Лекции по квантовой физике - файл n1.doc

Лекции по квантовой физике
скачать (987.5 kb.)
Доступные файлы (6):
n1.doc697kb.18.11.2007 17:14скачать
n2.doc354kb.23.12.2008 20:03скачать
n3.doc496kb.23.12.2008 20:05скачать
n4.doc366kb.24.12.2008 00:11скачать
n5.doc231kb.22.11.2010 18:57скачать
n6.doc454kb.22.11.2010 18:57скачать

n1.doc



Лекция 10.

Квантовая оптика. (2 часа)

План лекции:

1. Тепловое излучение.

1.1.Закон Кирхгофа

1.2.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела

а) Законы Стефана-Больцмана и Вина

б) Исследования Рэлея и Джинса.

в) Формула Планка.
2. Квантовая механика

2.1 Фотоэффект

2.2 Масса и импульс фотона

2.3. Эффект Комптона

а) Эффект Комптона

б) обратный эффект Комптона

2.4. Примеры рассеяния фотонов.

а) Давление света.

б) Эффект Доплера

2.5. Тормозное рентгеновское излучение

2.6. Корпускулярно-волновой дуализм света

1. Тепловое излучение


1.1. Закон Кирхгофа

Тепловое излучение – это испускание электромагнитных волн за счёт внутренней энергии тел.

Тепловое излучение имеет место при любой температуре. При низких температурах оно сдвинуто в длинноволновую часть спектра.

Излучение будет равновесным, если распределение энергии между телом и излучением не меняется для каждой длины волны. Способность теплового излучения быть в равновесии вызвана тем, что интенсивность этого излучения возрастает с температурой.

Энергетическая светимость тела R - поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2?) . Энергетическая светимость – функция температуры.

Излучение включает в себя волны различных частот ? (длин волн ?).

Пусть

, (1.1)

величина называется испускательной способностью тела -это мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины. Испускательная способность есть функция частоты излучения и температуры.

Энергетическая светимостъ тела связана с его испускательной способностью формулой

.

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны .

Участку спектра соответствует интервал длин волн , причем, тогда, дифференцируя, получаем

.

Знак минус в этом выражении не имеет существенного значения, он лишь показывает, что с ростом длина волны убывает.

Поэтому минус в дальнейшем писать не будем.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал равна

.

Так как интервалы и относятся к одному и тому же участку спектра, величины и должны совпадать, т.е.

, или ,

и . (1.2)

с помощью формулы (1.2) можно перейти от к и наоборот.

Все тела в той или иной степени поглощают энергию падающих на них электромагнитных волн. Спектральной характеристикой поглощения является поглощательная способность тела (коэффициент монохроматического поглощения)

,

? - падающий на тело поток электромагнитной энергии,

dФ'?- часть потока, которую поглотило тело,

есть функция частоты излучения и его температуры (1).

Абсолютно чёрное тело - тело полностью поглощающее падающую на него энергию (= 1).

Серое тело - тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты и при фиксированной температуре имеет постоянное и меньшее единицы значение, т.е. = , =const<1.

При равновесном излучении выполняется правило Прево: если два тела поглощают разные количества энергии, то и излучения у них тоже будут различны.

Чем больше испускательная способность тела , тем больше его поглощательная способность а?T.

Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:



универсальная функция Кирхгофа.

Для абсолютно чёрного тела =1, поэтому = , таким образом, есть испускательная способность абсолютно чёрного тела.

Для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться



Тогда



и .

Абсолютно чёрных тел в природе не существует.

Некоторые тела при определённых условиях близки к чёрному:

Однако можно создать устройство, имеющее = 1.

Это почти замкнутая полость, имеющая малое отверстие (рис.1.1).

Излучение проникает внутрь через отверстие, претерпевая многократные отражения.

При каждом отражении часть энергии поглощается.

Таким образом, всё излучение полностью поглощается, и из полости выходит излучение, соответствующее по спектральному составу излучению абсолютно чёрного тела при определённой температуре.

По этому излучению можно найти экспериментально вид функции f(?,T) или ? (?,T) (рис. 1.2).

Для каждой кривой имеет место максимум. Это свидетельствует о том, что энергия распределена по спектру абсолютно чёрного тела неравномерно – в области очень малых и очень больших частот абсолютно чёрное тело почти не излучает энергию.

С ростом температуры максимум сдвигается в область меньших длин волн.

Площадь, ограниченная кривой , пропорциональна энергетической светимости R?T при данной температуре и растет с ростом температуры.

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом.

Для этого представим себе изолированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т.

В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью .

Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией , определяемой условием

,

где - доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот .

Полная плотность энергии равна



Равновесная плотность энергии излучения зависит только от температуры и не зависит от свойств полости.

Найдем связь равновесной плотности энергии излучения с энергетической светимостью абсолютно черного тела .

Рассмотрим эвакуированную полость с абсолютно черными стенками.

В случае равновесия через каждую точку внутри полости будет проходить в любом направлении поток излучения одинаковой плотности.

Если бы излучение распространялось в одном заданном направлении (т.е. через данную точку проходил только один луч), плотность потока энергии в рассматриваемой точке была бы равна произведению плотности энергии и на скорость электромагнитной волны с.

Однако через каждую трубку (рис.1.3) проходит множество лучей, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла 4.

Поток энергии также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в каждой точке в пределах телесного угла будет течь поток энергии, плотность которого

.

Возьмем на поверхности полости элементарную площадку .

Эта площадка посылает в пределах телесного угла в направлении, образующем с нормалью угол ,

поток энергии .

По всем направлениям в пределах телесного угла 2, площадка посылает поток энергии



Однако , тогда

.

Это равенство должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Тогда



1.2.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела

а) Законы Стефана-Больцмана и Вина. Теоретическое обоснование законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к понятию квантов энергии.

Для полной характеристики теплового излучения необходимо, как показывает закон Кирхгофа, знать вид функции Кирхгофа f(?,T) , т.е. необходимо установить вид зависимости испускательной способности абсолютно чёрного тела от его температуры.

.

Это соотношение получило название закона Стефана-Больцмана.

Здесь ? постоянная Стефана-Больцмана (? = 5,7 . 10 Вт/м К).

Закон Стефана-Больцмана даёт зависимость энергетической светимости от температуры.



где F- некоторая функция отношения частоты к температуре.

Для функции получается выражение

, (1.3)

где - некоторая функция произведения .

Соотношение (1.3) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой.

Продифференцируем это выражение по :

(1.4)

Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию .

При длине волны , соответствующей максимуму функции , выражение (1.4) должно обращаться в ноль, и, т.к. , то =0.

Решение этого уравнения приводит к соотношению:

- закона смещения Вина

Здесь - постоянная Вина.

Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности r?T абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его температуре.

Из этого закона видно, что при понижении температуры абсолютно чёрного тела максимум энергии его излучения смещается в область длинных волн.

Поэтому при понижении температуры белое каление переходит в красное, а затем в инфракрасное.
б) Исследования Рэлея и Джинса.

Физики Рэлей и Джинс представили абсолютно чёрное излучение в замкнутой полости как систему бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических осциллятора (радиационных осцилляторов).

Собственные частоты ? колебаний радиационных осцилляторов равны частотам соответствующих монохроматических компонент чёрного излучения.

Рэлей и Джинс в своих исследованиях

.

Это выражение называется формулой Рэлея-Джинса.

Она хорошо согласуется с экспериментом в области малых частот излучения.

В области же больших частот формула приводит к резкому расхождению с экспериментом, с законами Стефана-Больцмана и Вина.

Из формулы Рэлея-Джинса следует монотонное возрастание функции f(?,T) с ростом частоты, а на самом деле f(?,T) имеет максимум и далее убывает (рис.1.4).

Формула Рэлея-Джинса в области больших частот находится в противоречии с законом сохранения энергии (энергия излучения неограниченно растёт с ростом температуры). Этот результат был назван ультрафиолетовой катастрофой.
в) Формула Планка.

С классической точки зрения вывод формулы Рэлея и Джинса является безупречным. Поэтому расхождение ее с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики.

В 1900 г. Макс Планк:

квантов энергии.

Энергия кванта пропорциональна частоте излучения,

Таким образом, излучение и поглощение энергии телом происходит не непрерывно, а дискретно, квантами.

ћ – постоянная Планка:

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана.

Вероятность того, что энергия колебания частоты имеет значение , равна



Среднее значение энергии колебаний



Чтобы произвести вычисления, обозначим и будем считать, что х может принимать непрерывный ряд значений. Тогда

(1.5)

Под знаком логарифма в этой формуле стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным . Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия убывающая, и



Подставив эту сумму в (5), получаем



При получаем классическое выражение

Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно

Плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал



тогда и

. (1.6)

Это формула Планка: точно согласуется с экспериментом в интервале частот от 0 до и удовлетворяет критерию Вина .

При малых частотах <<1, поэтому можно считать, что , тогда - формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса. Таким образом, формула Рэлея-Джинса является частным случаем формулы Планка для малых частот.

Интегрируя выражение (1.6)и решая уравнение относительно переменной x = , можно получить закон смещения Вина. Таким образом, формула Планка даёт полное описание равновесного теплового излучения.

2. Квантовая механика

Физические явления и законы, их описывающие, принято разделять на классические и современные.

Такие явления как дифракция, интерференция объясняются только волновой теорией. Однако далее будет показано, что и всем частицам (телам) в разной степени присущи волновые свойства, которые значительно влияют на их поведение.

Вытекающие из представлений о волновой природе вещества основные положения, составляют предмет квантовой механики.

Совершим небольшой экскурс в развитие классической физики.

Классическая физика основывалась на законах Ньютона. Она успешно объясняла падение тел, полет снарядов, движение искусственных спутников Земли и другие случаи макроскопического движения (движение тел с малыми скоростями и большими постоянными массами). Механика Ньютона дала нам законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Законы Ньютона и атомно-молекулярные представления о строении вещества легли в основу кинетической теории тепла.

Используя понятия заряда и основные законы теории электричества, Максвелл дал объяснение многообразным электрическим и магнитным явлениям, создал в 1870 г. теорию света – самое значительное достижение классической физики.

Рассмотрение движения тел со скоростями, близкими к скорости света, трудности в теории эфира при объяснении результатов опыта Морли-Майкельсона, послужили поводом к созданию в 1905 г. Эйнштейном специальной теории относительности, столь противоречащей здравому смыслу.

Мы увидим, что волновая природа вещества, корпускулярно - волновой дуализм и их следствия еще более противоречат здравому смыслу. Волновая природа вещества качественно проявляется в том, что каждой частице присущи свойства волны, и наоборот, каждая волна имеет свойства, характерные для частиц. Ярким примером такого дуализма является фотоэффект.
2.1 Фотоэффект

Испускание электронов веществом под действием света называется фотоэффектом.

Внешний фотоэффект (или фотоэлектронная эмиссия). - если испускание электронов происходит с поверхности твердых тел или жидкости.

Внутренний фотоэффектэто перераспределение электронов по энергетическим уровням под действием света.

Фотоэффект в газах состоит в ионизации атомов и молекул под действием света и называется фотоионизацией.

Электроны, вылетевшие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, который возникает при упорядоченном движении фотоэлектронов, называется фототоком.

Схема опытов Столетова имеет вид, представленный на рис.1

Медная сетка С и цинковая пластина Д служат обкладками плоского конденсатора.

Этот конденсатор включен через гальванометр в сеть батареи Б.

При освещении отрицательно заряженной пластины Д светом от источника S в цепи возникает электрический ток, который называют фототоком.

На основании своих опытов Столетов установил следующие закономерности фотоэффекта:

1) Под действием света вещество теряет только отрицательные заряды;

2) Явление вызывается преимущественно ультрафиолетовыми лучами;

3) Разряжающее действие лучей пропорционально мощности подающего излучения;

4) Разрежающее действие лучей обнаруживается даже при весьма кратковременном освещении, причем между моментом освещения и началом разряда не протекает заметного времени. Фотоэффект практически безынерционен.

Было обнаружено, что частицы, испускаемые при фотоэффекте- электроны.

Позднее установка Столетова была усовершенствована (рис.2).

Электроды были помещены в вакуумный баллон.

Свет, проникающий через кварцевое окошко Кв,

освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала.

Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду А.

В результате в цепи прибора течет фототок, регистрируемый гальванометром.

Напряжение между катодом и анодом можно менять помощью потенциометра П.

Вольтамперной характеристикой прибора называется зависимость тока, проходящего через прибор от напряжения.

на рис.3- Вольтамперная характеристика фотоэффекта.

ВАХ снимается при неизменном световом потоке Ф . При некотором напряжении фототок достигает насыщения, все электроны, испущенные катодом, достигают анода.

Таким образом, плотность тока насыщения определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света:

,

где nчисло электронов, вылетающих из катода за 1 секунду,

езаряд электрона,

- его скорость.

Пологий ход кривой указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными по величине скоростями.

Часть электронов при отсутствии поля, т.е. при U = 0, обладает скоростями, достаточными для того, чтобы достичь анода без тока. Поэтому при U = 0 сила тока отлична от нуля и равна . Чтобы сила тока стала равна нулю, нужно приложить задерживающее напряжение U3. При таком напряжении ни один из электронов выбитых с катода, не достигнет анода, т.е. энергия электрона будет полностью израсходована на работу против сил электрического поля, созданного между катодом и анодом:



Измерив задерживающее напряжение U3, можно оценить максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона и его максимальную скорость:



Необходимо заметить, что получе­ние точных результатов сильно затрудняют два обстоятельства:

1) экспериментальная кривая I(U) в области U1 (см. рис. 4) подходит к оси U практически асимптотически, вследствие чего определение Ul довольно неопределенно;

2) всю кривую I(U) смещает (влево или вправо) наличие так называемой контактной разности потенциалов, т. е. разности потенциалов, которая возникает между двумя различными металлами (катод К и анод А изготовляют по необходимости из различных металлов). Причем известно,

Таким образом, задерживающая разность потенциалов U3 будет равна (по модулю) сумме

U3 = U2 + |U1|= U2 U1 (1)

как показано на рис. 4, где U1<0. Заметим, что, вообще гово­ря, U1 есть величина алгебраическая, она может иметь любой знак или равняться нулю.

Итак, определив U3, мы тем самым находим максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов

.

Отметим, что положение точки 2 на рис. 4, т. е. показание вольтметра U=U2, зависит только от контактной разности потенциалов, положение же точки 1, т.е. показание U1 вольтметра — от частоты падающего света. Значит, и задерживающая разность потенциалов U3 тоже зависит от .

Если построить экспериментальный график зависимости Eмакс(), то полу­чается прямая (рис. 5):

Если же на оси ординат откладывать U1, (показание вольт­метра, при котором фототок обращает­ся в нуль), то отмеченные две точки не будут соответствовать ?0 и А (из-за наличия контактной разности потенциалов).

Экспериментально были установлены следующие законы фотоэффекта:

1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности;

2. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света , при которой фотоэффект еще возможен. Величина зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.

3. Число фотоэлектронов выбиваемых с катода в единицу времени, n, пропорционально световому потоку Ф, падающему на поверхность (или интенсивности света). Это закон Столетова.

Классическая физика не смогла объяснить законов фотоэффекта. С ее точки зрения амплитуда колебаний свободного электрона в переменном электрическом поле определяется выражением



где m масса электрона,

частота изменения тока.

Электрон, расположенный вблизи поверхности, покинет металл, как только амплитуда его колебаний А превысит некоторое критическое значение. Поэтому из волновой теории следует, что электроны не будут вылетать из металла до тех пор, пока интенсивность падающего света не превысит определенного критического значения. Однако в ходе экспериментальных исследований пороговой интенсивности обнаружено не было. Число вылетающих электронов пропорционально при любой сколь угодно малой интенсивности.

Кинетическая энергия электронов менялась в интервале от 0 до Еk max, и не было электронов с энергией большей Еk max. Изменение кинетической энергии происходит с увеличением частоты падающего света линейно (рис.1.9).

Правильное объяснение фотоэффекта дал Эйнштейн в 1905 г.:

Свет представляет собой совокупность квантов, каждый из которых обладает энергией = ћ, где ħ – постоянная Планка.

Эти кванты (фотоны) ведут себя подобно материальным частицам, при столкновении с электроном в металле фотон может поглотиться, и вся его энергия перейдет к электрону.

Планк полагал, что излучение отдается излучающими системами порциями ħ, но само это излучение может иметь любую энергию и поглощаться в любых количествах непрерывно.

Эйнштейн же приписал корпускулярные свойства самому излучению, и отдача энергии ħ при излучении объясняется тем простым фактом, что никаких других порций излучения частоты существовать в природе не может.

Монохроматическое излучение частоты состоит всегда из целого числа фотонов, энергия каждого из них равна ħ. Такое излучение испускается и поглощается только порциями энергии ħ. При поглощении излучения частоты веществом каждый из электронов может поглотить один фотон, приобретая при этом энергию ħ и никакую другую.

Пусть для удаления поверхностного электрона из металла необходимо затратить энергию А, тогда поглотив фотон с энергией ħ и вылетев с поверхности, электрон будет иметь энергию ħ А.

Это и есть максимально возможная кинетическая энергия:

(1)

величина А называется работой выхода электрона из металла, она зависит от свойств данного металла.

Формула (1) представляет собой закон сохранения для фотоэффекта и называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

Это соотношение согласуется с экспериментальной кривой на рис.1.9.

2.2 Масса и импульс фотона
Итак, энергия фотона равна =.

Воспользуемся законом взаимосвязи массы и энергии:

, где масса фотона.

Отсюда:



где с скорость света в вакууме.

Фотон всегда движется со скоростью света, его масса покоя равна нулю.

Как всякая частица, фотон обладает массой, энергией и импульсом.

Импульс фотона:



где ?длина волны света в вакууме.

Так как k = 2?/? то или в векторной форме



Связь импульса фотона с его энергией Еf получена из общей формулы теории относительности:



для фотона m0 = 0 и



Импульс фотонавекторная величина, направление импульса совпадает с направлением распространения света, которое характеризуется волновым вектором .

Корпускулярные свойства фотона (энергия, импульс и масса) связаны с волновой характеристикой – частотой света .

Экспериментальным подтверждением наличия у фотонов массы и импульса является существование светового давления. С квантовой точки зрения давление света вызвано тем, что при соударении с поверхностью тела каждый фотон передает этой поверхности свой импульс.

2.3. Эффект Комптона

Комптон (1923) открыл явление, в котором можно было наблюдать, что фотону присущи энергия и импульс. Результаты этого опыта — еще одно убедительное подтверждение гипотезы Эйнштейна о квантовой природе самого электромагнитного излучения.

Комптон исследовал рассеяние жесткого рентгеновского излучения на образцах, состоящих из легких атомов, таких как графит, парафин и др.

Схема его установки показана на рис. 1.14

- Источником рентгеновского излучения служила рентгеновская трубка с молибденовым антикатодом.

- Диафрагмы и D2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О.

- Для исследования спектрального состава рассеянного излучения оно после прохождения ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского спектрографа, а затем в счетчик С (или на фотопластинку).

Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении, наряду с исходной длиной волны ?, появляется смещенная линия с длиной волны . Это получило название комптоновского смещения, а само явление — эффекта Комптона.

Опыт показал, что наблюдаемое комптоновское смещение

С увеличением угла интенсивность смещенной компоненты растет, а несмещенной — падает. Это показано на рис., где представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния для так называемой Кa-линии молибдена, имеющей длину волны 0,071 нм.

Слева показана форма линии исходного излучения (т. е. спектральное распределение интенсивности по длинам волн).

Правее — то же самое для рассеянного излучения при различных углах рассеяния.

Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. Они были поняты только на основе квантовой теории.

Комптон предположил, что рассеяние рентгеновского кванта с измене­нием длины волны надо рассматривать как результат одиночного акта столкновения его с электроном.

В атомах легких элементов, с которыми проводились опыты, энергия связи электрона с атомом мала по сравнению с энергией, передаваемой электрону рентгеновским квантом при столкновении. Это выполняется тем лучше, чем больше угол рассеяния. В легких атомах энергией связи электрона внутри атома можно пренебречь при всех углах рассеяния, т. е. все электроны можно считать свободными. Тогда одинаковость комптоновского смещения для всех веществ сразу становится понятной. Действительно, ведь с самого начала предполагается, что рассеивающее вещество по существу состоит толь­ко из свободных электронов, т. е. индивидуальные особенности совсем не учитываются. Но это допустимо только для легких атомов. Для внутренних электронов тяжелых атомов такое представление не годится, что и подтверждает опыт.

Теперь рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном с учетом того, что при этом должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской динамики.

Найдем связь длины волны рассеянного фотона с углом рассеяния и длиной волны фотона до соударения.

Пусть

, (1)

, (2)

где второе равенство записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов (рис. 1.16).

Имея в виду, что связь между энергией и импульсом релятивистского электрона имеет вид

(3)

найдем из формулы (1) и из (2):



Вычтя в соответствии с (3) выражение (5) из (4) и приравняв полученный результат m2c4, получим после сокращений:

. (6)

Остается учесть, что , , а также связь между и , и мы получим:

, (7)

где ?cкомптоновская длина волны частицы массы т,

. (8)

Для электрона c=2,43·10-10см.

Универсальная постоянная ?c является одной из важнейших атомных констант.

Соотношение (7) очень хорошо согласуется с наблюдаемой на опыте зависимостью комптоновского смещения от угла рассеяния ? (см. рис.). Уширение обеих компонент рассеянного излучения обусловлено движением электронов и атомов, на которых происходит рассеяние, т. е. эффектом Доплера.

Наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества. Их энергия связи, особенно в тяжелых атомах, сравнима с энергией рентгеновских фотонов, и, значит, такие электроны уже нельзя считать свободными. Обмен энергией и импульсом рентгеновского фотона происходит с атомом как целым. Масса же атома намного превышает массу электрона, поэтому комптоновское смещение фотонов, рассеянных на таких атомах, ничтожно, и их смещенная длина волны практически совпадает с длиной волны падающего излучения. Это, кстати, сразу видно из формул (7) и (8).

С ростом атомного номера относительное число связанных электронов увеличивается. Поэтому должно происходить возрастание интенсивности несмещенной компоненты по сравнению с интенсивностью смещенной. Это и наблюдается на опыте.

Кроме того, с ростом угла рассеяния ? доля передаваемой электрону энергии возрастает.

Отсюда следует, что при увеличении угла рассеяния ? растет относительная доля электронов, которые можно считать свободными, а значит, растет и отноше­ние интенсивности смещенной компоненты к интенсивности несмещенной, что и показывает опыт.

Итак, чем больше энергия фотона, тем в меньшей степени проявляется связь электрона с атомом, тем больше электронов, которые можно считать свободными. Именно поэтому для наблюдения эффекта Комптона нужно использовать жесткое рентгеновское излучение. Вот почему эффект Комптона не наблюдается в видимой области спектра. Энергия соответствующих фотонов настолько мала, что даже внешние электроны атома не могут играть роль свободных.

Опыты Боте и Гейгера (1925) доказали, что электрон отдачи и рассеянный фотон появляются одновременно.

Схема опыта показана на рис. 1.17,

где X источник рентгеновского излучения,

Р рассеиватель, в котором под действием излучения происходит Комптон-эффект,

Ф и Э счетчики рассеянных фотонов и электронов отдачи.

Эти счетчики установлены симметрично относительно рассеивателя Р и включены в схему совпадений С, т. е. в электрическую схему, которая позволяет регистрировать лишь те случаи, когда фотон и электрон в счетчиках Ф и Э появляются одновременно. В результате было установлено, что число одновременных регистраций фотона и электрона в счетчиках во много раз превосходит то число, которое можно было ожидать при случайном по времени появлении фотона и электрона. Так было доказано существование индивидуального столкновения фотона с электроном.

Рассмотрим обратный эффект Комптона.

При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол ?, а электрон остановился.

Найдем комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.

Согласно закону сохранения импульса

,

где и волновые векторы первоначального и рассеянного фотонов,

— импульс электрона (рис. 5).

Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем

, (9)

где учтено, что ; ,

и энергия фотона до и по­сле рассеяния.

На основании закона сохранения энергии запишем ,

где Еполная энергия электрона, m – его масса покоя.

Из этого равенства найдем

. (10)

Теперь воспользуемся равенством

,

вычтем (9) из(10). В результате после сокращений получим:

, (11),

или



Из последнего выражения находим:

т.е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.

2.4. Рассмотрим некоторые примеры рассеяния фотонов.

а) Давление света.

Плоский световой поток интенсивности I освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R.

Найдем с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой.

Для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой ?.

Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.

Сначала найдем силу dF, действующую на элементарное кольцо dS (рис. 6) в направлении оси X.

При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс ∆px (рис. 7):

, где p = ħ?/c.

Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо dS (см. рис. 6), равно , где .

Тогда

.

Частота света сократилась, значит она не играет здесь роли.

Проинтегрировав последнее выражение по ? от 0 до ?/2, получим

.

Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

б) Эффект Доплера.

Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью , испустил фотон под углом ? к первоначальному направлению движения атома.

Найдем с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение фотона, обусловленной отдачей атома.

Пусть «закрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией ћ.

Разность энергий указанных состояний атома равна вне зависимости от того покоится атом, или движется.

При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Имеется и кинетическая энергия атома.

Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис.1.21)

и ,

где Е* - энергия возбуждения атома, Е*= , а .

Исключив из этих двух уравнений p2, получим:



Учитывая, что энергия фотона и перед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:



где . Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера .
2.5. Тормозное рентгеновское излучение

Если энергия кванта значительно превышает работу выхода А,

то уравнение Эйнштейна принимает более простой вид:

= . (1)

Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а наоборот, как переход кинетической энергии электронов, ускоренных разностью потенциалов U, в энергию квантов, возникающих при резком торможении электронов в металле.

Тогда

eU=.

Именно такой процесс происходит в рентгеновской трубке.

Она представляет собой вакуумный баллон, в котором находится:

- нагреваемый током катод — источник термоэлектронов,

- и расположенный напротив анод, часто называемый антикатодом. Ускорение электронов осуществляется высоким напряжением U, создаваемым между катодом и антикатодом.

Под действием напряжения U электроны разгоняются до энергии eU.

Попав в металлический антикатод, электроны резко тормозятся, вследствие чего и возникает так называемое тормозное рентгеновское излучение. Спектр этого излучения при разложении по длинам волн оказывается сплошным, как и спектр видимого белого света.

На рис.8 показаны экспериментальные кривые распределения интенсивности I? (т.е. ) по длинам волн , полученные для разных значений ускоряющего напряжения U (они указаны на рисунке).

И здесь мы обнаруживаем наличие коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра.

В целом процесс излучения при торможении электрона в металле антикатода весьма сложен, но существование коротковолновой границы с корпускулярной точки зрения имеет очень простое объяснение.

Действительно, если излучение возникает за счет энергии, теряемой электро­ном при торможении, то величина кванта не может быть бо­льше энергии электрона eU. Отсюда следует, что частота излучения не может превышать значения

.

Значит, длина волны излучения не может быть меньше, чем

где U, кВ, а ?мин, нм.

Существование такой границы является одним из наиболее ярких проявлений квантовых свойств рентгеновского излучения.

По измерению зависимости граничной частоты от ускоряющего напряжения можно с высокой точностью определить значение постоянной Планка.

При этом получается хорошее согла­сие со значениями, найденными из теплового излучения и фотоэффекта, что экспериментально доказывает выполнение соотношения ?= между энергией кванта и частотой для очень широкого диапазона спектра и указывает на универсаль­ность данного соотношения.

Метод определения постоянной Планка, основанный на измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского излучения, является наиболее точным. Его называют методом изохромат.

Этот метод заключается в том, что:

,

где е — заряд электрона.
2.6. Корпускулярно-волновой дуализм света
Корпускулярную природу света подтверждают эффект Комптона и фотоэффект.

Свет ведет себя как поток частиц – фотонов. Тогда как же частица может обнаруживать свойства, присущие классическим волнам? Ведь частица может пройти либо через одну, либо через другую щель. Однако известна интерференция света от двух щелей (опыт Юнга). Таким образом, мы пришли к парадоксу – свет обладает одновременно и свойствами корпускул, и свойствами волн. Поэтому говорят, что свету свойственен корпускулярно-волновой дуализм.

Противопоставление квантовых и волновых свойств света друг другу является ошибочным. Свойства непрерывности электромагнитного поля световой волны не исключают свойства дискретности, характерных для световых квантов – фотонов.

Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих свойств.

Взаимосвязь корпускулярно-волновых свойств света объясняется статистическим подходом к исследованию распространения света. Свет – это поток дискретных частиц – фотонов, в которых локализованы энергия, импульс и масса излучения. Взаимодействие фотонов с веществом при переходе через какую-нибудь оптическую систему приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины. При этом квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.

Таким образом,





Лекция 10. Квантовая оптика . (2 часа)
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации