так: , .

Операция сложения ассоциативна и коммутативна, есть нейтральный элемент относительно сложения классов и . Следовательно, алгебра =m,+,-> есть коммутативная группа порядка . Она является циклической группой с образующим элементом . Группа называется аддитивной группой классов вычетов по модулю .

Теорема. Если образующий элемент циклической группы имеет бесконечный порядок, то группа изоморфна аддитивной группе целых чисел. Если же образующий элемент циклической группы имеет конечный порядок, то группа изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю .


А15. Идеалы кольца. Сравнения и классы вычетов по идеалу.

Опр. Пусть К=<K,+,-, . , 1> - кольцо и I – подмножество множества К. Множество I называется замкнутым в К относительно вычитания, если для любых элементов и из .

Опр. Множество называется устойчивым относительно умножения справа на элементы кольца К, если для любого из и любого из К, т.е. если множество вместе с каждым своим элементом содержит все его правые кратные , где К. Аналогично определяется множество устойчивое относительно умножения слева на элементы кольца К.

Опр. Множество называется устойчивым относительно умножения на элементы кольца К, если оно устойчиво относительно умножения справа и слева на элементы кольца К.

Опр. Правым (левым) идеалом кольца К называется любое непустое подмножество множества К, замкнутое в К относительно вычитания и устойчивое относительно умножения справа (слева) на элементы кольца К.

Опр. Двусторонним идеалом кольца К или просто идеалом кольца К называется любое непустое подмножество К, если оно является одновременно правым и левым идеалом кольца К.

Рассмотрим операции над идеалами. Пересечением идеалов и кольца К называется множество ?. Аналогично определяется пересечение любой совокупности идеалов кольца. Пересечение любой совокупности идеалов кольца есть идеал этого кольца.

Суммой идеалов и называется множество +, определяемое равенством . Сумма идеалов кольца есть идеал этого кольца. Сложение идеалов обладает свойством коммутативности и ассоциативности.

Произведением идеалов и кольца К называется множество всех элементов вида , где и - любое целое положительное число. Произведение обозначается *. Произведение идеалов кольца есть идеал этого кольца.

Сравнения и классы вычетов по модулю.

Пусть - фиксированный произвольный идеал кольца К.

Опр. Элементы кольца К называются сравнимыми по идеалу I, если .

Запись означает, что элементы сравнимы по идеалу I.

Теорема. Отношение сравнения по идеалу I в кольце К (на множестве К) является отношением эквивалентности.

Опр. Классы эквивалентности отношения сравнения по идеалу I в кольце К называются классами вычетов по идеалу I ил смежными классами кольца К по идеалуI.

Класс вычетов, содержащий элемент а кольца К, будем обозначать . Очевидно, .

Теорема. Классы вычетов кольца К по идеалу I обладают следующими свойствами: 1) любые два класса вычетов либо совпадают, либо не пересекаются; 2) объединение всех классов вычетов кольца К по идеалу I совпадает с множеством ; 3) классы вычетов и по идеалу I совпадают тогда и только тогда, когда ; 4) если о (в частности, ).

Рассмотрим основные свойства сравнений по идеалу.

Свойство1. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, т.е. из и следует, что и .

Свойство 2. Обе части сравнения можно умножить на любое целое число , т.е. из следует , где .

Свойство 3. Обе части сравнения можно умножить справа и слева на любой элемент кольца, т.е. из и следуют сравнения , .

Свойство 4. Сравнения можно почленно перемножить, т.е. если и , то

.

16. Цепные дроби. Подходящие дроби конечной цепной дроби.

Любое рациональное число можно представить в виде , где и -целые числа . Применив к и алгоритм Евклида, получим цепочку равенств: где

Эту цепочку можно записать в виде .

Пользуясь этими равенствами, можно выразить через числа . В результате получим (1). Выражение в этом равенстве называют цепной дробью.

Опр. Конечной цепной дробью называется выражение вида (1), где - целое число, - положительные целые числа и .

Цепную дробь (1) обычно сокращённо записывают в виде .

Приведённые выше рассуждения показывают ,что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. Всякое рациональное число обладает единственным представлением в виде конечной цепной дроби.

Подходящие дроби.

Пусть (1) есть конечная цепная дробь. Цепная дробь где называется -й подходящей дробью к дроби (1). По определению, нулевой подходящей дробью к дроби (1) называется число . Отметим, что -я подходящая дробь может быть получена из -й подходящей дроби в результате замены элемента на .

Определим числа и () индуктивно с помощью следующих формул (3):

().

Теорема. Для любой подходящей дроби к цепной дроби (1) имеет место равенство . Числа и называют числителем и знаменателем -й подходящей дроби.

Теорема. Для выполняется равенство .

Следствие. Числа и взаимно простые и, значит каждая дробь несократима.

Следствие. Для выполняется равенство .

А17. Показатель числа и класса вычетов по модулю.

Пусть - число, взаимно простое с . Показателем (порядком) числа а по модулю называется наименьшее целое положительное число такое, что . Если , то имеет тот же показатель по модулю , что и . Таким образом, все элементы класса вычетов имеют порядок ; число называют порядком класса вычетов и обозначается через .

Теорема 1. Если , то числа попарно несравнимы по модулю .

Д-во: Если где , то , что противоречит условию, т.к. . Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть и - любое целое неотрицательное число. Сравнение выполняется тогда и только тогда, когда делится на .

Теорема 3. Если , то делится на .

Д-во: В силу теоремы 2 из и условия следует, что делится на

Теорема 4. Пусть . Сравнение имеет место тогда и только тогда, когда .

Теорема 5. Пусть и числа взаимно простые с . Если числа и взаимно простые, то .

Теорема 6. Если и – натуральный делитель числа , то .

Теорема 7. Если и , то .

Теорема 8. Если и , то . (эта теорема непосредственно следует из 7)


А18. Целые и рациональные корни многочлена (полинома) с целыми коэффициентами. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Следующая теорема даёт возможность найти рациональные корни полинома с целыми коэффициентами.

Теорема 1. Пусть и - целые взаимно простые числа и . Если / - корень многочлена с целыми коэффициентами, то делит и делит .

Следствие 1. Если целое число есть корень полинома с целыми коэффициентами, то делит свободный член .

Следствие 2. Рациональный корень нормированного полинома с целыми коэффициентами является целым числом.

Критерий неприводимости Эйзенштейна.

Вопрос о приводимости многочлена в кольце сводится к вопросу о приводимости в кольце .

Теорема 2. Пусть - многочлен из кольца многочленов . Если полином приводим в кольце , то он приводим в кольце .

Теорема (критерий Эйзенштейна). Пусть - полином с целыми коэффициентами. Пусть в се коэффициенты полинома , кроме старшего, делятся на какое-нибудь простое число и свободный член не делится на . Тогда полином неприводим в кольце .

Доказательство: Допустим, что полином приводим в кольце . Тогда в силу теоремы 2 он приводим в кольце , т.е. в Z[x] существуют такие полиномы

И положительной степени, что . Пусть , ; тогда (1) = причём ,

(2) ,

(3) .

По условию,

(4)

В силу (2) и (4) только одно из чисел и делится на ; пусть

(5) .

По условию, . Отсюда в силу (3) следует, что

(6) .

Пусть - не делящийся на коэффициент полинома с наименьшим индексом, т.е.

(7) …,. ().

В силу (1) коэффициент можно представить в виде ().

Из (7) следует, что делит , а так как не делит и , то не делит , причём . Это противоречит условию теоремы, поскольку по условию делит коэффициенты . Ч.т.д.


А19. Индексы по простому множителю.

Пусть есть первообразный корень по модулю . Тогда числа (1) образуют приведённую систему вычетов по модулю . Поэтому любое число , взаимно простое с , сравнимо с одним из чисел ряда (1).

Если , то называется индексом числа а по модулю р при основании и обозначается символом ind или indg. Если - другое число, для которого , то и . Таким образом, множество индексов данного числа образуют класс вычетов по модулю . Из определения индекса вытекает, что из следует indind.

Теорема. Если числа и взаимно простые с и - любое натуральное число, то indind ind, ind ind.

Доказательство. По определению индексов чисел и имеем , отсюда находим произведение . Следовательно, ind ind есть один из индексов произведения , т.е.

indind ind.

Из сравнения следует, что поэтому ind есть один из индексов степени , т.е. ind ind. Ч.т.д.

Примеры: 1) Пусть ; тогда ind8=9, ind6=8, ind

2) Решить сравнение .

Данное сравнение равносильно такому: ind6+indx=ind7(mod12), или indxind7-ind6=11-5=6(mod12). Отсюда следует, что

Теорема. Пусть - мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с , и С есть аддитивная группа классов вычетов по модулю . Отображение , ставящее в соответствие каждому элементу группы элемент ind группы С, есть изоморфизм группы на группу С.

А20. Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю.

Для описания мультипликативной группы вычетов по простому модулю необходимо изучить числа, имеющие наибольший порядок поэтому модулю.

Теорема: Пусть - простое число и - натуральный делитель числа . В приведенной системе вычетов по модулю существует точно чисел, имеющих порядок .

Д-во: Пусть В – приведённая система вычетов по модулю . Пусть - некоторый натуральный делитель числа . Обозначим через число элементов из В ,порядок которых равен . Допустим, что существует хотя бы один элемент , имеющий порядок т.е. . Тогда - различные по модулю решения сравнения (1) и других решений нет. Поэтому все вычеты порядка должны принадлежать множеству . Число имеет порядок тогда и только тогда, когда . Отсюда следует, что , если существует хотя бы один элемент порядка . Таким образом, (2) для любого делителя числа .

Так как каждый вычет имеет некоторый порядок , являющийся делителем , то .

С другой стороны поэтому (3) . На основании (2) и (3) заключаем, что для любого натурального делителя числа . Ч.т.д.

Опр. Если вычет по модулю имеет порядок , то называется первообразным корнем по модулю .

Теорема. Группа вычетов по модулю , взаимопростых с модулем, циклична. Число первообразных корней по модулю равно .

Эта теорема непосредственно следует из предыдущей теоремы, согласно которой существует образующих группы вычетов, взаимно простых с .

Если есть первообразный корень по модулю , то степеней (1) несравнимы по модулю . Следовательно верно следующее предложение.

Предложение. Если есть первообразный корень по модулю , то степеней представляют собой приведённую систему вычетов по модулю .

Первообразные корни существуют не для всякого модуля , а лишь ( - нечётное простое число).

Первообразные корни по модулям и , где - простое нечетное и , можно разыскивать, пользуясь следующей теоремой:

Теорема: Пусть и - различные простые делители числа . Для того чтобы число , взаимно простое с , было первообразным корнем по модулю , необходимо и достаточно, чтобы это не удовлетворяло ни одному из сравнений , ,…, .


А21. Полиномы над полем. НОД двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Определение. Многочленом (полиномом) от над кольцом называется выражение вида: , где , .

В записи — старший коэффициент; — свободный член; если , то многочлен называется нормированным. — степень многочлена (обозначается: ). Степень суммы многочленов не превосходит наибольшей из степеней складываемых многочленов. Нулевому многочлену не приписывается никакой степени. Степень произведения многочленов равна сумме их степеней.

и — деление с остатком на .

Будем рассматривать многочлен над полем Р.

Опр. : мн-н h(x) назыв. общим делителем f(x) и g(x), если f(x) делится нацело на h(x) и g(x) делится на цело на h(x).

Опр.: мн-н d(x) назыв. НОД мн-ов f(x) и g(x), если он явл. общим делителем и делится на любой общ. делитель. НОД (f:g)= (f:g)

Не только d(x) яв-ся НОД, но с* d(x) , с 0 –НОД , сл-но у 2-х мн-ов бесчисленное мно-во НОД, отли-ся коэ-ми.

Л 1: если f(x) делится нацело на g(x), то НОД = g.

Л 2: если f(x) делится нацело на g(x) и r(x) – остаток от деления, то тогда НОД (f:g)= (g: r)

Рассмотрим алгоритм Евклида:

f(x):g(x) : f(x)=g(x)g(x)+r(x),

g(x):r(x) : g(x)= r(x)g(x)+r(x)

r(x)= r(x) g (x)+ r (x)

………………………………………..

r(x)= r(x)g(x)+r(x)

Степень g(x)>ст. r(x)> ст. r(x)>…> Т.к. степень остатка неотрицательна, то бесконечно убывать не может , сл-но на некотором шаге: 1) получится степень = 0 и на на сл-ем шаге остаток будет =0, 2) или же сразу получится остаток=0, т.е. r(x) тождественно равен 0.

Т.: НОД мн-ов f и g равен последнему 0 остатку в алгоритме Евклида.

Док-во: (f:g)= (g: r)= (r:r)=(r:r)=….=(r:r)=r

Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Опр.: мн-н f с коэф-ми из поля Р полож. степени назыв. неприводимым, если его нельзя представить виде произведения 2-х мн-ов с пол. степенями с коэ-ми из поля Р.

Л : если мн-н p(x) и q(x) нормированные и неприводимые, и p(x) делится нацело q(x), то они =.

Т. : всякий мн-н поло-ой степени можно представить единственным образом виде произведения старших коэ-ов и нормированных неприводимых мн-ов.

Док-во: (методом мат. индукции по степени мн-ов): Пусть степень мн-на =1 сл-но f(x)=ax+a= a * (x+) – утверждение справедливо. Пред-им, что утв-ие справ-во для мн-ов степени < n и док-ем, что утв-ие справ-во для мн-ов степени =n. Сл-но f(x) =ax+…+ a. Случаи: 1) этот мн-н неприводим , сл-но утве-ие справ-во, т.к. f(x)= a( x+).

2) пусть f(x) – приводим, тогда его можно представить виде f(x) = f(x)f(x) сл-но степень f и f< f сл-но утвер-ие теоремы справедливо для них, т.е. f(x)= ap(x)***p p(x)***p(x). Сравнивая коэ-ты мы приходим к выводу f(x)= ap(x)***p p(x)*** т.е. разложение возможно.

Док-ем единственность. Пусть сущ-ет 2-ой способ f(x)=a q(x)q(x)***q(x)= p(x)*** p(x) | : a. (Т.к. если p(x) – неприводим и f(x)***f(x) делится нацело, то на p(x) делится нацело хотя бы один из сомножителей.) Сл-но q(x) делится нацело на p(x). По лемме эти мно-ны равны, сл-но f(x) сократим на p и q. Оставшееся произведение имеет степень < n и поэтому для него спра-во индук-ое предп-ие. Значит, q(x)= p(x)***t=s. Т.д.

13. Результант двух многочленов. Исключение переменной из системы двух уравнений с двумя переменными
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации