Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n122.doc

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n122.doc

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   16
Пример. sk = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}. S(z) = z4-3z3+3.37z2-2.32z+1.4464. a0 = 1.

Корни полинома S(z): a1 = 0.8+0.8j, a2 = 0.8-0.8j, a3 = 0.7+0.8j, a4 = 0.7-0.8j,

S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).

Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 8.1.1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки: S(z) = (z2-1.4z+1.13)(z2-1.6z+1.28).

При переходе в координатную область: sk = {1.13, -1.4, 1} * {1.28, -1.6, 1}.

Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).

Дифференцирование. Если имеем s(k) « S(z), то z-образ функции ks(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:

ks(k) « z dX(z)/dz.

8.4. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ [43]

Методы преобразования. Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:

x(k) = TZ-1[X(z)].

На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

X(z) = (b0 + b1 z + b2 z2 + …+ bN zN ) / (a0 + a1 z + a2 z2 + …+ aM zM ) = (8.4.1)

= x(0) + x(1)z + x(2)z2 + … (8.4.1')

Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы X(z):

Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.

Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции X(z), что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.

Преобразование интегрированием по контуру относится к числу математически строгих методов. Оно выполняется интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа. Интегрирование удобнее выполнять над полюсами, расположенными внутри контура, включающего центр системы координат, т.е. в символике z-1. В этой символике мы и будем рассматривать данных параграф. Контурный интеграл обратного преобразования:

sk = (1/2j) . (8.4.2)

Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл (8.4.2) равен сумме вычетов (Res) подынтегральной функции относительно всех полюсов этой функции, лежащих внутри контура интегрирования. Каждый вычет связан с определенным полюсом pk:

Res[F(z), pk] = [(z-pk) F(z)] при z=pk. (8.4.3)

где F(z) = zk-1 S(z), m – порядок полюса в точке pk. Для простого полюса:

Res[F(z), pk] = (z-pk) F(z) = (z-pk) zk-1 S(z) при z=pk. (8.4.3')

Пример. Z-образ функции: X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2.

x(k) = Res[F(z), p1] + Res[F(z), p2]. F(z) = zk-1 X(z) = zk+1 / (z-0.5)(z-1)2.

Функция F(z) имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.

Res[F(z), 0.5] = (z-0.5) zk+1 / (z-0.5)(z-1)2 = zk+1 / (z-1)2 |z=0.5 = 0.5 (0.5)k / (0.5)2 = 2(0.5)k.

Res[F(z), 1] =[(z-1)2 zk+1 / (z-0.5)(z-1)2] = [(z-0.5)(k+1)zk-zk+1] / (z-0.5)2 |z=1= 2(k-1).

Результат: x(k) = 2[(k-1) + (0.5)k].

Преобразование разложением на дроби. В этом методе z-образ (8.4.1) раскладывается на рациональные простые дроби с последующим почленным обратным преобразованием с помощью таблицы. Наиболее просто это выполняется, если функция S(z) может быть разложена по степеням z в символике z-1, т.е. представить в следующем виде:

S(z) = s(0) + s(1) z-1+ s(2) z-2 + …

Соответственно, в выражении (8.4.1) отношение многочленов также должно быть в символике z-1. Если полюсы S(z) первого порядка и N = M, то (8.4.1) можно разложить на следующую сумму:

S(z) = B0 + C1/(1-p1z-1) + C2/(1-p2z-2) + … + CM/(1-pMz-M) =

B0 + C1z/(z-p1) + C2z/(z-p2) + … + CMz/(z-pM) = B0 +Ckz/(z-pk). (8.4.4)

B0 = bN / aN.

где Сk – коэффициенты элементарных дробей, которые являются вычетами функции S(z).

Для вычисления коэффициентов Ck умножим левую и правую сторону выражения (8.4.4) на (z-pk)/z и положим z=pk, при этом в правой части за счет множителя (z-pk)=0 при z=pk обнуляются все члены суммы кроме члена с Ck данного полюса, а в левой остается произведение S(z)(z-pk)/z, что и позволяет вычислить значения Ck:

Ck = S(z)(z-pk)/z |z=pk (8.4.5)

Если в (8.4.1) N < M, то значение B0 равно нулю. Если функция S(z) в точке z=pk имеет полюс m-ного порядка, то коэффициент Ck заменяется суммой коэффициентов:

Di /(z-pk)i, (8.4.6)

Di = [ X(z) (z-pk)m/z], при z=pk. (8.4.7)

Пример. Повторим пример преобразования данным способом z-образа функции

X(z) = z2 / (z-0.5)(z-1)2, использованного в предыдущем примере. Функция имеет простой полюс p1 = 0.5 и полюс второго порядка p2 = 1.

X(z) = Cz/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.

С = z/(z-1)2 = 0.5/(0.5-1)2 = 2.

D1 = [(z-1)2 X(z)/z] = [z / (z-0.5)] |z=1= -2.

D2 = (z-1)2 X(z)/z = z/(z-0.5) |z=1= 2.

X(z) = 2z/(z-0.5) + D1z/(z-1) + D2z/(z-1)2.

Обратное преобразование каждой простой дроби выполним по таблице 8.2.1.

Результат: x(k) = 2(0.5)k -2 +2k = 2[(k-1) + (0.5)k]. Результат аналогичен методу вычетов.

Если z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции, то разложение на простые дроби с последующим применением таблицы соответствий обычно труда не представляет. Так, например:

S(z) = (b0 + b1 z-1 + b2 z-2) / (1 - a z-1) = b0/(1 - a z-1) + b1 z-1/(1 - a z-1) + b2 z-2/(1 - a z-1).

По таблице соответствия:

X(z) = 1/(1-az-1) ? x(k) = ak.

Отсюда, с учетом линейности преобразования и свойства задержки:

x(k) = b0 ak + b1 ak-1 + b2 ak-2.

При преобразовании функций со знаменателями более высоких порядков предварительно следует найти полюса функции. Например, для многочлена второго порядка с полюсами p1 и p2:

S(z) = 1/(1-a1 z-1+a2 z-2) = 1/[(1-p1 z-1)(1-p2 z-1).

Представим S(z) в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами b1 и b2:

S(z) = b1/(1-p1 z-1)+b2/(1-p2 z-1) = (b1- b1 p2 z-1+b2-b2 p1 z-1)/[(1-p1 z-1)(1-p2 z-1).

При равенстве знаменателей в этих двух выражениях должны быть равны и числители:

(b1 + b2) – (b1 p2+b2 p1)z-1 = 1,

а это обеспечивается равенством коэффициентов при одинаковых степенях z. Отсюда получаем систему уравнений:

b1 + b2 = 1.

b1 p2+b2 p1 = 0.

Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов b1 и b2, подставляем коэффициенты в S(z), выраженное в виде суммы дробей, и по таблице соответствия переводим дроби во временные функции.

Метод степенных рядов. Выражение (8.4.1) можно разложить непосредственно в степенной ряд (8.4.1') путем деления в столбик, для чего числитель и знаменатель функции выражаются предварительно через нарастающий или уменьшающийся показатель степени z. Обратное z-преобразование степенного ряда очевидно.

Пример нарастающей степени z. X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2).

1 + 2z + z2 | 1 – z + 0.4z2

1 – z + 0.4z2 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + … Ряд может быть бесконечным.

3z + 0.6z2

3z – 3z2 + 1.2z3

3.6z2 1.2z3

3.6z2 – 3.6z3 + 1.44z4

2.4z3 1.44z4

2.4z3 – 2.4z4 + 0.96z5

0.96z4 – 0.96z5

0.96z4 – 0.96z5 + 0.384z6, и т.д.

Обратное преобразование выполняется путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции: x(k) = {1, 3, 3.6, 2.4, 0.96, …}.

Пример уменьшающихся номеров степени z. X(z) = (1+2z+z2) / (1-z+0.4z2) ? (деление на zN числителя и знаменателя полинома) ? (z-2+2z-1+1) / (z-2-z-1+0.4).

z-2 + 2z-1 + 1 | z-2z-1 + 0.4

z-2z-1 + 0.4 1 + 3z + 3.6z2 + 2.4z3 + 0.96z4 + … Результат тот же.

3z-1 + 0.6

3z-1 – 3 + 1.2z

3.6 1.2z

3.6 – 3.6z + 1.44z2

2.4z 1.44z2

2.4z – 2.4z2 + 0.96z3

0.96z2 – 0.96z3

0.96z2 – 0.96z3 + 0.384z4, и т.д.

Метод деления полинома (8.4.1) можно выполнять рекурсивно:

x(0) = b0 / a0,

x(1) = (b1 – x(0) a1) / a0,

x(2) = (b2 – x(1) a1 – x(0) a2) / a0,



x(n) = (bn (x(n-i) ai) /a0, n = 1, 2, 3, …

8.5. ПРИМЕНЕНИЕ ZПРЕОБРАЗОВАНИЯ [43].

Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида (8.4.1) с нулями ni числителя и полюсами pj знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:

H(z) = K(z-ni) /(z-pj), (8.5.1)

где К – коэффициент передачи (усиления) входного сигнала. Полюсы и нули H(z) могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов ai и bj в (8.4.1) комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.

Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Информацию, содержащуюся в H(z), удобно отображать в виде положения нулей (кружками) и полюсов (крестиками) на z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов наглядно отображает свойства системы и ее устойчивость. Для устойчивых систем все полюсы должны находиться за пределами единичной окружности (внутри окружности при символике z-1) или совпадать с нулями на единичной окружности. На положение нулей ограничений не существует.

По известной диаграмме нулей и полюсов может быть выполнена геометрическая оценка частотной характеристики системы. При z=exp(-jt) единичная окружность |z|=1 отображает частотную ось характеристики главного частотного диапазона от  = 0 (z=1) до 2 (z=-1). Каждой точке zs = exp(-jst) может быть поставлен в соответствие вектор (zs – ni) на i-нуль, модуль которого Ui = |(zs – ni)| отображает расстояние от zs до i-нуля, а аргумент i = arg(zs – ni) - фазовый угол из zs на i-нуль, а равно и вектор (zs – pj) на j-полюс с соответствующим расстоянием Vj = (zs – pj) и фазовым углом j = arg(zs – pj). При этом амплитудная и фазовая характеристики системы могут быть оценены по выражениям при перемещении точки s по единичной окружности:

|H()| = Ui /Vj, (8.5.2)

arg(H()) = ij. (8.5.3)

По (8.5.2) нетрудно сделать заключение, что наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника s в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении s к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.

Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Так как частотная характеристика дискретной системы – это Фурье образ ее импульсной характеристики, то для систем, описанных в общей форме (8.4.1), сначала производится разложение H(z) в степенной ряд (8.4.1'), над коэффициентами которого и выполняется БПФ. Гладкость (разрешение по частоте f = 1/(Nt)) будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.

Альтернативный способ – вычисление БПФ непосредственно коэффициентов bn числителя и am знаменателя выражения (8.4.1) с последующим алгебраическим делением B(k)/A(k) результатов БПФ. Количество коэффициентов bn и an в (8.4.1) обычно невелико и для получения достаточно гладких частотных характеристик их продлевают нулями до необходимого значения N = 1/(tf).

Анализ устойчивости систем выполняется для рекурсивных систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем). Такие системы описываются либо непосредственно в виде разностного уравнения, либо передаточной функцией в виде z-образа импульсной характеристики или разностного уравнения. Общее условие устойчивости импульсной характеристики системы:

|h(k)| < ?.

Для рекурсивных систем начальный индекс суммирования равен нулю. Практически это означает, что любой ограниченный входной сигнал в устойчивой системе порождает ограниченный выходной сигнал.

В устойчивой системе все полюсы передаточной функции H(z) должны находиться за границами единичной окружности z=exp(-jt) (внутри окружности при символике z-1). Система с полюсом на единичной окружности также считается неустойчивой (потенциально неустойчивой), даже если во входном сигнале нет гармоники с частотой, соответствующей положению данного полюса на окружности. Это определяется тем, что в соответствии с (8.5.1) коэффициент усиления системы в точке полюса равен бесконечности и любой бесконечно малый сигнал на этой частоте даст бесконечно большой сигнал на выходе. Естественно, что для практических систем понятия бесконечности не существует и можно пытаться принять определенные меры для исключения таких критических частот. Так, например, в интегрирующих системах полюс находится на нулевой частоте и из входного сигнала можно исключить постоянную составляющую, но при этом изменяется и характер интегрирования (только динамические составляющие входного сигнала). Следует также учитывать, что во входных сигналах обычно всегда присутствует определенный статистический шум, наблюдаются скачки, присутствует шум квантования и т.п. эффекты с непрерывным частотным спектром, которые могут приводить к огромным ошибкам при обработке данных в потенциально неустойчивых системах. Практически осуществимый способ повышения устойчивости систем – компенсировать полюсы на окружности нулями в этих же точках, но это может приводить к существенному изменению частотной характеристики системы.

Оценку устойчивости рекурсивной системы можно проводить и по виду ее импульсной характеристики (вычислением обратного z-преобразования или подачей импульса Кронекера на вход (алгоритм) системы). Если значения коэффициентов увеличиваются по мере роста номеров – система неустойчива. Если они очень медленно уменьшаются (медленно стремятся к нулю) – система устойчива минимально, имеет большое время установления рабочего режима, при определенных условиях может давать большие погрешности в обрабатываемых данных.

Связь разностных уравнений и передаточных функций рекурсивных систем. Стандартная запись разностного уравнения системы (связи входного воздействия x(k) и выходного сигнала y(k) при известных постоянных параметрах нерекурсивной bn и рекурсивной am трансформации сигналов):

y(k) = bn x(k-n) -am y(k-m). (8.5.4)

От разностного уравнения с использованием свойства задержки z-преобразования

bn x(k) « bn X(z),

bn x(k-n) « bn zn X(z),

нетрудно перейти к z-образу разностного уравнения системы:

Y(z) = bn X(z) zn -am Y(z) zm. (8.5.5)

Отсюда, передаточная функция системы:

Y(z) (1+am zm) =bn X(z) zn.

H(z) = Y(z) / X(z) = bn zn /(1+am zm). (8.5.6)

И, наоборот, при приведении выражения (8.4.1) к виду (8.5.6) (нормировкой на a0) можно без дальнейших преобразований переходить к выражению (8.5.4).

Пример. Передаточная функция: H(z) = 2(1-z) / (2+z). Определить алгоритм вычислений.

H(z) = Y(z)/X(z) = (1-z) / (1+0.5z).

Y(z) + 0.5 z Y(z) = X(z) – z X(z).

y(k) + 0.5 y(k-1) = x(k) – x(k-1)

Результат: y(k) = x(k) – x(k-1) - 0.5 y(k-1)
литература

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.- 448 с. (с. 388-391)

4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

12. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.

22. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993.- 350 с.

42. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб, ИАнП РАН, 1999.

43. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с. [kgl]

Тема 9. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Рекурсия – свойство живой природы. И амеба, и человек принимают решения на основании текущей ситуации и прошлого опыта. Это самое удачное решение Всевышнего при сотворении Мира.

Писецкий. Уральский геофизик, XX в.

Творца и отца Вселенной и найти то трудно. А найдя, нельзя показать его толпе.

Платон. Греческий философ, IV в д.н.э.

Содержание

Введение.

1. Принципы рекурсивной фильтрации. Конструкция РЦФ. Каскадная форма. Параллельная форма. Стандартные блоки рекурсивных фильтров. Устранение сдвига фазы.

2. Разработка рекурсивных цифровых фильтров. Этапы разработки рекурсивных фильтров. Метод размещения нулей и полюсов. Метод инвариантного преобразования. Согласованное z-преобразование. Билинейное z-преобразование.

3. Режекторные и селекторные фильтры. Комплексная z-плоскость. Режекторный фильтр постоянной составляющей сигнала. Режекторный фильтр произвольной частоты. Селекторные фильтры.

4. Билинейное z-преобразование. Принцип преобразования. Деформация частотной шкалы.

5. Типы рекурсивных частотных фильтров. Аппроксимационная задача. Передаточная функция. Виды фильтров.

Введение

Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение - применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть сокращено по сравнению с НЦФ.

Рекурсивные фильтры имеют определенную "память" по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры). Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом "памяти" исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Проектирование рекурсивных частотных фильтров с заданными частотными характеристиками осуществляется с использованием z-преобразований.

9.1. Принципы рекурсивной фильтрации.

Конструкция РЦФ отображается в z-образе передаточной функции фильтра в виде отношения двух многочленов:

H(z) = H0+H1z+H2z2+...= B(z)/[1+A(z)], (9.1.1)

где: B(z) = B0+B1z+B2z2+ ... +BNzN, A(z) = A1z+A2z2+ ... +AMzM.

Естественно, что переход на РЦФ имеет смысл только в том случае, если степень многочленов A(z) и B(z) во много раз меньше степени многочлена H(z) прямого z-преобразования импульсной реакции фильтра. При z-образе входных данных Х(z), на выходе РЦФ имеем:

Y(z) = H(z)Х(z) = X(z)B(z)/[1+A(z)],

Y(z)[1+A(z)] = Y(z)+Y(z)A(z) = X(z)B(z),

Y(z) = X(z)B(z)-Y(z)A(z). (9.1.2)

При обратном z-преобразовании выражения (9.1.2) получаем уравнение рекурсивной цифровой фильтрации:

yk =bn xk-nam yk-m. (9.1.3)


Рис. 9.1.1. Схема РЦФ.
Рекурсивная фильтрация требует задания начальных условий как по xk, так и по yk при k<0. Схема рекурсивной фильтрации приведена на рис. 9.1.1.

Как следует из выражения (9.1.3), при вычислении значения уk текущей точки используются предыдущие вычисленные значения yk-m, (m>0), что и определяет принцип рекурсии - фильтрации с обратной связью. Другой особенностью РЦФ является их односторонность и физическая реализуемость в реальном масштабе времени. При машинной обработке данных многочлен B(z) передаточной функции фильтра может реализоваться и в двухстороннем варианте.

Одно из важнейших свойств рекурсивных фильтров - возможность получения узких переходных зон при конструировании частотных фильтров, так как функция H(z) фильтра может резко изменяться при приближении к нулю (но не нулевого) многочлена в знаменателе (9.1.1).

Рекурсивная фильтрация требует более высокой точности вычислений по сравнению с нерекурсивной, т.к. использование предыдущих выходных отсчетов для текущих вычислений может приводить к накапливанию ошибок. Особое значение это имеет для фильтров с передаточными функциями высоких порядков (M>3), которые чувствительны к эффектам конечной разрядности. Такие фильтры, как правило, разбиваются на фрагменты – звенья второго и/или первого порядка, и реализуются в каскадной или в параллельной форме.




Рис. 9.1.2. Каскадная форма.
Каскадная форма. Находятся корни многочленов А(z), B(z) и производится разложение H(z):

H(z) = , (9.1.4)

где G - масштабный множитель. Это позволяет применять каскадное построение фильтров, показанное на рис. 9.1.2, в котором:

H(z) = G H1(z) H2(z) ..... HN(z),

Hn(z) = Bn(z)/An(z). (9.1.5)

Функции Аn(z) и Bn(z) обычно представляются в виде биквадратных блоков (фильтров второго порядка):

Bn(z) = bn.0 + bn.1 z + bn.2 z2, An(z) = 1 + an.1 z + an.2 z2.

В принципе, порядок расположения блоков в каскадной форме, равно как и порядок множителей B(z) и A(z) в числителе и знаменателе функции (9.1.4), значения не имеет. Однако следует учитывать, что полюса знаменателя, близкие к единичной окружности на z-плоскости (близкие по модулю к 1) формируют большие коэффициенты усиления на соответствующих частотах в блоках, в которых они находятся, и при обработке сигналов могут вызывать переполнение разрядов числовых ячеек этих блоков, если их разрядность ограничена. С учетом этого при формировании каскадов желательно объединять в пары Bi(z)/Ai(z) нули и полюса, близкие по модулю к 1, и располагать их в концевые блоки каскадной формы. Такое комбинирование полезно также с позиций наилучшего отношения сигнал/шум.




Рис. 9.1.3. Параллельная форма.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   16


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации