Лекции по квантовой физике - файл n5.doc

Лекции по квантовой физике
скачать (987.5 kb.)
Доступные файлы (6):
n1.doc697kb.18.11.2007 17:14скачать
n2.doc354kb.23.12.2008 20:03скачать
n3.doc496kb.23.12.2008 20:05скачать
n4.doc366kb.24.12.2008 00:11скачать
n5.doc231kb.22.11.2010 18:57скачать
n6.doc454kb.22.11.2010 18:57скачать

n5.doc





Лекция 5(14)

5. Механика системы микрочастиц


План лекции

  1. Волновая функция системы микрочастиц

  2. атома водорода в квантовой механике:

а) квантование энергии;

б) квантовые числа

в) кратность вырождения;

г) Спектр. Правило отбора

д) Символы состояний

  1. 1s – состояние электрона в атоме водорода;

  2. спин электрона. Спиновое квантовое число.

  3. Тождественность частиц одного и того же вида и принцип Паули

  4. периодическая таблица Менделеева



5.1.Волновая функция системы микрочастиц



Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

? = ?(х1, х2,…, хN , t),

где хi совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица находится

.

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты xi, yi, zi не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

.

Этот интеграл 3N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

.

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц,

второепотенциальная энергия их во внешнем поле,

третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

.

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:

.

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

,

где .

Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется.

Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:

.

Для нахождения функций ?(х12,…,хN) нужно решить уравнение Шредингера без времени



или

. (5.1)

Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i-той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:
. (5.2)

Получаем

,

разделим на ?1?2…?N

.
Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:

, (5.3)

на которые распадается уравнение (5.1).

Решив уравнение (5.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через ni (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, ms). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.

Итак, для системы:


- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.

Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:


.

Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (5.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.

5.2. Тождественность частиц одного и того же вида и

принцип Паули


В системе микрочастиц проявляются также физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной микрочастицы.

Квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, например, электронов, протонов, фотонов и т.д., обладает некоторыми новыми свойствами, не имеющими аналога в классической физике. Они связаны с абсолютной тождественностью частиц одного и того же вида.

В макромире всегда можно различить два тела по массе, заряду, энергии и т.д. Все эти величины в классической физике считаются изменяющимися непрерывно, так что вопрос о различии параметров частиц сводится к степени точности измерений. Более того, при совпадении всех характеристик частиц одного и того же вида всегда можно отличить частицы друг от друга, постоянно следя за движением каждой частицы по своей траектории.

В микромире имеют место дискретные значения величин, характеризующих микрочастицы. Внутренние параметры у частиц одного вида совершенно одинаковы, так, у всех электронов одинаковы масса, заряд, спин. Если частицы находятся в одинаковых состояниях, то совпадают и параметры состояний: у них одинаковые энергия в связанном состоянии, момент импульса и его проекция, проекция спина. Абсолютное совпадение характеристик микрочастиц одного вида приводит к их тождественности, принципиальной неразличимости. Это положение носит название принципа тождественности частиц и является постулатом квантовой механики системы частиц.

Принцип тождественности связан и с тем, что при тесном сближении невозможно проследить за каждой частицей в отдельности вследствие неопределенности положений частиц в пространстве.

В случае столкновения классических тел всегда можно установить, какое из них отскочило вверх или вниз (рис.5.1.а).

Для квантовых объектов вместо траекторий приходится рассматривать «трубку», в которой движется волновой пакет (рис.5.1.б) Если нет перекрывания волновых пакетов, то частицы можно различить по их положению в пространстве.

Однако при взаимодействии или даже при сближении без взаимодействия трубки пересекаются и нельзя установить, где какая частица находится. Поэтому после соударения можно сказать только, что одна из частиц полетела вверх, а другая – вниз. В микроскопической системе, например, в атоме, волновые функции отдельных частиц (электронов) перекрываются, т.е. отличны от нуля в одних и тех же точках пространства. Поэтому при одинаковых характеристиках частицы совершенно неотличимы друг от друга.

Принцип тождественности приводит к важнейшему выводу: в силу абсолютной неразличимости одного и того же вида перестановка местами любых двух частиц в системе не приводит к изменению физического состояния системы.

Посмотрим, какие ограничения накладывает принцип тождественности на операторы физических величин функции состояния системы. Для этого учтем, что перестановка частиц в системе отображается в операторах и функциях состояния перестановкой соответствующих координат. Так, перестановка j -ой и k -ой частиц означает перестановку xj и xk.

Операторы физических величин должны быть симметричными относительно индексов частиц одного сорта, т.е. они не должны зависеть от нумерации этих частиц в системе. Этому правилу удовлетворяют все операторы, введенные ранее для системы.

Волновая функция системы при перестановке аргументов, относящихся к двум разным частицам, может изменяться только на физически несущественный фазовый множитель еi?.

Поэтому для функции состояния системы должно выполняться равенство:
.

Сделаем вторую перестановку координат двух рассматриваемых частиц в правой части этого равенства:

,

отсюда



Следовательно, при перестановке координат любых двух частиц волновая функция либо только меняет знак, либо не изменяется.

Функции первого типа называются антисимметричными,

а второго - симметричными (по отношению к перестановке частиц местами).

Симметрия функций состояния не зависит от взаимодействия и движения частиц в системе.

Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизован­ного лития Li++ и др.) сводится к зада­че о движении электрона в кулонов-ском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодей­ствия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),

где г — расстояние между электроном и ядром.

Графически функция U(r) изображе­на жирной кривой на рис. 305. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убы­вает.

Состояние электрона в атоме водо­рода описывается волновой функци­ей i[), удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учиты­вающему значение (223.1):

где т — масса электрона; Е — поли
энергия электрона в атоме. \

Так как поле, в котором движея электрон, является центрально-сй метричным, то для решения уравнеШ (223.2) обычно используют сфери^ скую систему координат: г, 9, ip. He Bjj ваясь в математическое решение Ш задачи, ограничимся рассмотрели! важнейших результатов, которые] него следуют, пояснив их физическ) смысл.

1. Энергия. В теории дифферент альных уравнений доказывается, %уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям одно­значности, конечности и непрерывнос­ти волновой функции -ф, только при собственных значениях энергии

т.е. для дискретного набора отрица­тельных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «по­тенциальной ямы» с бесконечно высо­кими «стенками» (см. § 220) и гармо­нического осциллятора (см. § 222), ре­шение уравнения Шредингера для ато­ма водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Еь Е2, Е3, ... по­казаны на рис. 305 в виде горизонталь­ных прямых.

Самый нижний уровень Ех, отвеча­ющий минимальной возможной энер­гии, — основной, все остальные п > Еь п - 2,3,...) — возбужденные (см. § 212). При Е < 0 движение электрона явля­ется связанным — он находится внут­ри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энер­гетические уровни располагаются тес­нее и при п = со Јто = 0. При Е > 0 дви­жение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 305) соответ­ствует ионизованному атому. Энергия | ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с фор-I мулой (212.3), полученной Бором для I энергии атома водорода. Однако если | Бору пришлось вводить дополнитель-I ные гипотезы (постулаты), то в кванто-^ вой механике дискретные значения

энергии, являясь следствием самой те­ории, вытекают непосредственно из ре­шения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции i|;n,mi (r, G, ip), оп­ределяемые тремя квантовыми числа­ми: главным п, орбитальным I и магнит­ным то,.

Главное квантовое число п, соглас­но (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может при­нимать любые целочисленные значе­ния, начиная с единицы:

п=1,2,3, ... .

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (меха­нический орбитальный момент) элект­рона квантуется, т. е. не может быть про­извольным, а принимает дискретные значения, определяемые по формуле

где / — орбитальное квантовое чис­ло, которое при заданном п принимает значения

1=0,1 (п-1), (223.5)

т.е. всего п значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шрединге­ра следует также, что вектор L, момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Lh на направле­ние z внешнего магнитного поля при­нимает квантованные значения, крат­ные h:

Llz = hmh (223.6)

где То; — магнитное квантовое число,

которое при заданном / может прини­мать значения

гщ = 0,±1,±2, ...,±1, (223.7

т.е. всего 21 + 1 значений. Таким обра­зом, магнитное квантовое число щ оп­ределяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса элек­трона в атоме может иметь в простран­стве 21+1 ориентации.

Наличие квантового числа т, долж­но привести в магнитном поле к рас­щеплению уровня с главным кванто­вым числом п на 21+ 1 подуровней. Со­ответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектраль­ных линий. Действительно, расщепле­ние энергетических уровней в магнит­ном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П.Зееманом (1865 —1945) и получило название эф­фекта Зеемана, Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное эксперименталь­но, называется эффектом Штарка1.

Хотя энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному зна­чению Еп (кроме Ег) соответствует не­сколько собственных функций i)jnfaj, от­личающихся значениями I и щ. Следо­вательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Так как при данном п орбитальное квантовое число I может изменяться от О до п - 1 [см. (223.5)], а каждому зна­чению I соответствует 21+1 различных значений т; (223.7), то число различ­ных состояний, соответствующих дан­ному п, равно

п-1

Ј](2/ + 1) = п2. (223.8)

г=о

Квантовые числа и их значения яв­ляются следствием решений уравнений

Шредингера и условий однозначное™ непрерывности и конечности, налагав мых на волновую функцию ip. КромИ того, так как при движении электрони в атоме существенны волновые своЯ ства электрона, то квантовая механики вообще отказывается от классического] представления об электронных орбиВ тах. Согласно квантовой механике, каж-1 дому энергетическому состоянию соот-1 ветствует волновая функция, квадрат! модуля которой определяет вероят-1 ность обнаружения электрона в едини­це объема.

Вероятность обнаружения электро­на в различных частях атома неодина­кова. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, обра­зуя электронное облако, плотность (гу­стота) которого характеризует вероят­ность нахождения электрона в различ­ных точках объема атома. Квантовые числа п и I характеризуют размер и форму электронного облака, а кванто­вое число mi ~ ориентацию электрон­ного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числа­ми 1= 0, называют s-состоянием (элек­трон в этом состоянии называют s-элек-троном), 1=1^-состоянием, 1 = 2-d-состоянием, 1=3/-состоянием и т. д. Значение главного квантового чис­ла указывается перед условным обозна­чением орбитального квантового чис- | ла. Например, электроны в состояниях | сп = 2и/ = 0и1 обозначаютсясоответ- | ственно символами 2s и 2р.







На рис. 306 для примера приведено 1 распределение электронной плотности I (формы электронного облака) для состо- | яний атома водорода при п = 1 и п = 2, 1 определяемое |tpnfrnJ2. Как видно из ри- у сунка, оно зависит от п, 1я т;. Так, при I I = 0 электронная плотность отлична от 1нуля в центре и не зависит от направ-; ления (сферически-симметрична), а ; для остальных состояний в центре рав-\ на нулю и зависит от направления. [ 3. Спектр. Квантовые числа I, n и щ i позволяют более полно описать спектр | испускания (поглощения) атома водо-I рода, полученный в теории Бора (см. I рис. 297).

j В квантовой механике вводятся пра -| вила отбора, ограничивающие число ; возможных переходов электронов в

атоме, связанных с испусканием и по-\ глощением света. Теоретически доказа-\ но и экспериментально подтверждено, i что для дипольного излучения электро-i на, движущегося в центрально-симмет-| ричном поле ядра, могут осуществлять-\ ся только такие переходы, для которых: г 1) изменение орбитального кванто-; вого числа ДI удовлетворяет условию

AZ=±1; (223.9)

2) изменение магнитного квантово-i го числа Дт, удовлетворяет условию

Дт, = 0,±1 В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняют­ся. Однако в принципе могут наблю­даться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с А1 = 2. Появление этих линий объяс­няется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает перехо­ды, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадру-польных переходов (переходы с А1 = 2) во много раз меньше вероятности ди-польных переходов, поэтому «запре­щенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состо­яний, соответствующих данному п, и правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 307). Серии Лаймана соответству­ют переходы

пр—►Is (n = 2, 3, ...);

серии Бальмера —

пр—>2s, ns—»2p, nd—*2p (n = 3, 4, ...);

и т.д. Переход электрона из основного со­стояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам Is—>np (п= 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

§ 224. Is-Состояние электрона в атоме водорода

ls-Состояние электрона в атоме во­дорода является сферически-симмет­ричным. Волновая функция -ф электро­на в этом состоянии определяется толь­ко расстоянием г электрона от ядра, т. е. ■ф = г|;100(г), где цифры в индексе соот­ветственно указывают, что п — 1,1 = О и ГП[ = 0. Уравнению Шредингера для 1 s-состояния электрона в атоме водоро­да удовлетворяет функция вида

^ = Се"«, (224.1)

24-гсе0

где, как можно показать, а — ^- —

mez величина, совпадающая с первым бо-

ровским радиусом а [см. (212.2)] для атома водорода; С — некоторая посто­янная, определяемая из условия норми­ровки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии ■ф-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому эле­мент объема dV, отвечающий одинако­вой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферичес­кого слоя радиусом г и толщиной dr: dV = 4-nr2dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с уче­том (224.1),

оо оо 2г

1 = J\T\>\2dV = JC2e'~4тсгЧг.
о о

После интегрирования получим

С = -^=. (2242)

V^a3

Подставив выражение (224.2) в фор­мулу (224.1), определим нормирован­ную волновую функцию, отвечающую ls-состоянию электрона в атоме водо­рода:

«г) = -7= el (224.3) Vttut

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема [см. (216.2)] равна

dW= ЩЧУ= |o|f4irr2dr.

Подставив в эту формулу волновую

функцию (224.3), получим плотность

dW вероятности w = ——: dr

1 — w = —re ° 4irr2dr. тест

Вычислим те расстояния rmax от ядра, на которых электрон может быть обна­ружен с наибольшей вероятностью.

Исследуя выражение —— на максимум,

dr получим, что rmax = а. Следовательно,

электрон может быть обнаружен с наи­большей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеет­ся равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома.

Казалось бы, квантово-механиче-ский расчет дает полное согласие с тео­рией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь;1при г = а достигает максимума, остава­ясь отличной от нуля во всем простран­стве (рис. 308). Таким образом, в основ­ном состоянии атома водорода наибо­лее вероятным расстоянием от электро­на до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключа­ется квантово-механический смысл бо-ровского радиуса.

§ 225. Спин электрона. Спиновое квантовое число

I 0. Штерн и В. Герлах, проводя пря-[ мые измерения магнитных моментов s (см. § 131), обнаружили в 1922 г., что [ узкий пучок атомов водорода, заведо­мо находящихся в s-состоянии, в не­однородном магнитном поле расщепля­ется на два пучка. В этом состоянии мо-: мент импульса электрона равен нулю , [см. (223.4)]. Магнитный момент ато-{ ма, связанный с орбитальным движени-. ем электрона, пропорционален механи-• ческому моменту [см. (131.3)], поэтому , он равен нулю и магнитное поле не дол-г ясно оказывать влияния на движение I атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно. Од­нако в дальнейшем при применении \ спектральных приборов с большой раз-< решающей способностью было доказа-. но, что спектральные линии атома во-: дорода обнаруживают тонкую структу­ру (являются дублетами) даже в отсут-| ствие магнитного поля Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда дру­гих трудностей в атомной физике аме­риканские физики Д. Уленбек (1900 — 1974) и С. Гаудсмит (1902 -1979) пред­положили, что электрон обладает соб­ственным неуничтожимым механиче­ским моментом импульса, не связан­ным с движением электрона в простран­стве, — спином (см. § 131).

Спин электрона (и всех других мик­рочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутрен­нее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается соб­ственный механический момент им­пульса (спин) Ls, то ему соответствует собственный магнитный момент pms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

Ls = /ц/ф + 1),

где sспиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным момен­том импульса, проекция репина кван­туется так, что вектор Ls может прини­мать 2 s + 1 ориентации. Так как в опы­тах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = 1/2- Проекция спина на на­правление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, оп­ределяется выражением, аналогичным (223.6):

L,z = hms,

где msмагнитное спиновое кванто­вое число; оно может иметь только два значения: ms = ±V2-

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризо­вать электроны (и микрочастицы вооб­ще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описа-

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда дру­гих трудностей в атомной физике аме­риканские физики Д. Уленбек (1900 — 1974) и С. Гаудсмит (1902 -1979) пред­положили, что электрон обладает соб­ственным неуничтожимым механиче­ским моментом импульса, не связан­ным с движением электрона в простран­стве, — спином (см. § 131).

Спин электрона (и всех других мик­рочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутрен­нее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается соб­ственный механический момент им­пульса (спин) Ls, то ему соответствует собственный магнитный момент pms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

Ls = /ц/ф + 1),

где sспиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным момен­том импульса, проекция репина кван­туется так, что вектор Ls может прини­мать 2 s + 1 ориентации. Так как в опы­тах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = 1/2- Проекция спина на на­правление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, оп­ределяется выражением, аналогичным (223.6):

L,z = hms,

где msмагнитное спиновое кванто­вое число; оно может иметь только два значения: ms = ±V2-

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризо­вать электроны (и микрочастицы вооб­ще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описа-

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенно­стей вытекает, что для микрочастиц во­обще неприменимо понятие траекто­рии; состояние микрочастицы описыва­ется волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|i|>|2) на­хождения микрочастицы в окрестнос­тях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тож­дественных частиц в пространстве пе­рекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь го­ворить о вероятности нахождения в данной области одной из тождествен­ных частиц.

Таким образом, в квантовой механи­ке тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и ста­новятся неразличимыми. Следует под­черкнуть, что принцип неразличимос­ти тождественных частиц не является просто следствием вероятностной ин­терпретации волновой функции, а вво­дится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины |г|;|2, принцип неразли­чимости тождественных частиц можно записать в виде

|Ф(^1,^2)|2 = |^b(^2^i)|2, (226.1)

где хх и х2 — соответственно совокуп­ность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что воз­можны два случая:

т\){хъх2) = ±Цх21),

т.е. принцип неразличимости тожде­ственных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами вол­новая функция не меняет знака, то онаназывается симметричной, если меня­ет — антисимметричной.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же явля­ется доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии — при­знак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или ан­тисимметрия волновых функций опре­деляется спином частиц. В зависимос­ти от характера симметрии все элемен­тарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спи­ты (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисиммет­ричными волновыми функциями и под­чиняются статистике Ферми—Ди­рака; эти частицы называются ферми-онами.

Частицы с нулевым или целочислен­ным спином (например, тс-мезоны, фо­тоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Слож­ные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фер-мионов, являются фермионами (сум­марный спин — полуцелый), а из чет­ного — бозонами (суммарный спин це­лый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тожде­ственных частиц от спина частиц тео­ретически обоснована швейцарским физиком В.Паули (1900-1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундамен­тальной характеристикой микрочас­тиц§ 227. Принцип Паули.

Распределение электронов

в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их вол­новая функция симметрична относи­тельно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут на­ходиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обоб­щая опытные данные, В. Паули сформу­лировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описыва­емых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Пау­ли, которая и была введена им в кван­товую теорию (1925) еще до утвержде­ния квантовой механики: в системе оди­наковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что чис­ло однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лими­тируется.

Напомним, что состояние электро­на в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

главного п(п= 1, 2, 3,...), орбитального 1(1= 0, 1, 2, ..., п— 1), магнитного mt

(m,=-/,...,-1,0, +1, ...,+0, магнитного спинового ms

(ms = +1/2, -l/2)-

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, кото­рый может быть использован в его про­стейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного

Главное квантовое число п

1

2

3

4

5

Символ оболочки

К

L

м

N

О

Максимальное число электронов в оболочке

2

8

18

32

50

Орбитальное квантовое число 1

0

0

1

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

3

4

Символ подоболочки

Is

2s



3s

Зр

3d

4s

Ар

Ad

4/

5s

Ър

bd

5/

59

Максимальное число электронов в подоболочке

2

2

6

2

6

10

2

6

10

14

2

6

10

14

18

электрона с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел п, I, mi и ms, т. е.

Z(n, I, mt, ms) — 0 или 1,

где Z(n, I, mh ms) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех кванто­вых чисел: п, I, щ, ms.

Таким образом, принцип Паули ут­верждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному п соответствует п2 различных состояний, отличающихся значениями /и ть Кван­товое число ms может принимать лишь два значения (±1/2). Поэтому макси­мальное число электронов, находящих­ся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

п-1 ,

Z(n) = ]>]2(2/ + l) = 2n2.

Совокупность электронов в много­электронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число п, называ­ют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяют­ся по подоболочкам, соответствующим данному I. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения

от 0 до п — 1, число под оболочек равно порядковому номеру п оболочки. Коли­чество электронов в подоболочке опре­деляется магнитным и магнитным спи­новым квантовыми числами: макси­мальное число электронов в подоболоч­ке с данным /равно 2(2/ + 1). Обозна­чения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболоч­кам представлены в табл. 11.

§ 228. Периодическая система элементов Менделеева

Принцип Паули лежит в основе си­стематики заполнения электронных со­стояний в атомах и позволяет объяс­нить Периодическую систему эле­ментов Д.И.Менделеева (1869) -фундаментальный закон природы, яв­ляющийся основой современной хи­мии, атомной и ядерной физики.

Д.И.Менделеев ввел понятие по- \ рядкового номера Z химического эле- I мента, равного числу протонов в ядре и соответственно равного общему числу 1 электронов в электронной оболочке I атома. Расположив химические элемен- | ты по мере возрастания порядковых но- | меров, он получил периодичность в из- | менении химических свойств элемен- 1 тов. Однако для известных в то время j

5. Механика системы микрочастиц
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации