Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n122.doc

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n122.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16



По формуле (3.1.3) вычисляем коэффициенты Ку(fв) усиления фильтров с N от 0 до 6 на частоте fв (см. таблицу 3.1.1). При мощности гармоники Wu = 1 амплитудное значение гармоники на входе фильтра равно U = = 1.41. Мощности гармоник на выходе фильтров в зависимости от N:




Рис. 3.1.5.
Wu(N)= 0.5·[U· Ку(fв)]2.

Соответственно, при мощности входного шума Wq=1 мощности шумов на выходе фильтров будут численно равны коэффициентам усиления дисперсии шумов Wq(N) = Wq·Kq(N).

Максимум отношения

Кс/ш  Wu(N)/Wq(N)

определяет оптимальный фильтр с максимальным увеличением отношения сигнал/шум, т.е., по существу, коэффициент усиления отношения сигнал/шум при выполнении фильтрации с учетом изменения амплитудных значений полезной части сигнала.




Рис. 3.1.6.
При Ку(fв) > 0.5 и Wu(N) = Wq(N) = 1 численные значения величины  = 1/ Кс/ш в первом приближении могут служить оценкой  квадрата среднего квадратического отклонения выходных сигналов от "чистой" гармоники fв, заданной на входе. Свидетельством этому служат последние строки таблицы 3.1.1, где приведены результаты математического моделирования фильтрации по данным условиям на выборке 10000 точек. На рис. 3.1.6 приведены результаты сопоставления расчетных  и модельных  значений данных коэффициентов. Эффект фильтрации можно видеть на рис. 3.1.7, где приведен пример сигналов моделирования на ограниченном отрезке данных.




Рис. 3.1.7. Сигналы на входе и выходе фильтра МНК 1-го порядка.
3.2. ФИЛЬТРЫ МНК 2-го ПОРЯДКА [24].

Расчет фильтров. Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2) рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t2. Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных t=1.

Минимум суммы квадратов остаточных ошибок:

(A,B,C) = [sn-(A+B·n+C·n2)]2. (3.2.1)

Система уравнений после дифференцирования выражения (3.2.1) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:

A1 + Bn + Сn2 =sn.

An + Bn2 + Сn3 =n·sn.

An2 + Bn3 + Сn4 =n2·sn.

При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем:

A = {n4sn -n2n2sn} / {1n4 - [n2]2}. (3.2.2)

При развертывании выражения (3.2.2) для 5-ти точечного НЦФ:

yo = (17sn - 5n2sn) /35 = (-3·s-2+12·s-1+17·so+12·s1-3·s2) /35. (3.2.3)

Импульсная реакция: hn = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.

Передаточная функция фильтра:

H(z)= (-3z-2+12z-1+17+12z1-3z2)/35. (3.2.4)

Аналогичным образом выражение (3.2.2) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра:

3hn = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}.

4hn = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}.

5hn={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}.

Частотные характеристики фильтров. Подставляя значение z = exp(-j) в (3.2.4) или непосредственно в (3.2.3) сигнал sn = exp(jn) и объединяя комплексно сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка:

H() = (17+24 cos(-6 cos(2))/35.




Рис. 3.2.1. Сглаживающие фильтры МНК-2.

Вывод формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК предлагается для самостоятельной работы.



Рис. 3.2.2. Рис. 3.2.3.

Вид частотных характеристик фильтров при N=3 и N=5 приводится на рис. 3.2.1. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 3.2.2.

Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. На рис. 3.2.3 приведены значения  и фильтров МНК-2 в сопоставлении со значениями фильтров МНК-1 для частоты fв = 0.08 Гц при t=1. Из сопоставления видно, что для получения примерно равных значений подавления шумов фильтры МНК-2 должны иметь в 2 раза большую ширину окна, чем фильтры МНК-1. Об этом же свидетельствует и пример моделирования фильтрации, приведенный на рис. 3.2.4.



Рис. 3.2.4.

Модификация фильтров. Фильтры МНК второго порядка (равно как и другие фильтры подобного назначения) также можно модифицировать по условию H() ? 0 при  ?. Один из простейших методов модификации заключается в следующем. В выражение передаточной функции (со всеми коэффициентами фильтра, вида (3.2.4)) подставляем z = exp(-j), заменяем значения концевых коэффициентов фильтра на параметры, принимаем =  и, приравняв полученное выражение нулю, находим новые значения концевых коэффициентов, после чего сумму всех коэффициентов нормируем к 1 при = 0.

Пример модификации фильтра МНК 2-го порядка.

Передаточная функция: выражение (3.2.4). Частотная характеристика (нормировку можно снять):

H() = -3exp(2j)+12exp(j)+17+12exp(-j)-3exp(-2j).

Замена концевых коэффициентов {значение 3} на параметр b и упрощение:

H() = 17+24 cos()+2b cos(2).

При = : H() = 17-24+2b = 0. Отсюда: b = 3.5

Новая частотная характеристика (с приведением коэффициентов к целым числам):

H() = 68+96 cos()+14 cos(2). Сумма коэффициентов при w = 0: H(0) = 68+96+14 = 178.

Нормированная частотная характеристика: H() = (68+96 cos()+14 cos(2))/178.

Коэффициенты фильтра: hn = {(7,48,68,48,7)/178}.

Пример- задание: Модифицировать 7, 9 и 11-ти точечные сглаживающие фильтры МНК 2-го порядка.

Контроль: 7hn = {(1,6,12,14,12,6,1)/52}. 9hn = {(-1,28,78,108,118,108,78,28,-1)/548}.

11h n = {(-11,18,88,138,168,178,168,138,88,18,-11)/980}.

Сравнительные графики частотных характеристик модифицированных фильтров МНК второго порядка приведены на рисунке 3.2.1.

Фильтры МНК третьего порядка по своим частотным характеристикам эквивалентны фильтрам второго порядка.

3.3. ФИЛЬТРЫ МНК 4-го ПОРЯДКА [24].

Фильтры МНК 4-го порядка. Расчет по аналогичной методике сглаживающих фильтров МНК 4-ой степени дает следующие результаты:

h0-3 = (131,75,-30,5)/231,

h0-4 = (179,135,30,-55,15)/429,

h0-5 = (143,120,60,-10,-45,18)/429.




Рис. 3.3.1. Сглаживающие фильтры МНК.
На рис. 3.3.1 приведено сопоставление частотных характеристик одноразмерных фильтров МНК 1-го, 2-го и 4-го порядка.

В целом, по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следующие выводы:

1. Повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте и расширяет полосу пропускания фильтра.

2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.

3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов.

Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.

3.4. РАСЧЕТ ПРОСТОГО ФИЛЬТРА ПО ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ.

Если шумы в обрабатываемых сигналах сосредоточены в основном в высокочастотной области, то достаточно простые фильтры сглаживания без значительных осцилляций могут быть синтезированы непосредственно по частотной характеристике. В качестве примера проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ с окном в пять точек:

yk = ask-2+bsk-1+csk+bsk+1+ask+2. (3.4.1)

Полагаем sk = exp(jk), при этом yk = H() exp(jk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jk) и, объединяя комплексно сопряженные члены в правой части, получаем уравнение передаточной функции:

H() = 2a cos(2)+2b cos()+ c.

Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H() = 0. Отсюда:

H(0) = 2a+2b+c = 1,

H() = 2a-2b+c = 0.

B = 1/4, c = 1/2-2a.

При этом функция H() превращается в однопараметровую:

H() = 2a(cos(2)-1)+(cos()+1)/2.

По полученному выражению рекомендуется построить семейство кривых в параметрической зависимости от значений 'а' и выбрать фильтр, удовлетворяющий заданию. Пример семейства частотных характеристик приведен на рисунке 3.4.1.




Рис. 3.4.1. Частотные характеристики НЦФ.
Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно. Так, например, если к двум граничным условиям задать третье условие сбалансированности: H() = 0.5 при =/2, то из трех полученных уравнений сразу же получим все три коэффициента фильтра: a = 0, b = 1/4, c = 1/2 (фильтр сокращается до трех точек).

В принципе, таким методом можно задать любую произвольную форму частотной характеристики симметричного НЦФ с произвольным количеством N точек дискретизации, что определит полное уравнение (3.4.1) с окном 2N+1 точка и соответствующую передаточную функцию фильтра, по которой можно составить и решить N+1 уравнение для определения коэффициентов фильтра.

литература

24. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с. [kgl]

Тема 4. РАЗНОСТНЫЕ ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

Человечество так старо! Всегда приходится идти по чьим-то стопам.

А. Додэ.

Но люди амбициозны, и всегда пытаются оставить свой след. Следов этих так много, что трудно сообразить, какой из них прямой, простой и годится на все случай жизни. А может таких вообще нет?

Лариса Ратушная. Уральский геофизик, XX в.
Содержание

Введение.

1. Разностные операторы. Выделение в сигналах шумов. Восстановление утраченных или пропущенных данных. Аппроксимация производных.

2. Интегрирование данных. Алгоритмы интегрирования по формулам трапеций, прямоугольников, Симпсона.

Введение

Основной инструмент проектирования цифровых фильтров – частотный (спектральный) анализ. Частотный анализ базируется на использовании периодических функций синусов и косинусов. По-существу, спектральная характеристика цифрового фильтра – это тонкая внутренняя структура системы, его однозначный функциональный паспорт направленного изменения частотного состава данных, полностью определяющий сущность преобразования фильтром входных данных.

Рассмотрим примеры синтеза и частотного анализа фильтров применительно к известным способам дифференцирования и интегрирования данных.

4.1. Разностные операторы /24/.

Рассмотрим примеры частотного подхода при анализе разностных операторов.

Разностный оператор 1-го порядка имеет вид:

sk = sk+1-sk.

Последовательное n-кратное применение оператора записывается в виде оператора n-го порядка:

n(sk) = [n-1(sk)] = sk ③ n-1(sk) (4.1.1)


k

sk

(sk)

2(sk)

3(sk)

4(sk)

5(sk)

6(sk)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

0

0

1

-2

1

0

0

0

0

0

1

-3

3

-1

0

0

0

0

1

-4

6

-4

1

0

0

0

1

-5

10

-10

5

-1

0

0

1

-6

15

-20

15

-6

1

0

Кq




2

6

20

70

252

924
Выходные значения импульсной реакции разностных операторов на единичный импульсный сигнал Кронекера приведены в таблице. Ряды последовательных разностей содержат знакопеременные биномиальные коэффициенты. В представленной форме разностные операторы являются каузальными фазосдвигающими (односторонними) фильтрами, но нетрудно заметить, что операторы четных степеней могут быть переведены в симметричную форму сдвигом влево на половину окна оператора.

В последней строке таблицы приводятся коэффициенты усиления дисперсии шумов, значение которых резко нарастает по мере увеличения порядка оператора. Это позволяет использовать разностные операторы с порядком выше 1 для определения местоположения статистически распределенных шумов в массивах данных. Особенно наглядно эту возможность можно видеть на частотных характеристиках операторов.

Подставляя сигнал s(k) = exp(jk) в (4.1.1) и упрощая, получаем:

ns(k) = (jn) exp(jn/2) [2 sin(/2)]n exp(jk).

H() = (jn) exp(jn/2) [2 sin( /2)]n (4.1.2)

Так как модуль первых двух множителей в выражении (4.1.2) равен 1, зависимость коэффициента передачи разностного оператора от частоты определяется вторым сомножителем (2 sin(/2))n и представлена на рисунке 4.1.1.




Рис. 4.1.1. Разностные фильтры.
Выделение в сигналах шумов. Как следует из рисунка, разностные операторы подавляют постоянную составляющую сигнала и его гармоники в первой трети интервала Найквиста и увеличивают высокочастотные составляющие сигнала в остальной части интервала тем больше, чем больше порядок оператора. Как правило, эту часть главного интервала спектра сигналов занимают высокочастотные статистические шумы.

Шумы при анализе данных также могут представлять собой определенную информацию, например, по стабильности условий измерений и по влиянию на измерения внешних дестабилизирующих факторов. На рис. 4.1.2 приведен пример выделения интервалов интенсивных шумов в данных акустического каротажа, что может свидетельствовать о сильной трещиноватости пород на этих интервалах. Такая информация относится уже не шумовой, а к весьма полезной информации при поисках и разведке нефти, газа и воды.



Рис. 4.1.2.

Восстановление утраченных данных. Разностные операторы имеют одну особенность: оператор n+1 порядка аннулирует полином степени n, т.е. свертка оператора порядка n+1 с полиномом n-ой степени дает нулевые значения: n+1 ③ Pn(k) = 0. Эту особенность можно использовать для создания очень простых и достаточно надежных операторов восстановления в массивах пропущенных и утраченных значений или для замены аннулированных при обработке величин (например, явных выбросов).

Пример. P2(k) = xk = 1+2k-k2, k = 0,1,2,... xk = 1,2,1,-2,-7,-14,-23,-34,... yk = xk ③ 3=0,0,0,0,...

Если считать, что отрезок данных, содержащий пропуск, является многочленом некоторой степени, то свертка данных с разностным оператором следующего порядка должна быть равна нулю. Так, при аппроксимации данных многочленом третьей степени для любой точки массива должно выполняться равенство:

4③(sk) = sk-2-4sk-1+6sk-4sk+1+sk+2 = 0.

Интерполяционный фильтр восстановления утраченной центральной точки данных:

sk = (-sk-2+4sk-1+4sk+1-sk+2)/6. (4.1.3)

Соответственно, оператор фильтра восстановления данных h(n) = (-1,4,0,4,-1)/6. Коэффициент усиления шумов 2 = 17/18 = 0.944.

Пример. Фактический отрезок массива данных: xk = {3,6,8,8,7,5,3,1}.

Допустим, что на отрезке был зарегистрирован явный выброс: xk = {3,6,8,208,7,5,3,1}.

Отсчет с выбросом аннулирован. Замена отсчета: x3 = (-x1+4x2+4x4-x5)/6= (-6+32+28-5)/6 » 8.17.

В массиве утрачен 5-й отсчет. Восстановление: x4 = (-x2+4x3+4x5-x6)/6 = (-8+32+20-3)/6 » 6.83.




Рис. 4.1.3. Разностные фильтры.
Принимая в (4.1.3) k = 0 и подставляя сигнал sk = exp(jk), получаем частотную характеристику, в данном случае - фильтра восстановления данных 4-го порядка:

H() = (4 cos - cos 2)/3.

Вид частотной характеристики для фильтров восстановления пропущенных данных 4-го и 6-го порядков приведен на рис. 4.1.3. Графики наглядно показывают, что применение разностных интерполяционных фильтров восстановления данных возможно только для сигналов, высокочастотные и шумовые составляющие которых минимум в три раза меньше частоты Найквиста. Интерполяционные фильтры выше 4-го порядка применять не рекомендуется, т.к. они имеют коэффициент усиления шумов более 1.

На рис. 4.1.4 – 4.1.6 приведены примеры восстановления утраченных данных во входных сигналах оператором 3-го порядка и спектры сигналов в сопоставлении с передаточной функцией оператора восстановления данных.



Рис. 4.1.4. Восстановление незашумленных данных. Рис.4.1.5. Спектры.



Рис. 4.1.6. Восстановление зашумленных данных.

В сигналах, представленных на рисунках, утрачен каждый 10-ый отсчет (например, при передаче данных) при сохранении тактовой частоты нумерации данных. Учитывая, что все значения входных сигналов положительны, индикатором пропуска данных для работы оператора служат нулевые значения. В любых других случаях для оператора восстановления данных необходимо предусматривать специальный маркер (например, заменять аннулированные данные или выбросы определенным большим или малым значением отсчетов).




Рис. 4.1.7. Погрешности восстановления сигналов.
Как следует из рис. 4.1.5, спектр полезного сигнала полностью находится в зоне единичного коэффициента частотной характеристики оператора, и восстановление данных выполняется практически без погрешности (рис. 4.1.4). При наложении на сигнал статистически распределенных шумов (рис. 4.1.6) погрешность восстановления данных увеличивается, но для информационной части полного сигнала она, как и во входных данных, не превышает среднеквадратического значения (стандарта) флюктуаций шума. Об этом свидетельствует рис. 4.1.7, полученный для сигналов на рис. 4.1.6 по данным математического моделирования при разных значениях стандарта шума (выборки по 10 точкам восстановления).

Аппроксимация производных - вторая большая область применения разностных операторов. Оценки первой, второй и третьей производной можно производить по простейшим формулам дифференцирования:

(sn)' = (sn+1-sn-1)/2t. h1 = {-0.5, 0, 0.5}. (4.1.4)

(sn)'' = (sn+1-2sn+sn-1)/t. h2 = {1, -2, 1}.

(sn)''' = (-sn+2+2sn+1-2sn-1+sn-2)/2t. h3 = {0.5, -1, 0, 1, -0.5}.

Оператор первой производной является нечетной функцией и имеет мнимый спектр. Если принять s(t) = exp(jt), то истинное значение первой производной должно быть равно: s'(t) = j exp(jt). Передаточная функция H() = j. Оценка первой производной в точке n = 0 по разностному оператору при t = 1: s'(0) = (exp(j)-exp(-j))/2 = j sin  = H1(). Отношение расчетного значения к истинному на той же точке: K1() = sin()/. Графики функций в правой половине главного диапазона приведены на рис. 4.1.8.




Рис. 4.1.8.
Как следует из приведенных выражений и графиков, значение К() равно 1 только на частоте = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных. Однако при обработке практических данных последний фактор может играть и положительную роль, если сигнал низкочастотный (не более 1/3 главного диапазона) и зарегистрирован на уровне высокочастотных шумов. Любое дифференцирование поднимает в спектре сигнала долю его высокочастотных составляющих. Коэффициент усиления дисперсии шумов разностным оператором дифференцирования непосредственно по его спектру в главном диапазоне:

Kq = (1/)(sin 2 d = 0.5.

При точном дифференцировании по всему главному диапазону:

Kq = (1/)2 d = 3.29

Следовательно, разностный оператор имеет практически в шесть раз меньший коэффициент усиления дисперсии шумов, чем полный по главному диапазону точный оператор дифференцирования.

На рис. 4.1.9 показан пример дифференцирования гармоники с частотой 0.1 частоты Найквиста (показана пунктиром) и этой же гармоники с наложенными шумами (сплошная тонкая кривая).



Рис. 4.1.9. Пример дифференцирования (входные сигналы – вверху, выходные – внизу).

Оператор второй производной относится к типу четных функций. Частотная функция оператора: H2() = -2(1-cos ). Собственное значение операции H() = -2. Отношение фактического значения к собственному

K2() = [sin(/2)/(/2)]2,

и также равно 1 только на частоте = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных, хотя и меньшие по относительным значениям, чем оператор первой производной. Частотные графики функций приведены на рис. 4.1.10. Коэффициент усиления дисперсии шумов оператором второй производной равен 6 при собственном значении дифференцирования, равном 19.5. Эти значения показывают, что операция двойного дифференцирования может применяться только для данных, достаточно хорошо очищенных от шумов, с основной энергией сигнала в первой трети интервала Найквиста.




Рис. 4.1.10. Частотные функции 2-ой производной.
В принципе, вторую производную можно получать и последовательным двойным дифференцированием данных оператором первой производной. Однако для таких простых операторов эти две операции не тождественны. Оператор последовательного двойного дифференцирования можно получить сверткой оператора первой производной с самим собой:

2h1 = h1 ③ h1 = {0.25, 0, -0.5, 0, 0.25},

и имеет коэффициент усиления дисперсии шумов всего 0.375. Частотная характеристика оператора:

2H1() = -0.5[1-cos(2)].

Графики 2H1() и коэффициента соответствия 2K1() приведены пунктиром на рис. 4.1.10. Из их сопоставления с графиками второй производной можно видеть, что последовательное двойное дифференцирование возможно только для данных, спектральный состав которых занимает не более пятой начальной части главного диапазона, и по точности хуже оператора второй производной.



Рис. 4.1.11. Вторая производная гармоники с частотой при t=1

(пунктир – двойное последовательное дифференцирование)

Пример применения двух операторов второй производной приведен на рис. 4.1.11.

Попутно заметим, что частота Найквиста главного диапазона обратно пропорциональна интервалу t дискретизации данных (N = p/t), а, следовательно, интервал дискретизации данных для корректного использования простых операторов дифференцирования должен быть в 3-5 раз меньше оптимального для сигналов с известными предельными частотами спектрального состава.

Частотные функции для третьей производной предлагается получить самостоятельно.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации