Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n122.doc

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n122.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16
Фильтры с линейной групповой задержкой. Дифференцирующие фильтры, а равно и любые другие фильтр с мнимой частотной характеристикой, например, оператор преобразования Гильберта, могут быть выполнены в каузальном варианте при условии обеспечения линейной групповой задержки сигнала, которое записывается следующим образом:

(7.5.4)

где иконстанты.

Оно выполняется, если импульсная характеристика фильтра имеет положительную симметрию:

h(n) = -h(N-n-1), n = 0, 1, 2, …, (N-1)/2, N – нечетное (тип 1);

n = 0, 1, 2, …, (N/2)-1, N – четное (тип 2).

При этом фазовая характеристика будет определяться длиной фильтра:

(N-1)/2,  = /2.

Частотная характеристика фильтра:

H() = |H()| exp(j()), (7.5.4)

где модуль |H()| задается нечетным. Оба типа фильтров вводят в выходной сигнал сдвиг фазы на 90о. Кроме того, частотная характеристика фильтра типа 1 всегда равно нулю на частоте Найквиста, что определяется знакопеременностью левой и правой части главного диапазона спектра с учетом периодизации спектра дискретных функций.

7.6. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА нцф [43].

Метод прямого расчета НЦФ по частотной характеристики понятен и прост для применения. Недостаток метода – отсутствие гибкости. Он не позволяет проектировать фильтры с разной степенью неравномерности частотной характеристики в полосах пропускания и подавления, а степень неравномерности не зависит от количества членов фильтра и не может изменяться. Максимальные осцилляции частотной характеристики всегда наблюдаются в области полосовых границ и уменьшаются при удалении от них, но при близких границах могут наблюдаться явления интерференции осцилляций. Более гибкими в проектировании являются альтернативные методы: оптимизационные,

Оптимизационные методы позволяют проектировать экономные по размерам операторы фильтров с оптимальными (по Чебышеву) осцилляциями частотных характеристик. Они основаны на понятии полос равных колебаний.




Рис. 7.6.1. Оптимальный фильтр низких частот
Частотная характеристика оптимального фильтра низких частот приведена на рис. 7.6.1. В полосе пропускания реальная характеристика фильтра осциллирует с постоянными амплитудными колебаниями между значениями 1-p и 1+p. В полосе подавления осцилляции постоянной амплитуды находятся в интервале 0-s. Разность между идеальной и практической характеристиками представляет собой функцию ошибок E(f). Оптимальный метод позволяет определить коэффициенты фильтра h(n), для которых значение максимальной взвешенной ошибки минимизируется

min[max(E(f))]

в полосе пропускания и в полосе подавления, при этом характеристика фильтра будет иметь равные колебания в пределах полос пропускания и подавления, а количество экстремумов колебаний у фильтров с линейной фазовой характеристикой обычно прямо связано с количеством коэффициентов фильтра (N+1)/2.

При расчете фильтра ключевым моментом является определение положения частот экстремумов, которое выполняется итерационным алгоритмом Ремеза, после чего по положениям экстремумов задается частотная характеристика фильтра и определяются его коэффициенты. Методика расчета оптимальных фильтров подробно с примерами, в том числе в среде Matlab, рассмотрена в работе /43/.

Метод частотной выборки представляет собой вариант метода расчета фильтра по частотной характеристике без применения весовых функций и может применяться для расчетов как частотно-избирательных фильтров, так и фильтров с произвольной частотной характеристикой.

В основе метода лежит непосредственное задание частотной характеристики фильтра в цифровой форме с последующим подбором переходных зон под требуемые характеристики фильтра по величине допустимых осцилляций в полосе пропускания и подавления. Расчет желательно вести в интерактивном режиме, например, в среде Mathcad. В качестве примера приведем расчет низкочастотного фильтра.




Рис. 7.6.2. Задание параметров НЦФ.
Допустим, нам требуется достаточно простой симметричный низкочастотный фильтр с шириной переходной зоны порядка 0.2 главного частотного диапазона (при k=1 для фильтра, fN = 0.5 Гц для спектра и ширина переходной зоны 0.2 х 0.5 = 0.1 Гц). Минимальный размер фильтра при идеальной характеристике для обеспечения такого перехода 2N+1 = 2(1+1/0.1) = 11 точек. С учетом расширения переходной зоны при уменьшении осцилляций на границе зон примем для начала N=8. Частотная характеристика проектируемого фильтра (правая половина) приведена на рис. 7.6.2 с границей раздела зон между 3 и 4 отсчетами спектра. Расчет оператора фильтра проводим обратным преобразованием Фурье, а по полученным отсчетам оператора вычисляем фактическую частотную характеристику этого оператора с уменьшением шага по частоте в 4-6 раз, что позволяет выявить осцилляции и определить погрешность фильтра (по максимумам осцилляций).




Рис. 7.6.3. Подбор отсчетов переходной зоны НЦФ.
На рис. 7.6.3. показан результат подбора частотных значений характеристики фильтра в районе переходной зоны (2 точки), что позволяет более чем в 30 раз снизить осцилляции частотной характеристики.




Рис. 7.6.4. НЦФ с точкой подбора на границе.
Попутно заметим, что изменение осцилляций характеристики фильтра может производиться индивидуально для зоны пропускания (левой от границы точкой) и зоны подавления (правой точкой) в зависимости от того, требуется ли более высокая точность пропускания или подавления частот. Особенно эффективно это при использовании трех точек подбора с расположением центральной точки на границе полос пропускания и подавления, как это показано на рис. 7.6.4.

При использовании данного метода может использоваться и комбинированный подход: задание на частотной характеристике избыточного количества точек, отладка параметров фильтра по трем и более точкам в переходных зонах, а затем усечение оператора фильтра с применением весовых функций.

Метод частотных выборок допускает также рекурсивную реализацию фильтров /43/.

литература

24. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.

43. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с. [kgl]
Тема 8. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ И СИСТЕМНЫХ ФУНКЦИЙ.

Чего не понимают, тем не владеют.

Иоганн Вольфганг Гете. 1770-1831 г.

Великим было хорошо. Записал мудрую мысль и пошел кофе пить. А тут иногда понимаешь как попугай нотную грамоту, владеешь как рыба ружьем, а делать приходится. И что интересно – неплохо получается. Было бы желание.

Виль Ибрагимов. Уральский геофизик, 1937-2006 г.

Содержание

Введение.

1. Z – трансформация сигналов. Определение z-преобразования. Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Отображение z-преобразования.

2. Пространство z-полиномов. Область сходимости. Примеры z-преобразования. Аналитическая форма z-образов.

3. Свойства z-преобразования. Линейность. Задержка. Преобразование свертки. Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Дифференцирование.

4. Обратное z-преобразование. Методы преобразования. Преобразование интегрированием по контуру. Преобразование разложением на дроби. Метод степенных рядов.

5. Применение z – преобразования. Описание дискретных систем. Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Анализ устойчивости систем. Связь разностных уравнений и передаточных функций.

Введение

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых – преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов, а потому рассматривается отдельной темой перед началом изучения рекурсивных цифровых фильтров.

8.1. Z – ТРАНСФОРМАЦИЯ сигналов [4, 12, 22].

Определение z-преобразования. Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье. Особенно эффективно оно используется при анализе дискретных систем и, в частности, при проектировании рекурсивных цифровых фильтров.

Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от -Ґ до +Ґ. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами sk = s(kt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения sk:

sk = s(kt)  TZ[s(kt)] =sk zk = S(z). (8.1.1)

где z = +j = rЧexp(-j) - произвольная комплексная переменная. В показательной форме z = rЧexp(-j), где r = |z| = ,  = arg(z) =argtg(/).

Пример 1: sk = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.

S(z) = 1z0+2z1+0z2-1z3-2z4-1z5+0z6+0z7 = 1+2z-z3-2z4-z5.

В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при k ? 0 и уравнение (8.1.1) действует в одностороннем варианте:

H(z) =hk zk.

В общем случае, z-преобразование – это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости.

Пример 2: Последовательность (сигнал) конечной длины, непричинная: s-k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1z0+2z-1+3z-2+2z-3+1z-4 = 1+2/z+3/z2+2/z3+1/z4.

Очевидно, что S(z) = ? при z = 0. Область сходимости – все значения z, за исключением z = 0.

Пример 3: Последовательность конечной длины, причинная (как импульсный отклик каузальной системы): sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1z0+2z-1+3z-2+2z-3+1z-4 = 1+2z+3z2+2z3+z4.

S(z) = ? при z = ?. Область сходимости – все значения z, за исключением z = ?.

Пример 4: Последовательность конечной длины, двусторонняя (как импульсный отклик симметричного фильтра): sk = {1, 2, 3, 2, 1}, k = -2, -1, 0, 1, 2.

S(z) = 1z-2+2z-1+3z0+2z1+1z2 = 1/z2+2/z+3+2z+z2.

S(z) = ? при z = 0 и z = ?. Область сходимости не включает точки z = 0 и z = ?.

Пример 5: Последовательность бесконечной длины, причинная (как импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра): sk = 0 при k < 0, s = 1 при k ? 0.

S(z) = z-0+z1+z2+z3+ … = 1+z+z2+z3+ … = 1/(1-z)

Ясно, что ряд может удовлетворять условию сходимости только при |z| < 1.

Значения z, для которых S(z) = ?, называются полюсами, а для которых S(z) = 0, называются нулями функции S(z). Как видно из примеров, для последовательностей конечной длины z-преобразование сходится везде кроме точки z=? для имеющих правостороннюю часть (k?0), и точки z=0 для имеющих левостороннюю часть (k<0), в любых их комбинациях. Для бесконечных причинных последовательностей преобразование сходится везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции.

Пример 6: S(z) = 1+3z2+8z3-4z6-2z7 = 1z0+0z1+3z2+8z3+0z4+0z5-0z6-2z7.

sk = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zn означает задержку сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов: znS(z)  s(k-n). Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше примере выполнить умножение многочлена S(z), например на z2, выполнить обратное преобразование и получить новый сигнал sk = {0, 0, 1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики z-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим" – с положительными.

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.

Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

sk = s(kt) =s(nt) (kt-nt).

Определим спектр сигнала по теореме запаздывания:

S(w) =s(kt) exp(-jkt).

Выполним замену переменных, z = exp(-jt), и получим:

S(w) =s(kt)Чzk = S(z).

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при z = exp(-jt).

Аналогичной подстановкой z = exp(-p) может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:

S() = S(z), z = exp(-jt); S(p) = S(z), z = exp(-pt). (8.1.2)

Обратное преобразование:

S(z) = S(),  = ln z / jt; S(z) = S(p), p = ln z/t. (8.1.3)

При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками z-1 = exp(jt) и z-1 = exp(p).

При zk = exp(-jkt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента ).

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.1.1). В частности, спектральной оси частот  на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-jt)| = = 1.




Рис. 8.1.1. Комплексная z-плоскость
Подстановка значения какой-либо частоты  в z = exp(-jt) отображается точкой на окружности. Частоте = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста N = /t (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Отсюда следует также, что область сходимости устойчивых каузальных систем на z-плоскости представляет собой круг единичного радиуса.

Сигналы и системы непрерывного времени очень часто описываются с помощью преобразования Лапласа. Если z=exp(-st), где s= + j, то

z = exp(-( + j)t) = exp(-t) exp(-jt).

Следовательно, |z| = exp(-t), arg(z) = t = 2ft = 2f/f, где f - частота дискретизации, при этом ось  отображается на z-плоскости единичной окружностью, правая сторона s-плоскости отображается внутрь окружности, а левая сторона – на внешнюю сторону окружности. При использовании символики z-1 отображение сторон s-плоскости на z-плоскости меняется местами.

8.2. ПРОСТРАНСТВО Z-ПОЛИНОМОВ [2, 12, 36].

Область сходимости. Полином S(z) (8.1.1) называют z-образом или z-изображением функции s(kt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек:

|sk||z|k < ?

В общем случае, множества z, для которых полиномы S(z) сходится, образуют на z-плоскости определенные области, показанные на рис. 8.2.1.

Рис. 8.2.1.

Из приведенной выше связи z-преобразования с преобразованием Фурье следует, что если функция s(t) имеет спектральное представление S(), то единичная окружность |z| = |exp (-j)| = 1 обязательно должна входить в область сходимости полинома S(z). И наоборот, если область сходимости полинома S(z) включает в себя единичную окружность, то дискретное преобразование Фурье функции s(t) – прообраза полинома S(z), должно существовать, а в противном случае – нет. Последнее следует из того, что z-преобразование, являясь более общим случаем преобразования дискретных функций, может существовать и для функций, для которых не существует преобразования Фурье. Примером этого может служить функция единичного скачка:

un = 1, n ? 0; un = 0, n < 0.

Для преобразования Фурье функции u(n) не выполняется условие абсолютной суммируемости (энергия функции бесконечна). Но для z-преобразования имеем:

|uk||z|k =|z|k < ?, при |z| < 1.
Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Импульсы Кронекера. В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:

(k-n) при k=n, (k-n) = 0 при k ? n.

X(z) =(k-n) zk = zn.

Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно X(z) = z0 =1. Ряд X(z) сходится на всей z-плоскости.

Функция Хевисайда (единичный скачок, причинная последовательность бесконечной длины, например, импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра).

x(k) 0 при k < 0, x(k) = 1 при k і 0.

X(z) =zk = zk.

Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна:

X(z) = 1/(1-z).

Z-преобразование действительно везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

При использовании символики z-1:

X(z) = 1/(1-z-1) = z/(z-1), |z| > 1.

На границе области аналитичности функция X(z) имеет один простой полюс при z=1.

Экспоненциальная функция:

x(k) 0 при k < 0, x(k) = ak при k і 0.

X(z) =x(k) zk = ak zk = (az)k.

Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| < 1, при этом:

X(z) = 1/(1-az), |z| < 1/a.

При использовании символики z-1:

X(z) = z/(z-a), |z| > a.

Комплексная экспонента:

x(k) = exp(jk), k ? 0; x(k) = 0, k < 0.

X(z) =exp(jk) zk =(z exp(j))k = 1/(1- z exp(j)), |z| < 1.

Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Ниже в таблице приводится z-трансформация ряда распространенных функций, которые могут использоваться для прямого и обратного преобразования.

Таблица 8.2.1.

Функция s(k), k?0

z - образ S(z)

z-1 – образ S(z)



z|z| < 1

z / (z-1), |z| > 1

 k

z / (1-z)2, |z| < 1

z / (z-1)2, |z| > 1

 k2

z (1+z) / (1-z)3, |z| < 1

z (z+1) / (z-1)3, |z| > 1

 k

 / (1 - z), |z| < 

z / (z - ), |z| > 

kk

z/ (1 - z)2, |z| < 

z / (z - )2, |z| > 

cosk

(1-z cos ) / (1-2z cos +z2), |z| < 1

z (z-cos ) / (z2-2z cos +1), |z| > 1

sink

z sin  / (1-2z cos +z2), |z| < 1

z sin  / (z2-2z cos +1), |z| > 1

 exp(-k)

 / (1-z exp(-)), |z| < 1/exp(-)

z / (z-exp(-)), |z| > exp(-)

k exp(-k)

z exp(-) / (1-z exp(-))2, |z| < 1/exp(-)

z exp(-) / (z-exp(-))2, |z| > exp(-)

В таблице приведены преобразования как для символики z, так и для символики z-1 (по Гуревичу), которая иногда бывает удобней в некоторых математических операциях. Переход из одной символики в другую достаточно прост и выполняется заменой z в одной символике на 1/z в другой.

8.3. СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [2].

Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению.

Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.

Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).

Y(z) =y(k) zk =x(k-n) zk =znx(k-n) zk-n = zn x(m) zm = zn X(z).

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:

s(k) =h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …

Z-преобразование уравнения свертки:

S(z) =h(n) y(k-n) zk =h(n) zn y(k-n) zk-n =

=h(n) zny(k-n) zk-n = H(z) Y(z).

Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при z=exp(-j) эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.

Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a0(z-a1)(z-a2)...,

где а0- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в двухточечные диполи {-ai,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:

sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}* ...

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16


Фильтры с
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации