Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n134.htm

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n134.htm

№8. Спектральная плотность мощности

Корреляционные функции


Для стационарного в широком смысле случайного процесса среднее не зависит от времени, а корреляция зависит только от разности индексов.

Математическое ожидание от случайной величины x[n] (или среднее) есть



Автокорреляционная функция определяется как

                     (1)

На практике имеется последовательность ограниченной длины x[n], n=0,…,N-1, поэтому вычисление по (1) невозможно и мы получим оценку корреляционной функции:

                                    (2)

Это оценка называется не смещенной оценкой корреляционной функции, так как ее математическое ожидание будет равно истинной автокорреляционной оценки:



Кроме (2), на практике часто используют смещенную оценку корреляционной функции:

                                     (3)

Это оценка называется смещенной оценкой корреляционной функции, так как ее математическое ожидание будет равно отнормированной истинной автокорреляционной оценки:



Учитывая (2) и(3) можно показать, смещенная и несмещенная автокорреляционные функции связаны соотношением:

                            (4)

Как смещенная, так и несмещенная оценка удовлетворяют соотношению

                          (5)

и сохраняет полную мощность сигнала



Для взаимно корреляционной функции соотношения (1), (2) и (3) выглядят следующим образом:

                 (6)

                                (7)

                                     (8)

В общем случае для взаимной корреляции соотношение (5) не выполняется

, но выполняется соотношение вида


Коррелограммный метод оценки


По теореме Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности (СПМ) связаны преобразование Фурье:

,                      (9)

где T - интервал дискретизации сигнала. На практике для вычисления СПМ используют ограниченную сумму, в которой вместо истинной оценки корреляционной функции выбирают оценку из соотношений (2) или (3). Пусть мы получили несмещенную оценку корреляционной функции из соотношения (2) для максимально возможного корреляционного сдвига L, тогда для вычисления СПМ формулу (9) перепишем в виде:

                       (10)

На практике L берут много меньше длины последовательности. L<<N. (), где N - длина последовательности. Используя смещенную оценку корреляции, можно получить смещенную СПМ:

                       (11)

Корреляцию при положительных индексах для соотношений (11) и (12) можно получить, использую соотношения (2) и (3), отрицательные индексы должны удовлетворять соотношению (5).

Коррелограммный метод оценки СПМ можно дополнить, умножив корреляционную функцию на функцию окна:

,

где w[n] - функция весового окна. Выбор весового окна должен определяться из следующих соображений:

,                        (13)

где  - Фурье преобразование функции окна. Из (13) следует, что желательно выбирать такие окна, у которых  во всей области частот. Прямоугольное окно имеет Фурье преобразование типа sinx/x, с отрицательными значениями и в силу этого выбираться не может. Условие  требуется из тех соображений, чтобы СПМ будучи мощностью была неотрицательная.

Для программной реализации необходимо выполнить следующие шаги.

1.     Выбрать последовательность x[n], n=0,…,N-1

2.     Вычислить корреляционную функцию по соотношениям (2) или (3) для максимального корреляционного сдвига L (L<<N).

3.     Выбрать число отсчетов в частотной области. Пусть M - число отсчетов в области частот от [-Fd/2; Fd/2], где Fd  - частота  дискретизации. Должно выполняться условие 2L < M. Определить функцию корреляции из условия



4.     Умножить  на функцию окна.

5.     Вычислить Фурье преобразование и чтобы ничего не изменилось, разделить на мощность окна.

,

где

Взаимная спектральная плотность мощности определяется соотношением



Дальнейшие рассуждения аналогичны СПМ, за исключением использования вместо автокорреляции взаимной корреляции.

Периодограммная оценка СПМ


Определение СПМ основывается еще на эргодичности процесса, когда усреднение по ансамблю заменяется усреднением по времени.

                            (14)

Докажем соотношение (14). Для этого покажем, что оно идентично соотношению (9), т.е. теореме Винера-Хинчина. Раскроем модель, получим



Учитывая соотношение вида

,                              (15)

которое мы докажем ниже, приходим к



Последнее соотношение и является теоремой Винера-Хинчина. Мы сделали предположение, что

.

Доказательство (15) можно проводить методом индукции. Докажем (15) при M=0.

, откуда следует, что .

Теперь предположим, что равенство (15) верно для M=L, докажем, что (15) верно и для  M=L+1.  Пусть верно соотношение :



Докажем, что следующее соотношение тоже верно

                                 (16)

Выделим в левой части (16) сумму в переделах ±L.



Выделим в правой части (16) сумму в переделах ±2L.

С учетом того, что мы считаем верным (15), из последнего соотношения следует равенство(16). Таким образом, методом индукции мы доказали соотношение (15).

Итак, альтернативный подход для вычисления СПМ основывается на соотношении (14) и называется периодограммным методом. Если не учитывать операцию математического ожидания, то мы приходим к соотношению вида



Данная оценка получается несостоятельной и на практике редко применяется. Для получения состоятельной СПМ необходимо заменить математическое ожидание усреднением по времени. Алгоритм СПМ имеет следующий вид.

Рассмотрим алгоритм периодограммной оценки спектральной плотности мощности (СПМ). Исходная реализация , содержащая  отсчетов, разбивается на  перекрывающихся участков (подвыборок) , где , ; ; . Здесь - параметр (процент) перекрытия. Использование перекрытия особенно целесообразно в тех случаях, когда применяются временные окна с низким уровнем боковых лепестков.

На следующем шаге получения оценки СПМ выполняется центрирование сигнала на каждом участке: , где  - среднее значение сигнала на i-ом участке реализации.

Осуществляется взвешивание сигнала функцией окна и рассчитывается энергия окна

;                ,

где - весовая функция окна; U- энергия окна.

Для каждого участка реализации с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье вычисляется периодограмма и оценка СПМ формируется путем усреднения значений периодограммы

.

Оценка взаимного спектра периодограммным методом выглядит следующим образом:

,

где  и - представляют собой преобразование Фурье на i-ом участке реализации от взвешенных с окном последовательностей с нулевым средним. [kgl]

 

практические занятия
содержание


№8. Спектральная плотность мощности
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации