Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n122.doc

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n122.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
с линейной фазовой характеристикой. Несколько сложнее расчет каузальных (односторонних) частотных фильтров, для которых требуется обеспечить линейность фазово-частотной характеристики для исключения изменения гармонии сочетания частотных составляющих сигнала на его выходе по отношению к входу. Чтобы фильтр имел линейную фазовую характеристику необходимо обеспечить выполнение условия:

(7.1.1)

Оно выполняется, если импульсная характеристика фильтра имеет положительную симметрию:

h(n) = h(N-n-1), n = 0, 1, 2, …, (N-1)/2, N – нечетное (тип 1);

n = 0, 1, 2, …, (N/2)-1, N – четное (тип 2).

При этом фазовая характеристика будет определяться длиной фильтра:

(N-1)/2.

Частотная характеристика фильтра:

H() = |H()| exp(j()), (7.1.2)

где модуль |H()| задается аналогично АЧХ симметричных фильтров. Следует также учитывать, что частотную характеристику типа 2 нельзя использовать для проектирования фильтров верхних частот, т.к. она всегда равна нулю на частоте Найквиста.

Собственно методика расчета каузальных фильтров, за исключением использования (7.1.2) для задания частотной характеристики, не отличается от методики расчета симметричных фильтров, включая необходимость использования весовых функций для нейтрализации явления Гиббса. Это позволяет применять чисто практический метод расчетов – вычислить и отработать сначала симметричный фильтр на N-точек (тип 1), а затем превратить его в каузальный сдвигом вправо на (N-1)/2 точек в область только положительных значений n ? 0.

7.2. Идеальные частотные фильтры.

Идеальным полосовым фильтром называется фильтр, имеющий единичную амплитудно-частотную характеристику в полосе от определенной нижней частоты н до определенной верхней частоты в, и нулевой коэффициент передачи за пределами этой полосы (для цифровых фильтров - в главном частотном диапазоне).

Импульсная реакция фильтра (коэффициенты оператора) находится обратным преобразованием Фурье заданной передаточной функции H(). В общем случае:

h(nt) = (1/2)H() exp(jnt) d

Для получения вещественной функции импульсного отклика фильтра действительная часть передаточной функции должна быть четной, а мнимая - нечетной. Цифровые фильтры задаются в главном частотном диапазоне, границы которого (частота Найквиста N) определяются интервалом дискретизации данных (N = /t), подлежащих фильтрации, и соответственно определяют интервал дискретизации оператора фильтра (t = /N). Для фильтров с нулевым фазовым сдвигом мнимая часть передаточной функции должна быть равна нулю, при этом оператор фильтра определяется косинусным преобразованием Фурье:

h(nt)= (1/)H() cos(n/N) dn = 0, 1, 2,... (7.2.1)

Для идеального полосового фильтра H()=1 в полосе частот от н до в, и интеграл (7.2.1) вычисляется в этих пределах. Идеальные фильтры низких и высоких частот, как частные случаи идеальных ПФ, интегрируются в диапазоне от 0 до в для низкочастотного и от н до N для высокочастотного фильтра.

При интервале дискретизации данных t, условно принимаемым за 1, главный частотный диапазон передаточных функций ограничивается значением частоты Найквиста от - до . Если на практике интервал дискретизации данных в физических единицах отличается от 1, то это сказывается только на изменении масштаба частотной шкалы передаточных функций.

Пример 1. t = 0.1 сек. fN = 1/2t = 5 Гц. N =/t = 10 .

Пример 2. x = 10 метров. fN = 0.05 м-1. N= 0.1 .

Во всех дальнейших выражениях значение t, если это специально не оговорено, будем принимать равным 1.

При H()=A=1 в полосе пропускания (н, в), и H()=0 за ее пределами, для идеальных симметричных полосовых НЦФ из (7.2.1) с границами интегрирования, соответственно, от н до в в общем виде получаем:

h(n) = (А/) [в sinc(nв) - н sinc(nн)], (7.2.2)

ho = (в - н)/, h(n) = (sin nв - sin nн)/(n).

где sinc(n) = sin(n)/(n) - функция интегрального синуса (функция отсчетов), бесконечная по координате .

При инверсии частотной характеристики в заградительный фильтр:

ho = (1-(н - в))/, h(n) = (sin nн - sin nв)/(n).



Рис. 7.2.1. Входные сигналы. Рис. 7.2.2. Спектр сигнала и границы фильтра.

На рис. 7.2.1 приведен пример сигнала однотональной балансной амплитудной модуляции (чистого сигнала – вверху, с наложенными шумами внизу, мощность шумов равна мощности сигнала). Если информация заключена в частоте и амплитуде модулирующего сигнала, то полосовой фильтр выделения сигнала из шумов, спектр которого для одной модулирующей частоты приведен на рис. 7.2.2, в идеальном случае должен иметь плоскую частотную характеристику в границах возможных вариаций модулирующей частоты (от н до в).

Размер оператора фильтра определяется приблизительно из следующих соображений. Чем больше размер оператора, тем круче будет переходная зона и меньше ее размер, т.е. тем ближе будет фактически реализованная передаточная функция фильтра к идеальной. Обычно сначала стоит попробовать построить фильтр достаточно большого размера, оценить его соответствие заданной частотной характеристике и в дальнейшем попытаться уменьшить. Значение N для симметричных НЦФ должно быть нечетным числом.




Рис. 7.2.3. Оператор фильтра.
На рис. 7.2.3 приведен оператор полосового фильтра, вычисленный по (7.2.2) для приведенных выше условий, с ограничением по числу коэффициентов оператора до N=100. Как видно из рисунка, оператор затухает достаточно медленно и явно усечен, что должно сказаться на форме частотной характеристики фильтра. Все дальнейшие вычисления будут проводиться на продолжении данного примера.

7.3. Конечные приближения идеальных фильтров /24/.

Оператор идеального частотного НЦФ, как это следует из выражения (7.2.2), представляет собой бесконечную затухающую числовую последовательность, реализующую заданную передаточную функцию:

H() =h(n) cos n. (7.3.1)

Ограничение окна операторов фильтров. На практике бесконечный ряд (7.3.1) всегда приходится ограничивать определенным числом членов его конечного приближения

H'() =h(n) cos n,

при этом передаточная функция осложняется явлением Гиббса, и появляется переходная зона между полосами пропускания и подавления сигнала (рис. 7.3.1, пунктирная кривая при N=100). Явление Гиббса формирует первые выбросы передаточной функции на расстоянии /(2(N+1)) от скачков (разрывов первого рода). Если ширину переходной зоны p в первом приближении принять по расстоянию между первыми выбросами по обе стороны от скачка функции H(), то ее значение будет ориентировочно равно /(N+1) =p



Рис. 7.3.1. Передаточные функции полосового фильтра.

Применение весовых функций. Если уровень пульсаций передаточной функции, определяемый явлением Гиббса, не удовлетворяет поставленным задачам фильтрации данных, рекомендуется использование сглаживающих весовых функций. С учетом того, что при применении весовых функций происходит расширение переходных зон примерно в два раза, значение ширины переходной зоны будет равным p = 2/N. Отсюда можно определить минимальное число членов усеченного ряда по заданному размеру переходной зоны:

N = 2/p. (7.3.2)

Для примера на рис. 7.3.1 значение N принято равным 200, при этом крутизна переходной зоны увеличилась (тонкая кривая H'(), N=200), создавая запас на последующее сглаживание весовой функцией.

Выбор весовых функций целесообразно осуществлять по допустимой величине осцилляций усиления сигнала в полосе подавления, т.е. по относительному значению амплитуды первого выброса на передаточных характеристиках весовых функций. Для выбранной весовой функции (с учетом числа ее членов по (7.3.2)) производится расчет весовых коэффициентов pn, после чего устанавливаются окончательные значения оператора фильтра:

hn = pn h(n). (7.3.3)




Рис. 7.3.2. Полосовая фильтрация (вверху – входной сигнал, внизу – выходной).
Подстановкой коэффициентов (7.3.3) в (7.3.1) рекомендуется произвести построение полученной передаточной характеристики фильтра и непосредственно по ней оценить пригодность фильтра для поставленных задач. Это наглядно видно на рис. 7.3.1, где для нашего примера была применена весовая функция Гаусса. Передаточная функция Hp() имеет практически такую же крутизну, как и функция H'() при N=100 и практически плоскую вершину в интервале спектра сигнала. Качество работы фильтра для сигнала, приведенного на рис. 7.2.1, можно видеть на рис. 7.3.2.

При необходимости более точной оценки полученной передаточной функции можно рекомендовать увеличение ее частотного разрешения в 2-4 раза перед выполнением преобразования Фурье, что можно выполнить путем увеличения размеров оператора hn дополнением нулями.

Основные весовые функции. Ниже в таблицах приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической форме с временным окном 2, симметричным относительно нуля (0). При переходе к дискретной форме окно 2 заменяется окном 2N+1, а значения t – дискретами t = nt. Большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения. Последнее исключается, если принять 2= (2N+3)t, при этом близкие к нулю значения перемещаются за границы окна.

Основные весовые функции.

Временное окно

Весовая функция

Фурье-образ

Естественное (П)

П(t) = 1, |t|ЈП(t) t

П() = 2 sinc[]

Бартлетта ()

b(t) = 1-|t|/

B() =  sinc2(/2).

Хеннинга, Ганна

p(t) = 0.5[1+cos(t/)]

0.5П()+0.25П(+/)+0.25П(-/)

Хемминга

p(t) = 0.54+0.46 cos(t/)

0.54П()+0.23П(+/)+0.23П(-/)

Карре (2-е окно)

p(t) = b(t) sinc(t/)

·B()*П(), П() = 1 при ||</

Лапласа-Гаусса

p(t) = exp[-2(t/)2/2]

[(/) exp(-22/(22))] ③ П()

Кайзера-Бесселя



p(t) =,

Jo[x] =[(x/2)k/k!]2

Вычисляется преобразованием Фурье.

Jo[x] - модифицированная функция

Бесселя нулевого порядка

Характеристики спектров весовых функций.

Параметры

Ед.

изм.

П-

Окно

Барт-

летт

Лан-цош

Хен-

нинг

Хемминг

Кар-

ре

Лаплас

Кайзер

Амплитуда:

Главный пик

1-й выброс(-)

2-й выброс(+)

Ширина Гл. пика

Положения:

1-й нуль

1-й выброс

2-й нуль

2-й выброс




%Гл.п.

- “ -

/
/

/

/

/


2

0.217

0.128

0.60
0.50

0.72

1.00

1.22


1

-

0.047

0.89
1.00

-

-

1.44


1.18

0.048

0.020

0.87
0.82

1.00

1.29

1.50


1

0.027

0.0084

1.00
1.00

1.19

1.50

1.72


1.08

0.0062

0.0016

0.91
1.00

1.09

1.30

1.41


0.77

-

-

1.12
-

-

-

-


0.83

0.0016

0.0014

1.12
1.74

1.91

2.10

2.34


0.82

.00045

.00028

1.15
1.52

1.59

1.74

1.88

Весовая функция Кайзера. Наибольшее распространение при расчетах частотных НЦФ получила весовая функция Кайзера:

p(n) = .

Это объясняется тем, что параметры функции Кайзера могут устанавливаться непосредственно по техническим требованиям к передаточным функциям проектируемых фильтров – допустимой ширине переходной зоны p и значению коэффициента шума фильтра (максимальным значениям осцилляций передаточной функции в единицах коэффициента передачи в полосе пропускания).

Кайзером установлено, что для заданного значения  произведение количества членов оператора НЦФ на ширину переходной зоны является величиной постоянной. Оно получило название D-фактора:

D = N·p/.

С другой стороны, установлены следующие эмпирические соотношения между D-фактором и параметром  функции Кайзера:

D = (А-7.95)/14.36 при А>21.

= 0.9222 при А<21.

 = 0.1102(A-8.7) при А>50.

= 0 при А<21.

= 0.5842(A-21)0.4 + 0.07886(A-21), 21<А<50.

где: А = -20 log  - затухание в децибелах.

Приведенные выражения позволяют по заданному значению коэффициента шума  определить параметр  функции Кайзера, а через D-фактор число членов фильтра:

N = D/p.

При проектировании полосовых фильтров проверка передаточной функции полученного оператора НЦФ исходному заданию по значению коэффициента шума является обязательной. Это объясняется тем, что поскольку полоса пропускания полосового фильтра ограничена двумя скачками, на передаточной характеристике возникают два центра осцилляций, при этом наложение осцилляций может как уменьшить, так и увеличить амплитуду суммарных осцилляций. Если за счет наложения произойдет увеличение амплитуды осцилляций, то расчет НЦФ следует повторить с уменьшением исходного значения .

Пример расчета полосового фильтра.

Произвести расчет ПФ при следующих исходных параметрах: н = 0.3, в = 0.6, p = 0.1,  = 0.02.

1. А = -20 log . А = 34.

2. N =  (A-7.95)/(14.36 p). N = 18.

3.  = 0.5842(A-21)0.4 +0.07886(A-21).= 2.62.

4. hо = (в-н)/. hо = 0.3

5. h(n) = (sin nв-sin nн)/(n). h(n)= 0.04521, -0.24490, -0.09515, ... , 0.02721.

6. pn= Jo{} / Jo{}. pn = 1.00, 0.997, 0.9882, .......

7. Оператор фильтра: hn = pn h(n), n = 0, 1, 2,..., N. h-n = hn. hn = 0.3000, 0.04508, -0.2420, ....

8. Проверка по формуле: H() =hn cos n, 0 Ј Ј.

Для оценки формы передаточной функции количество точек спектра в интервале 0- достаточно задать равным 2N, т.е. с шагом Ј/36.

Влияние конечной разрядности на цифровые фильтры должно быть минимальным и не создавать на их частотных характеристиках дополнительных неравномерностей и отклонения от заданной формы. С чисто практической точки зрения ограничение разрядности коэффициентов фильтра в целях повышения производительности вычислений лучше всего (и проще всего) выполнять непосредственно сравнением частотных характеристик с изменением разрядности от большей к меньшей. Следует учитывать, что ограничение разрядности может по разному сказываться на неравномерности фильтра в полосе пропускания и степени затухания сигналов в полосе подавления.

Ошибки отклонения () частотной характеристики относительно заданной при проектировании кроме разрядности коэффициентов В в битах зависит также от размеров N оператора фильтра и в первом приближении может оцениваться по формулам:





ln N)/3

Выражение (7.3.4) наиболее пессимистично и предполагает наихудшие ситуации вычислений. Два других выражения носят более реальный характер по статистическим данным.

7.4. Гладкие частотные фильтры /24/.

В некоторых случаях (при последовательном соединении фильтров, при выделении сигналов на уровне сильных помех и т.п.) осцилляции на передаточных характеристиках фильтров являются весьма нежелательными даже при их малой остаточной величине. Так, например, двойное последовательное применение фильтров приводит к тому, что ошибки в полосе пропускания приблизительно удваиваются, а полосе подавления возводятся в квадрат, при этом длина окна эквивалентного фильтра практически удваивается.

Принцип синтеза фильтров. Очевидно, что фильтры с гладкой передаточной характеристикой можно получить только в том случае, если возможно разложение передаточной функции в конечный ряд Фурье.

Допустим, мы имеем симметричный НЦФ с передаточной функцией:

H() = hо+2hn cos n. (7.4.1)

Как известно, cos n равен полиному по cos  степени n, при этом выражение (7.4.1) можно записать в виде:

H() =gn (cos )n =gn xn, (7.4.2)

где переменная х=cos  изменяется от 1 до -1 (поскольку  изменяется от 0 до ). Преобразование переменной представляет собой нелинейное растяжение оси абсцисс с поворотом на 180o (по переменной х передаточные функции ФНЧ похожи на ФВЧ, и наоборот) с выражением функции через степенной полином. Последнее примечательно тем, что синтез гладких функций на базе степенных полиномов затруднений не представляет.

Так, например, для конструирования ФНЧ в качестве исходной может быть принята степенная функция вида:

g(x)= (1+x)z (1-x)r, (7.4.3)

где z и r - параметры.




Рис. 7.4.1. Примеры синтеза гладких фильтров.
Функция (7.4.3) имеет нули порядка z и r в точках соответственно х = -1 и х = 1 (рис. 7.4.1), при этом значения параметров z и r характеризуют степень касания функцией оси абсцисс. Чем больше порядок, тем медленнее функция отходит ("отрывается") от оси абсцисс.

Если выражение функции (7.4.3) проинтегрировать в пределах от -1 до х и нормировать на значение интеграла от -1 до 1 , то будет получена гладкая передаточная характеристика низкочастотного фильтра. На рисунке 7.4.1 приведены передаточные функции для двух пар параметров z и r, вычисленные по формуле:

H(x)=g(x)dx /g(x)dx. (7.4.4)




Рис. 7.4.2. Схема возврата к ряду Фурье.
Функция H(x) имеет перегиб в точке (z-r)/(z+r) и переходную зону, крутизна которой тем больше, чем больше значения z и r. Подстановкой x=cos  осуществляется возврат к частотной переменной  с сохранением монотонности функции.

В заключение, для определения коэффициентов фильтра hn требуется осуществить обратное преобразование от степенной формы (7.4.2) к ряду Фурье (7.4.1). Выполнение данной операции достаточно просто производится рекурсивным способом, показанным на рис. 7.4.2. Подробное обоснование рекурсии приведено в /24/.
Пример расчета гладкого фильтра.

Произвести расчет ФНЧ с гладкой частотной характеристикой с перегибом характеристики в точке /3. За исходную функцию принять функцию (7.4.3).

1. x= cos(/3)= 0.5= (z-r)/(z+r). Принято: z=3, r=1.

Исходный многочлен: g(x) = (1-x)(1+x)3 = 1+2x-2x3-x4.

2. H(x)=g(x)dx = C+x+x2-0.5 x4-0.2 x5. При х= -1, H(-1)= 0, откуда С=0.3. При х=1, H(1)=1.6.

Отсюда: H(x)= (3+10x+10x2-5x4-2x5)/16. gn = {3/16, 10/16, 10/16, 0, -5/16, -2/16}.

3. Применяя рекурсивное преобразование, получаем: hn= {(98, 70, 20, -5, -5, -1)/256}.

Для расчетов гладких фильтров высоких частот в выражении (7.4.4) достаточно поменять местами пределы интегрирования. Гладкие полосовые фильтры получаются комбинацией ФНЧ и ФВЧ с перекрытием частот пропускания.

7.5. Дифференцирующие цифровые фильтры.

Передаточная функция. Из выражения для производной d(exp(jt))/dt = j exp(jt)

следует, что при расчете фильтра производной массива данных необходимо аппроксимировать рядом Фурье передаточную функцию вида H() = j. Поскольку коэффициенты такого фильтра будут обладать нечетной симметрией (h-n = -hn) и выполняется равенство

hn [exp(jn)-exp(-jn)] = 2j hn sin n,

то передаточная характеристика фильтра имеет вид:

H() = 2j(h1 sin + h2 sin 2+ ... + hN sin N),

т.е. является мнимой нечетной, a сам фильтр является линейной комбинацией разностей симметрично расположенных относительно sk значений функции. Уравнение фильтрации:

yn =hn(sk+n - sk-n).

Если дифференцированию подлежит низкочастотный сигнал, а высокие частоты в массиве данных представлены помехами, то для аппроксимации в пределах главного частотного диапазона задается (без индекса мнимости) передаточная функция фильтра вида:

H() = Јв, H() = 0, в< ЈN.

Оператор дифференцирующего фильтра:

h(n) = (2/)H() sin(n/N) dn = 0,1,2,... (7.5.1)

Принимая, как обычно, N =  (t = 1) и решая (7.5.1) при H() = , получаем:

hn = (2/)[sin(nв)/n2 - в cos(nв)/n], (7.5.2)

hо = 0, h-n = -hn.

Частотная характеристика:

Im(H()) =hn sin n = 2hn sin n (7.5.3)

Точность дифференцирования. На рис. 7.5.1 приведен пример расчета коэффициентов дифференцирующего фильтра на интервал частот {0-0.5} при t=1 (в = ). Операторы дифференцирующих фильтров, как правило, затухают очень медленно и, соответственно, достаточно точная реализация функции (7.5.3) весьма затруднительна.




Рис. 7.5.1. Коэффициенты оператора фильтра.
Ряд (7.5.3) усекается до N членов, и с помощью весовых функций производится нейтрализация явления Гиббса. Явление Гиббса для дифференцирующих фильтров имеет весьма существенное значение, и может приводить к большим погрешностям при обработке информации, если не произвести его нейтрализацию. Примеры ограничения оператора, приведенного на рис. 7.5.1, и соответствующие передаточные функции H'() усеченных операторов показаны на рис. 7.5.2.




Рис. 7.5.2. Частотные функции фильтров.
Для оценки возможных погрешностей дифференцирования усеченными операторами произведем расчет фильтра при в = . По формулам (7.5.2) определяем:

h0-10 = 0, 0.3183, 0.25, -0.0354, -0.125, 0.0127, 0.0833, -0.0065, -0.0625, 0.0039, 0.05.

Произведем проверку работы фильтра на простом массиве данных sn = n, производная которого постоянна и равна 1. Для массива с постоянной производной фильтр может быть проверен в любой точке массива, в том числе и в точке n=0, для которой имеем:

у =hn so-n = 2n hn,

при этом получаем: у=0.5512 при N=5, у=1.53 при N=10.




Рис. 7.5.3. Погрешность дифференцирования.
Такое существенное расхождение с действительным значением производной объясняется тем, что при =0 тангенс угла наклона реальных передаточных функций фильтра, как это видно на рисунке 7.5.2, весьма существенно отличается от тангенса угла наклона аппроксимируемой функции H() = . На рис. 7.5.3 приведены частотные графики относительной погрешности дифференцирования  = Hн'()/Hн() с вычислением значений на нулевой частоте по пределам функций при N ? ?На рис. 7.5.4 приведен пример операции дифференцирования гармоники s с частотой  оператором с N=10 в сопоставлении с точным дифференцированием ds/dk.



Рис. 7.5.4. Пример операции дифференцирования.

Применение весовых функций. Применим для нейтрализации явления Гиббса весовую функцию Хемминга. Результат нейтрализации для фильтра с N=10 приведен на рис. 7.5.5. Повторим проверочный расчет дифференцирования на массиве sn = n и получим результат у=1.041, т.е. погрешность дифференцирования уменьшается порядок.



Рис. 7.5.5. Дифференцирование с применением весовой функции.

Аналогично производится расчет и полосовых дифференцирующих фильтров с соответствующим изменением пределов интегрирования в (7.5.1) от н до в. При этом получаем:

hn = (нcos nн-вcos nв)/(n) + (sin nв-sin nн)/(n2).

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


с линейной
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации