Лекции по квантовой физике - файл n2.doc

Лекции по квантовой физике
скачать (987.5 kb.)
Доступные файлы (6):
n1.doc697kb.18.11.2007 17:14скачать
n2.doc354kb.23.12.2008 20:03скачать
n3.doc496kb.23.12.2008 20:05скачать
n4.doc366kb.24.12.2008 00:11скачать
n5.doc231kb.22.11.2010 18:57скачать
n6.doc454kb.22.11.2010 18:57скачать

n2.doc





Лекция 2 (11)

Двойственная корпускулярно-волновая

природа частиц вещества
План лекции:

1. Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества

2. Свойства волн де Бройля

3. Волновая функция

4. Принцип неопределенности

5. Уравнение Шредингера

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой движение электрона, или какой-либо другой частицы, связано с волновым процессом.

т.е. корпускулярно-волновой дуализм присущ всем без исключения частицам.

Если частица имеет кинетическую энергию Е, то ей соответствует длина волны де Бройля:



Для электрона, ускоряемого разностью потенциалов

кинетическая энергия ,

и длина волны Е. (1)
Опыты Дэвиссона и Джермера (1927).

Идея их опытов заключалась в следующем.

Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то можно ожидать, даже не зная механизма отражения этих волн, что их отражение от кристалла будет иметь такой же интерференционный характер, как у рентгеновских лучей.

  1. В одной серии опытов Дэвиссона и Джермера для обнаружения дифракционных максимумов (если таковые есть) измерялись ускоряющее напряжение электронов и одновременно положение детектора D (счетчика отраженных электронов).

В опыте использовался монокристалл никеля (кубической системы), сошлифованный так, как показано на рис.2.1.

Если его повернуть вокруг вертикальной оси в положение, соответствующее рисунку, то в этом положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярными к плоскости падения (плоскости рисунка), расстояние между которыми d=0,215 нм.

Детектор перемещали в плоскости падения, меняя угол ?.

При угле ? = 50° и ускоряю­щем напряжении U=54 В наблюдался особенно отчётливый максимум отраженных электронов, полярная диаграмма которого показана на рис.2.

Этот максимум можно истолковать как интерференционный максимум первого порядка от плоской дифракционной решетки с периодом

, (2)

что видно из рис.2 3.

На этом рисунке каждая жирная точка представляет собой проекцию цепочки атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка.

Пе­риод d может быть измерен независимо, например, по дифракции рентгеновских лучей.

Вычисленная по формуле (1) дебройлевская длина волны для U= 54 В равна 0,167 нм.

Соответствующая же длина волны, найденная из формулы (2), равна 0,165 нм. Совпадение настолько хорошее, что полученный результат следует признать убедительным подтверждением гипотезы де-Бройля.

  1. Другая серия опытов Дэвиссона и Джермера состояла:

в из­мерении интенсивности I отраженного электронного пучка при заданном угле падения, но при различных значениях ускоряю­щего напряжения U.

Теоретически должны появиться при этом интерференционные максимумы отражения подобно отражению рентгеновских лучей от кристалла. От различных кристаллических плоскостей кристалла в результате дифракции падающего излучения на атомах исходят волны, как бы испытавшие зеркальное отраже­ние от этих плоскостей. Данные волны при интерференции усиливают друг друга, если выполняется условие Брэгга-Вульфа:

2dsin ?=m?, m=1,2,3,…, (3)

где d межплоскостное расстояние,

? — угол скольжения.

Напомним вывод этой формулы.

Из рис. 4 видно, что разность хода двух волн, 1 и 2, отразившихся зеркально от соседних атомных слоев, АВС = 2dsin?.

Следовательно, направления, в которых возникают интерференционные максимумы, определяются условием (3).

Теперь подставим в формулу (3) выражение (1) для дебройлевской длины вол­ны.

Поскольку значения ? и d экспериментаторы оставляли неизменными, то из формулы (3) следует, что

~т, (4)

т.е. значения , при которых образуются максимумы отра­жения, должны быть пропорциональны целым числам т = 1, 2, 3, ..., другими словами, находиться на одинаковых расстояни­ях друг от друга.

Это и было проверено на опыте, результаты которого представлены на рис.2.5, где U представлено в вольтах.

Видно, что максимумы интен­сивности I почти равноудалены друг от друга (такая же карти­на возникает и при дифракции рентгеновских лучей от крис­таллов).

Полученные Дэвиссоном и Джермером результаты весьма убедительно подтверждают гипотезу де-Бройля. В теоретическом отношении, как мы видели, анализ дифракции дебройлевских волн полностью совпадает с дифрак­цией рентгеновского излучения.

Итак, характер зависимости (4) экспериментально подтвердился, однако наблюдалось некоторое расхождение с пред­сказаниями теории. А именно, между положениями экспери­ментальных и теоретических максимумов (последние показаны стрелками на рис. 5) наблюдается систематическое расхожде­ние, которое уменьшается с увеличением ускоряющего напря­жения U.

Это расхождение, как выяснилось в дальнейшем, обу­словлено тем, что при выводе формулы Брэгга-Вульфа не было учтено преломление дебройлевских волн.

О преломлении дебройлевских волн.

Показатель преломле­ния п дебройлевских волн, как и электромагнитных, определя­ется формулой

, (5)

где и фазовые скорости этих волн в вакууме и среде (кристалле).

Фазовая ско­рость дебройлевcкой волны — принципиально ненаблюдаемая величина. Поэтому формулу (5) следует преобразовать так, чтобы показатель преломления п можно было выразить через отношение измеряемых величин.

Это можно сделать следующим образом. По определению, фазовая скорость

, (6)

где k волновое число.

Считая аналогично фотонам, что частота и дебройлевских волн тоже не меняется при переходе границы раздела сред (если такое предположение несправедливо, то опыт неизбежно укажет на это), представим (5) с уче­том (6) в виде

(7)

Попадая из вакуума в кристалл (металл), электроны оказыва­ются в потенциальной яме. Здесь их кине­тическая энергия возрастает на «глубину» потенциальной ямы (рис. 6).

Из формулы (1), где , следует, что ?~ Поэтому выражение (7) можно переписать так:

(8)

где U0внутренний потенциал кристалла.

Видно, что чем бо­льше U (относительно ), тем п ближе к единице.

Таким обра­зом, п проявляет себя особенно при малых U, и формула Брэг­га-Вульфа принимает вид

(9)

Убедимся, что формула Брэгга-Вульфа (9) с учетом пре­ломления действительно объясняет положения максимумов ин­тенсивности на рис. 5.

Заменив в (9) п и ? согласно формулам (8) и (1) их выражениями через ускоряющую разность потенциалов U, т.е.

(10)

получим:

(11)

Теперь учтем, что распределение на рис.5 получено для никеля при значениях U0=15 B, d=0,203 нм и ?=80°.

Тогда (11) после несложных преобразований можно перепи­сать так:

(12)

Вычислим по этой формуле значение , например, для макси­мума третьего порядка (m = 3), для которого расхождение с формулой Брэгга-Вульфа (3) оказалось наибольшим:



Совпадение с действительным положением максимума 3-го по­рядка не требует комментариев.

Итак, опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блес­тящим подтверждением гипотезы де-Бройля.

Опыты Томсона и Тартаковского.

В этих опытах пучок элек­тронов пропускался через поликристаллическую фольгу (по ме­тоду Дебая при изучении дифракции рентгеновского излучения).

Как и в случае рентгеновского излучения, на фотопластинке, рас­положенной за фольгой, наблюдалась система дифракционных колец. Сходство обеих картин поразительно. Подозрение, что система этих колец порождается не электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возникающим в результате паде­ния электронов на фольгу, легко рассеивается, если на пути рассеянных электронов создать магнитное поле (поднести по­стоянный магнит). Оно не влияет на рентгеновское излучение. Такого рода проверка показала, что интерференционная карти­на сразу же искажалась. Это однозначно свидетельствует, что мы имеем дело именно с электронами.

Г. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (де­сятки кэВ),

II.С. Тарковский — со сравнительно медленными электронами (до 1,7 кэВ).

Опыты с нейтронами и молекулами.

Для успешного наблю­дения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны этих волн была сравнима с расстояниями между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользоваться частицами с достаточ­но малыми скоростями. Соответствующие опыты по дифракции нейтронов и молекул при отражении от кристаллов были проде­ланы и также полностью подтвердили гипотезу де-Бройля в при­менении и к тяжелым частицам.

Благодаря этому было экспериментально доказано, что вол­новые свойства являются универсальным свойством всех час­тиц. Они не обусловлены какими-то особенностями внутренне­го строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.

Опыты с одиночными электронами.

Описанные выше опыты выполнялись с использованием пучков частиц.

Поэтому возни­кает естественный вопрос: наблюдаемые волновые свойства выражают свойства пучка частиц или отдельных частиц?

Чтобы ответить на этот вопрос, В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили в 1949 г. опыты, в которых применялись столь слабые пучки электронов, что каждый электрон проходил через кристалл заведомо поодиночке и каждый рассеянный элект­рон регистрировался фотопластинкой.

При этом оказалось, что отдельные электроны по­падали в различные точки фотопластинки со­вершенно беспорядочным на первый взгляд образом (рис.7,а). Между тем при доста­точно длительной экспозиции на фотоплас­тинке возникала дифракционная картина (рис. 7, б), абсолютно идентичная картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было доказано, что волновыми свойст­вами обладают и отдельные частицы.

Таким образом, мы имеем дело с микро­объектами, которые обладают одновременно как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Это позволяет нам в дальней­шем говорить об электронах, но выводы, к которым мы придем, имеют совершенно об­щий смысл и в равной степени применимы к любым частицам

Из формулы де Бройля следовало, что волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей массу и скорость .

В 1929 г. доказали, что формула де Бройля справедлива и для пучков атомов и молекул.

Ǻ,

где ?молярная масса вещества,

NАчисло Авогадро,

Rуниверсальная газовая постоянная,

Т температура.

При отражении пучков атомов и молекул от поверхностей твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, которые описываются теми же соотношениями, что и плоская (двумерная) дифракционная решетка.

Опыты показали, что кроме частиц, рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отраженных частиц под другими углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки.

Формулы де Бройля оказались справедливыми также для нейтронов. Это подтвердили опыты по дифракции нейтронов на приемниках.

Таким образом, наличие волновых свойств у движущихся частиц, обладающих массой покоя, есть универсальное явление, не связанное с какой-либо спецификой движущейся частицы.

Отсутствие волновых свойств у макроскопических тел объясняется следующим образом. Подобно той роли, кото­ую играет скорость света при решении вопроса о применимо­сти ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка ħ. Физическая размерность ħ равна (энергия)x(время) или (им­пульс)x(длина) или (момент импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка является квантом действия.

Если в данной физической системе значение некоторой характерной величины Н с размерностью действия

Отметим, однако, что данный критерий имеет приближен­ный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия Н не всегда свидетельствует о полной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление о поведении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.

2. Свойства волн де Бройля


Рассмотрим движение свободного электрона.

По де Бройлю, ему соответствует длина волны,

.

Будем называть ее электронной волной.

Известно, что ? = фаз/, где фаз – фазовая скорость распространения волны.

Найдем фазовую скорость волны де Бройля:



т. е. фазовая скорость зависит от частоты , а значит дебройлевские волны обладают дисперсией даже в вакууме.

В соответствии с современной физической интерпретацией фазовая скорость дебройлевских волн имеет чисто символическое значение, поскольку эта интерпретация относит их к чис­лу принципиально ненаблюдаемых величин.

Т.к. c > , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме.

Найдем групповую скорость волны де Бройля:



где скорость частицы.

Установление того факта, что групповая ско­рость дебройлевских волн равна скорости частицы, сыграло в свое время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой физики, и в первую очередь в физической интерпре­тации дебройлевских волн. Сначала была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты весьма малой протя­женности и таким образом решить парадокс двойственности свойств частиц. Однако подобная интерпретация оказалась оши­бочной, так как все составляющие пакет гармонические волны распространяются с разными фазовыми скоростями. При наличии большой дисперсии, свойственной дебройлевским волнам даже в вакууме, волновой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона пакет расплывается практиче­ски мгновенно, в то время как частица является стабильным образованием.

Таким образом, представление частицы в виде волнового паке­та оказалось несостоятельным.

Проблема двойственности свойств частиц требовала иного подхода к своему решению.

Прежде всего убедимся, что гипотеза де Бройля не противо­речит понятиям макроскопической физики.

  1. Возьмем в качестве макроскопического объекта, например, пылинку, считая, что ее масса т = 1 мг и скорость =1 мкм/с.

Соответствующая ей дебройлевская длина волны



Т.е. даже у такого небольшого микроскопического объекта как пылинка дебройлевская длина волны оказывается неизмеримо меньше размеров самого объекта. В таких условиях никакие волновые свойства, конечно, проявить себя не могут.

  1. Иначе обстоит дело, например, у электрона с кинетической энергией и импульсом . Его дебройлевская длина волны



где в эВ. При = 150 эВ дебройлевская длина волны электро­на равна ?~0,1 нм или ~1. Такой же порядок величины имеет постоянная кристаллической решетки. Поэтому, аналогично тому, как в случае рентгеновских лучей, кристалли­ческая структура может быть подходящей решеткой для получе­ния дифракции дебройлевских волн электронов.

Сведем корпускулярные и волновые свойства свободных частиц в таблицу и покажем их связь:


Корпускулярные свойства

Волновые свойства

Скорость

импульс

Энергия


Длина волны де Бройля

Частота волны де Бройля ? =

Групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля


Волны де Бройля

В опытах по дифракции электронов было доказано неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по различным направлениям. Выделялись направления, в которых рассеивалось большее число электронов. Наличие максимума числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля, т.е. интенсивность волн в данной точке пространства определяет число электронов, попавших в эту точку за 1 секунду. Таким образом, квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица находится в этой точке.

Подтвержденная на опыте идея де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (частицам) присущи и волновые и корпускулярные свойства, то любую из этих частиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании этих слов. Возникла потребность в такой теории, в которой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы не как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга. В основу такой теории – квантовой механики – и легла гипотеза де Бройля.
3. Волновая функция

Всякая микрочастица – это образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны.

Отличие микрочастицы от волны состоит в том, что она обнаруживается как неделимое целое.

Например, никто не наблюдал полэлектрона. В тоже время волну можно разделить на части и затем воспринимать каждую часть в отдельности.

Отличие микрочастицы в квантовой механике от обычной микрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координат и импульса, поэтому понятие траектории для микрочастицы утрачивает смысл.

волновая функция (x, y, z ,t) (пси-функция) описывает распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства.

Вероятность dP того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональная и элементу объему dV:


dP =dV.

Физический смысл имеет не сама функция, а квадрат ее модуля – это плотность вероятности.

Она определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства.

Волновая функция

4. Принцип неопределенности


В классической механике состояние частицы задают координатами, импульсом, энергией и т.п. Это динамические переменные.

Микрочастицу описывать такими динамическими переменными нельзя. Особенность микрочастиц состоит в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения.

Например, частица не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса рх.

Неопределенность значений х и рх удовлетворяет соотношению:

(1)

– чем меньше неопределенность координаты ?х, тем больше неопределенность импульса ?рх, и наоборот.

Соотношение (1) называется соотношением неопределенности Гейзенберга и было получено в 1927 г.

Величины ?х и ?рх называются канонически сопряженными.

Такими же канонически сопряженными являются ?у и ?ру, и т.п.

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ.

Энергия и время тоже являются канонически сопряженными, поэтому

.

Это означает, что определение энергии с точностью ?Е должно занять интервал времени:

?t ~ ħ/?Е.

Определим значение координаты х свободно летящей микрочастицы,

поставив на ее пути щель шириной ?х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы.

До прохождения частицы через щель

ее составляющая импульса рх имеет точное значение,

рх = 0 (щель перпендикулярна к вектору импульса), поэтому неопределенность импульса равна нулю,

?рх = 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной (рис.3.1).

В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность ?х, и появляется неопределенность импульса ?рх.

Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2?, где ?угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков пренебрегаем, т.к. их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума).

Таким образом, появляется неопределенность:

?рх =рsin?,

но sin? = ?/?х – это условие первого минимума. Тогда

?рх ~ р?/?х,

и

?х?рх ~ р? = 2 ? ħ/2.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.

Движение по траектории характеризуется определенными значениями скорости частицы и ее координат в каждый момент времени.

Подставив в соотношение неопределенностей вместо рх выражение для импульса , имеем:



чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, тем с большей точностью применимы к ней понятия траектории.

Например, для микрочастицы размером 1·10-6 м неопределенности ?х и ? выходят за пределы точности измерения этих величин, и движение частицы неотделимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенностей является фундаментальным положением квантовой механики.

Оно, например, позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома. Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона ?r и неопределенность импульса ?р удовлетворяли соотношению

?r?p ? ħ/2,

и значение r=0 невозможно.

Энергия электрона в атоме будет минимальна при r = 0 и р = 0, поэтому для оценки наименьшей возможной энергии положим ?r ? r, ?p ? p.

Тогда

?r?p ? ħ/2,

и для наименьшего значения неопределенности имеем:



нас интересует только порядок величин, входящих в это соотношение, поэтому множитель можно отбросить. В этом случае имеем , отсюда р = ħ/r.

энергия электрона в атоме водорода

(2)

Найдем r, при котором энергия Е минимальна.

продифференцируем (2) и приравняем производную к нулю:

,

численные множители в этом выражении мы отбросили.

Отсюда - радиус атома (радиус первой боровской орбиты ).

Для энергии имеем

.

Можно подумать, что с помощью микроскопа удастся определить положение частицы и тем самым ниспровергнуть принцип неопределенности. Однако микроскоп позволит определить положение частицы в лучшем случае с точностью до длины волны используемого света, т.е. ?х ? ?, но т.к. ?р = 0, то ?р?х = 0 и принцип неопределенности не выполняется ?! Так ли это?

Мы пользуемся светом, а свет, согласно квантовой теории, состоит из фотонов с импульсом р = k/?. Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться хотя бы один из фотонов пучка света.

Следовательно, частице будет передан импульс, по крайней мере достигающей h/?.

Таким образом, в момент наблюдения частицы с неопределенностью координаты ?х ? ? неопределенность импульса должна быть ?р ? h/?.

Перемножая эти неопределенности, получаем:

–принцип неопределенности выполняется.

Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени. Существует важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух макрообъектов, которое достаточно точно описывается законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект влияния, либо это влияние мало. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает иная ситуация. Процесс фиксации определенного положения микрочастицы вносит в ее импульс изменение, которое нельзя сделать равным нулю:

?рх ? ħ/?х.

Поэтому воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта – в результате измерения определенные классические характеристики частицы (импульс и др.) оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношением неопределенностей.

5. Уравнение Шредингера

В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение.

Это основное уравнение квантовой механики, основное предположение, на котором основана вся квантовая механика. Все вытекающие из этого уравнения следствия согласуются с опытом – в этом его подтверждение.

Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей указывает, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволило объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц.

Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (x, y, z, t), а точнее квадратом модуля этой величины.

– это вероятность нахождения частицы в точке x, y, z в момент времени t.

Основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции (x,y,z,t). Далее, это уравнение должно быть волновым, из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, подтверждающие их волновую природу.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

. (1)

где mмасса частицы, i – мнимая единица,

оператор Лапласа, ,

U – оператор потенциальной энергии частицы.

Вид ?-функции определяется функцией U, т.е. характером сил, действующих на частицу.

Если силовое поле стационарно, то решение уравнения имеет вид:

, (2)

где Еполная энергия частицы, она остается постоянной при каждого состояния, Е= const.

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его еще можно записать в виде:

.

Это уравнение применимо к нерелятивистским системам при условии, что распределение вероятностей не меняется во времени, т.е. когда функции ? имеют вид стоячих волн.

Уравнение Шредингера можно получить следующим образом.

Рассмотрим одномерный случай – свободно движущуюся частицу по оси х.

Ей соответствует плоская волна де Бройля:

,

но , поэтому

.

Продифференцируем это выражение по t:

.

Найдем теперь вторую производную от пси-функции по координате

,

тогда



В нерелятивистской классической механике энергия и импульс связаны соотношением:



где Е – кинетическая энергия.

Частица движется свободно, ее потенциальная энергия U = 0, и полная Е=Еk.

Поэтому

,

или

– это уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если частица движется в силовом поле, то

Е – вся энергия (и кинетическая, и потенциальная), поэтому:

,

тогда получим

,

или

,

или

- уравнение Шредингера.

Эти рассуждения – не вывод уравнения Шредингера, а пример того, как это уравнение можно установить.

Само же уравнение Шредингера постулируется.

В выражении

левая часть обозначает оператор Гамильтона – гамильтониан – это сумма операторов и U. Гамильтониан – это оператор энергии. (Оператор выражает некоторое действие под функцией ?, которая стоит под знаком оператора).

С учетом сказанного имеем:

.

Физический смысл имеет не сама ?-функция, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства. Квантовая механика имеет статистический смысл. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. Пси-функция лишь дает вероятность, с какой частица может быть обнаружена в данной точке пространства.

В связи с этим пси-функция должна удовлетворять следующим условиям:

Интеграл ,- это условие нормировки.

Оно означает, что вероятность того, что частица находится в какой-нибудь из точек пространства равна единице.

Лекция 2 (11)
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации