Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов - файл n122.doc

приобрести
Учебно-методический комплекс по дисциплине Цифровая обработка сигналов
скачать (11114.3 kb.)
Доступные файлы (132):
!BaseCustomizer.exe
n2.jpg124kb.14.09.2011 15:06скачать
n5.doc1089kb.14.09.2011 15:06скачать
n6.htm328kb.14.09.2011 15:06скачать
n7.jpeg63kb.14.09.2011 15:06скачать
n8.exe
n9.ini
n10.mbd
n12.db
n13.exe
n14.inf
n15.ini
n16.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n17.db
n19.mcd
n20.mcd
n21.mcd
n22.mcd
n23.mcd
n24.mcd
n25.mcd
n26.mcd
n27.mcd
n28.mcd
n29.mcd
n30.mcd
n31.mcd
n32.prn
n33.prn
n34.mcd
n35.mcd
n36.mcd
n37.mcd
n38.mcd
n39.mcd
n40.mcd
n41.mcd
n42.prn
n43.prn
n44.mcd
n45.mcd
n46.mcd
n47.mcd
n48.mcd
n49.mcd
n50.mcd
n51.mcd
n52.mcd
n53.mcd
n54.mcd
n55.mcd
n56.mcd
n57.prn
n58.prn
n59.mcd
n60.mcd
n61.mcd
n62.mcd
n63.mcd
n64.mcd
n65.mcd
n66.prn
n67.prn
n68.mcd
n69.mcd
n70.mcd
n71.mcd
n72.mcd
n73.mcd
n74.mcd
n75.mcd
n76.mcd
n77.prn
n78.prn
n79.prn
n80.mcd
n81.mcd
n82.mcd
n83.mcd
n84.mcd
n85.mcd
n86.mcd
n87.mcd
n88.mcd
n89.mcd
n90.prn
n91.prn
n92.mcd
n93.mcd
n94.mcd
n95.mcd
n96.mcd
n97.mcd
n98.mcd
n99.mcd
n100.mcd
n101.prn
n102.prn
n103.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n104.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n106.htm138kb.14.09.2011 15:06скачать
n107.htm231kb.14.09.2011 15:06скачать
n108.htm386kb.14.09.2011 15:06скачать
n109.htm276kb.14.09.2011 15:06скачать
n110.htm189kb.14.09.2011 15:06скачать
n111.htm206kb.14.09.2011 15:06скачать
n112.htm94kb.14.09.2011 15:06скачать
n113.htm282kb.14.09.2011 15:06скачать
n114.htm209kb.14.09.2011 15:06скачать
n115.htm121kb.14.09.2011 15:06скачать
n116.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n117.htm133kb.14.09.2011 15:06скачать
n118.htm265kb.14.09.2011 15:06скачать
n119.htm285kb.14.09.2011 15:06скачать
n120.htm236kb.14.09.2011 15:06скачать
n121.doc2344kb.14.09.2011 15:06скачать
n122.doc3719kb.14.09.2011 15:06скачать
n123.txt2kb.14.09.2011 15:06скачать
n124.jpg22kb.14.09.2011 15:06скачать
n125.jpeg48kb.14.09.2011 15:06скачать
n127.htm68kb.14.09.2011 15:06скачать
n128.htm71kb.14.09.2011 15:06скачать
n129.htm58kb.14.09.2011 15:06скачать
n130.htm186kb.14.09.2011 15:06скачать
n131.htm97kb.14.09.2011 15:06скачать
n132.htm47kb.14.09.2011 15:06скачать
n133.htm224kb.14.09.2011 15:06скачать
n134.htm61kb.14.09.2011 15:06скачать
n135.txt6kb.14.09.2011 15:06скачать
n136.ask
n137.csk
n138.ico

n122.doc

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16
Задание мощности шумов. Следует внимательно относиться к заданию функции шумов Wq(). При полной неопределенности шума необходимо, как минимум, выполнять оценку его дисперсии 2 и распространять на весь частотный диапазон с соответствующей нормировкой на его величину (2Wq() d = 2), т.е. считать его белым шумом. При известной функции полезного сигнала в зарегистрированной реализации значение дисперсии шумов в первом приближении может быть оценено по разности дисперсий реализации и функции полезного сигнала. Можно выполнить и выделение шумов из входного сигнала в отдельный шумовой массив, например, вейвлетным преобразованием. Однако использовать выделенный шум непосредственно для вычисления функции Wq() допустимо только по достаточно представительной реализации при условии стационарности и эргодичности шума. В противном случае функция Wq() будет отображать только распределение шумов в зарегистрированной реализации сигнала, а соответственно фильтр будет оптимален только к этой реализации, что не гарантирует его оптимальности к любой другой реализации. Но для обработки единичной зарегистрированной реализации сигнала такой метод не только вполне допустим, но и может существенно повысить точность формирования выходного сигнала.

Эффективность фильтра. Из выражений (12.3.5-12.3.7) следует, что с позиции минимального искажения полезного сигнала при максимальном подавлении шумов фильтр Колмогорова-Винера эффективен в тем большей степени, чем больше отношение сигнал/шум на входе фильтра. В пределе, при Wq()<s() имеем H()1 и фильтр воспроизводит входной (или заданный) сигнал без искажений (помех нет, исправлять нечего). Отметим также, что помеха, коррелированная с полезным сигналом, как это следует из (12.3.5), используется фильтром для повышения точности воспроизведения сигнала. С другой стороны, при Wq()>>Ws() имеем H() 0 и сигнал будет сильно искажен, но никакой другой фильтр лучшего результата обеспечить не сможет.

Пример. Расчет оптимального фильтра воспроизведения сигнала. Выполняется в среде Mathcad.

Форма входного сигнала считается известной и близка к гауссовой. На входной сигнал наложен статистический шум с равномерным распределением мощности по всему частотному диапазону (белый шум), некоррелированный с сигналом, и функцию Wzq принимаем равной нулю. Для наглядного просмотра связи параметров фильтра с параметрами сигнала задаем модели сигналов в двух вариантах:

K := 1000 k := 0 .. K A := 50

s1k := A·exp[-0.0005·(k-500)2] s2k := A·exp[-0.00003·(k-500)2] Ь информационные сигналы

Q := 30 qk := rnd(Q) – Q/2 x1k := s1k + qk x2k := s2k + qk Ь входные сигналы



Рис. 12.3.1. Модельные сигналы.

В качестве выходных сигналов задаем те же самые функции s1 и s2. Быстрым преобразованием Фурье вычисляем спектры сигналов и формируем спектры плотности мощности:

S1 := CFFT(s1) S2 := CFFT(s2) Q := CFFT(q) Ь спектры сигналов

Ь спектры мощности

Ds1 := var(s1) Ds2 := var(s2) Dx1 := var(x1) Dx2 := var(x2) Dq := var(q) Ь дисперсии

Ds1 = 124.308 Ds2 = 310.264 Dx1 = 202.865 Dx2 = 386.78 Dq = 79.038 Ь информация

mean(Wq) = 0.079 Wq1 := (Dx1 – Ds1)/(K+1) Wq1 = 0.078 Ь информация

Wq2 := (Dx2 – Ds2)/(K+1) Wq2 = 0.076 Ь информация

Wqk := Wq1 Ь замена на постоянное распределение

Для воспроизведения сигналов вычисления функций Wzs не требуется, т.к. Wzs = Ws. Вычисление Wq также имеет только информативный характер.

Передаточные функции оптимальных фильтров (приведены на рис. 12.3.2):





Рис. 12.3.2. Передаточные функции оптимальных фильтров

в сопоставлении с нормированными модулями спектров сигналов

Как следует из рисунка 12.3.2, для плавных монотонных функций, основная энергия которых сосредоточена в низкочастотной части спектра, передаточные функции оптимальных фильтров, по существу, представляют собой низкочастотные сглаживающие фильтры с автоматической подстройкой граничной частоты пропускания под основные частоты входного сигнала. Операторы фильтров можно получить обратным преобразованием Фурье:

h1 := ICFFT(H1)/(K+1) h2 := ICFFT(H2)/(K+!) Ь обратное преобразование Фурье



Рис. 12.3.3. Импульсные отклики фильтров.

Оператор фильтра, в принципе, бесконечен. В данном случае, при использовании БПФ максимальное число отсчетов равно К/2 = 500. Усечение размеров оператора может выполняться по типовым методам с применением весовых функций (в расчете операторы нормируются к 1, весовые функции не применяются).

N1 := 160 n1 := 0 .. N1 N2 ;= 500 n2 := 0 .. N2 Ь размеры и нумерация операторов

hm1 := h10 + 2·h1n1 hm1=0.988 h1 := h1/hm1 Ь нормировка

hm2 := h20 + 2·h2n2 hm2=1.001 h2 := h2/hm2 Ь нормировка

Ь свертка



Рис. 12.3.4. Проверка действия оптимальных фильтров.

Коэффициент усиления дисперсии помех Ю Kd := (h0)2 + 2·hn Kd1=0.021 Kd2= 0.0066

Среднеквадратическое отклонение воспроизведения сигнала:

e1= 1.238 e2 = 0.701

Проверка действия оператора фильтра приведена на рис. 12.3.4.

Особую эффективность оптимальный фильтр имеет при очистке от шумов сигналов, имеющих достаточно сложный спектральный состав. Оптимальный фильтр учитывает конфигурацию спектра сигнала и обеспечивает максимальное подавление шумов, в том числе внутри интервала основного частотного диапазона сигнала. Это наглядно видно на рис. 12.3.5 для сигнала, близкого к прямоугольному, спектр которого имеет кроме основной низкочастотной части затухающие боковые осцилляции. Расчет фильтра выполнялся по методике, приведенной в примере 1.



Рис. 12.3.5. Оптимальная фильтрация сигнала со сложным спектральным составом.



Рис. 12.3.6. Оптимальная фильтрация радиоимпульса.

На рис. 12.3.6 приведен пример фильтрации оптимальным фильтром радиоимпульса. Основной пик спектра радиоимпульса находится в области несущей частоты, а боковые полосы определяются формой модулирующего сигнала, в данном случае – прямоугольного импульса. На графике модулей сигнала и передаточной функции фильтра можно видеть, что оптимальный фильтр превратился в полосовой фильтр, при этом учитывается форма боковых полос спектра сигнала.

Фильтры прогнозирования и запаздывания. Если в правой части уравнения (12.3.3) желаемым сигналом задать входной сигнал со сдвигом на величину kt, то при этом B(m) = R(m+k) и уравнение принимает вид:

h(n) ③ R(m-n) = R(m+k). (12.3.8)

При k > 0 фильтр называется фильтром прогнозирования и вычисляет будущие значения сигнала по его предшествующим значениям. При k < 0 фильтр является фильтром запаздывания. Реализация фильтра заключается в решении соответствующих систем линейных уравнений для каждого заданного значения k. Фильтр может использоваться для интерполяции геофизических полей, в том числе в наперед заданные точки, а также для восстановления утраченных данных.

12.4. Оптимальные фильтры сжатия сигналов.

Условие оптимальности. Фильтр сжатия сигнала x(t), по существу, представляет собой фильтр формирования сигнала z(t) с эффективной шириной длительности, меньшей по сравнению с эффективной шириной длительности полезного сигнала s(t) во входном сигнале x(t). Расчет оптимального фильтра сжатия может выполняться непосредственно по выражениям (12.3.3).

В предельном случае сжатия сигнала до импульса Кронекера положим, что z(k)=(k) при статистической независимости сигнала и шума. Отсюда:

Bsz(m) = (m) ③ s(k+m) = s(-m).

h(n) ③ (Rs(m-n)+Rq(m-n)) = s(-m). (12.4.1)

H() = S*() / (|S()|2+Wq()). (12.4.2)

При некоррелированной помехе с дисперсией 2 система уравнений для определения значений коэффициентов h(n):

ho(R(0)+2)+ h1R(1)+ h2R(2)+ h3R(3)+ ...+ hMR(M) = s(0), (12.4.3)

hoR(1) + h1R(0)+ h2R(1)+ h3R(2)+ ...+ hMR(M-1) = 0,

hoR(2) + h1R(1)+ h2R(0)+ h3R(1)+ ...+ hMR(M-2) = 0,

. . . . . . . . . . . . .

hoR(M) + h1R(M-1)+ h2R(M-2)+ ....... + hMR(0) = 0.

При расчете коэффициентов фильтра значение s(0) обычно принимается произвольным, чаще всего равным площади сигнала s(t). Тем самым делается попытка полного сжатия площади сигнала до весовой функции Кронекера, что возможно только для сигналов со спектром в главном диапазоне до частоты Найквиста.



Рис. 12.4.1. Сжатие гладких сигналов с разным уровнем шумов.

Для гладких и монотонных функций со спектром в низкочастотной части главного диапазона сжатие до импульса Кронекера невозможно, и в зависимости от уровня шумов фильтр поднимает насколько возможно высокие частоты сигнала, учитывая значение уровня шумов. При этом нарушаются условия нормировки площади оператора фильтра к 1, о чем можно судить по значению передаточной функции H() при =0, которое становится меньше 1, и при обратном преобразовании H() Ю h(m) оператор h(m) требует нормировки к 1. Все эти факторы можно наглядно видеть на рис. 12.4.1.

На рисунке приведены три сигнала с одной и той же базовой функцией, на которую наложены шумы разного уровня. При малом уровне шумов (сигнал х1) фильтр в максимальной степени использует высокие частоты сигнала (|H1| >>1 на этих частотах), сохраняя устойчивость работы фильтра при достаточно удовлетворительном (хотя и больше 1) коэффициенте усиления дисперсии помех при максимально возможном сжатии сигнала. При повышении уровня шумов (сигналы х2 и х3) подъем высоких частот сигнала уменьшается, и сжатие сигнала соответственно также уменьшается, предпочтение отдается максимальному подавлению шумов.



Рис. 12.4.2. Сжатие сигнала с высокочастотным спектром

На рис. 12.4.2. приведен пример сжатия сигнала, близкого к прямоугольному импульсу. Базовая функция сигнала s(k) имеет достаточно высокочастотный спектр мощности Ws(), и при задании формы выходного сигнала сжатия в виде гауссовой функции z(k) передаточная функция фильтра H() обеспечивает достаточно уверенное сжатие сигнала (при уменьшении уровня шумов практически до заданной формы).

В пределе, при Wq=0 фильтр сжатия превращается в обратный фильтр (фильтр деконволюции):

H()= S*() / |S()|2 = 1/S(), (12.4.4)

На выходе такого фильтра имеем:

Y() = H()X() ? 1, при X() ? S().

Реализация фильтра возможна только при условии S() > 0 на всех частотах в главном частотном диапазоне. В противном случае, при S(i) ? 0, H(i) ? ? и фильтр становится неустойчивым. Для исключения возможности такого явления в фильтр (12.4.4) вводится стабилизатор a:

H() = S*() / [|S()|2+a], (12.4.5)

где |S()|2+a > 0 во всем частотном диапазоне.

Фильтры деконволюции могут использоваться не только для повышения разрешающей способности данных, но и для интерпретации геофизических данных, если формирование полезного входного сигнала удовлетворяет принципу суперпозиции данных по зависимости от искомых параметров.

12.5. Фильтр обнаружения сигналов /42/.

Фильтр используется при решении задач обнаружении сигналов известной формы на существенном уровне шумов, значение которых соизмеримо и может даже превышать значения сигналов. В процессе фильтрации необходимо только зафиксировать наличие сигнала в массиве данных, если он там присутствует (а может и не присутствовать), при этом сохранения формы сигнала не требуется. Сама форма сигнала полагается известной либо по теоретическим данным (путем решения прямых задач геофизики или при активном воздействии на геологическую среду сигналами известной формы с учетом соответствующей реакции среды), либо по результатам предшествующих измерений на моделях или на аналогичных средах. Для уверенного обнаружения сигнала фильтр должен обеспечить максимально возможную амплитуду выходного сигнала над уровнем помех и соответственно выполняется на основе критерия максимума пикового отношения сигнал/помеха.

Частотная характеристика. Для расчета фильтра требуется задать известную форму полезного сигнала s(k) у S() и функцию автокорреляции или спектр мощности помех Rq(m) у Wq(). Полный входной сигнал принимается по аддитивной модели: x(t) = s(t)+q(t). На выходе проектируемого фильтра h(n) у H() для составляющих выходного сигнала имеем:

y(t) = H() S() exp(jt) d, (12.5.1)

|H()|2 Wq() d, (12.5.2)

где - средняя квадратическая амплитуда выходной помехи.

Оптимальным в задаче обнаружения одиночного сигнала конечной длительности является фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение пиковой мощности сигнала к мощности шума в момент окончания импульса. Значения (12.5.1, 12.5.2) используются для задания критерия максимума отношения сигнал/шум (12.2.3) для произвольной точки ti:

= [y(ti)]2/2. (12.5.3)

Исследование функции (12.5.3) на максимум показывает, что он достигается при частотной характеристике фильтра:

H() = exp(-jti) |S*()| / Wq(), (12.5.4)

Для физически реализуемых фильтров в качестве точки ti целесообразно использовать интервал длительности импульса , при этом:

H() = exp(-j) |S*()| / Wq() = exp(-js-j) |S()|/Wq(). (12.5.4')

Аргумент s в этом выражении компенсирует фазовые сдвиги составляющих спектра сигнала, а  обеспечивает их задержку на время длительности сигнала. Таким образом, на концевой части сигнала фильтр выполняет синфазное суммирование всех полезных частотных составляющих входного сигнала с весами, пропорциональными отношению |S()|/Wq(), что обеспечивает накопление амплитуды полезного сигнала на интервале всей длительности входного импульса и формирует максимум сигнала на момент его окончания. Вместе с тем фильтр ослабляет спектральные составляющие шума тем сильнее, чем меньше модуль |S()|, и полная мощность шума на выходе фильтра оказывается меньшей, чем на входе.

Для получения линейных уравнений расчета коэффициентов фильтра без потери общности можно принять ti=0, при этом:

H() = S*()/Wq() = |S()|exp(js()) / Wq(). (12.5.5)

При переходе во временную (координатную) область:

H()Wq() = S*() у h(n) ③ Rq(n-m) = s(-m). (12.5.6)

Система линейных уравнений для расчета фильтра:

hoRq(0)+ h1Rq(1)+ h2Rq(2)+ h3Rq(3)+ ...+ hMRq(M) = S(-M),

hoRq(1)+ h1Rq(0)+ h2Rq(1)+ h3Rq(2)+ ...+ hMRq(M-1)= S(-M+1),

hoRq(2)+ h1Rq(1)+ h2Rq(0)+ h3Rq(1)+ ...+ hMRq(M-2)= S(-M+2),

. . . . . . . . . . . . .

hoRq(M)+ h1Rq(M-1)+ h2Rq(M-2)+ ..... + hMRq(0) = S(0).

При задании ti по центру симметричных входных сигналов можно получить симметричные двусторонние фильтры, не изменяющие фазы сигнала, что удобно для цифровой обработки данных.

На рис. 12.5.1 приведен пример фильтрации фильтром обнаружения сигнала радиоимпульса (информационный сигнал) в сумме с шумами (входной сигнал) при отношении сигнал/шум по средним амплитудным значениям на входе фильтра порядка 1. Аналогичное отношение сигнал/шум на выходе фильтра повышается до 7 по интервалу полезного сигнала в целом, и превышает 8 в центральной части интервала сигнала.



Рис. 12.5.1. Фильтр обнаружения сигнала.

Эффективность фильтра. Из выражения (12.5.5) можно видеть, что фильтр имеет максимальный коэффициент передачи на частотах доминирования сигнала и минимальный коэффициент передачи на частотах доминирования помех. Синфазность суммирования всех частотных составляющих выходного сигнала обеспечивает максимальную амплитуду выходного сигнала в заданный момент времени ti. Значение максимальной амплитуды можно оценить, приняв ti=0, при этом выходной сигнал:

y(0)у S() H() == .

Коэффициент передачи фильтра прямо определяется спектром подлежащего обнаружению сигнала, его формой и длительностью. Для оценки эффективности фильтра зададим входной сигнал в виде прямоугольного импульса амплитудой u0 длительностью  на интервале 0-. Спектральная плотность прямоугольного импульса при интегральном преобразовании Фурье:

П() = (1-exp(-j))/j П*() = (exp(j)-1)/j.

При подстановке в (12.5.4'), принимая Wq() = const, коэффициент передачи фильтра:

H() = [(exp(j)-1)exp(-j]/j(1-exp(-j))/j,

где  - коэффициент пропорциональности с размерностью, обратной спектральной плотности, для получения безразмерных значений коэффициента H(). При =1 (нормировка оператора фильтра производится, как правило, по коэффициенту усиления постоянной составляющей входного сигнала) сигнал на выходе фильтра:

uвых(t) = (u0/2)П()H() d = (u0/2)(1-exp(-j))2 exp(j) d,

uвых(t) = U0{t|t>0 – 2(t-)|t> + (t-2)|t>2}.




Рис. 12.5.2.
Как можно видеть на рис 12.5.2, выходной сигнал для входного прямоугольного импульса представляет собой треугольный импульс длительностью 2 по основанию с максимальным значением амплитуды на концевой части входного импульса. Это определяется тем, что при Wq()=1 оператор фильтра полностью повторяет форму входного сигнала (прямоугольного импульса), а выходной сигнал в отсутствие шумов представляет собой свертку двух одинаковых импульсов, максимальное значение которой достигается при полном входе сигнала в оператор фильтра (t=) и равно полной энергии входного импульса:

U0 =п(t)·h(t) dt =п(t)2 dt = u02·.

Значение U0 определяется нормировкой оператора фильтра . Что касается усиления дисперсии (мощности) шумов, то, как известно, дисперсия шума на выходе фильтра равна входной дисперсии входных шумов 2, умноженной на интеграл квадрата импульсного отклика фильтра (для цифровых систем – сумма квадратов коэффициентов оператора фильтра):

2вых = 2h2(t) dt = (2/2|H(|2 d.

Для вычисления интеграла модуль передаточной функции фильтра для прямоугольного импульса может быть представлен в виде интегрального синуса:

|H(|2 d = 2u02sinc2(/2) d(/2) = 2u02 .

Дисперсия шумов на выходе:

2вых = 2u02

С использованием этого выражения для отношения мощности сигнала к мощности шума для сигналов на входе и выходе фильтра имеем:

вх = u02/2, вых = u042/2u02 = u022.

Соответственно, для отношения амплитудных значений сигнала к среднеквадратическим значениям шума:

вх = u0/, вых = (u0).

Отсюда следует, что эффективность фильтра тем выше, чем больше длительность взаимодействия сигнала с оператором фильтра. Усечение размеров фильтра будет приводить к понижению его эффективности. Фильтр жестко настраивается под форму сигнала, и любое изменение формы сигнала также понижает его эффективность.

Отметим также, что коэффициент передачи фильтра тем больше и эффективность его работы тем выше, чем больше различия в форме частотных спектров сигнала и шумов. При постоянной форме спектров сигнала и шума любой другой фильтр уступает данному фильтру, как по пиковому, так и по энергетическому отношению сигнал/шум на выходе фильтра.

Согласованный фильтр. При помехах типа белого шума Wq() = 2 и H() = S*()/2. Постоянный множитель 1/2 может быть опущен. Частотная характеристика фильтра определяется только спектром сигнала, при этом:

h(n) = s(-n). (12.5.7)

Фильтр получил название согласованного (по частотной характеристике со спектром сигнала). Он мало эффективен при коротком импульсном или длинном гармоническом сигнале.

Обратный фильтр. Допустим, что помеха имеет такой же частотный состав, что и полезный сигнал, т.е.:

Wq = 2 |S()|2.

Выделение полезного сигнала в таких условиях весьма сомнительно. Тем не менее, определим оптимальный фильтр:

H() = S*() / [2 |S()|2] = 1 / [2 S()]. (12.5.8)

Выражение (12.5.8) с точностью до постоянного множителя соответствует фильтру сжатия сигнала. Но если согласованный фильтр и фильтр сжатия рассматривать в качестве предельных случаев при полной неопределенности характеристики помех, то в качестве модели помех можно принять их суперпозицию:

Wq = a2 |S()|2+b2.

Подставляя это выражение в (12.5.5), с точностью до множителя получаем:

H() = S*() / [|S()|2+2], (12.5.9)

где = b/a - отношение дисперсий шума и сигнала. Фильтр стремится к согласованному при больших , и к обратному (фильтру сжатия) при малых.

12.6. Энергетический фильтр.

Энергетический фильтр максимизирует отношение сигнал/помеха по всей длине фильтра (а не в отдельной точке), и если сигнал по своей протяженности укладывается в окно фильтра, то тем самым обеспечивается оценка формы сигнала. Фильтр занимает промежуточное положение между фильтром воспроизведения сигнала Колмогорова- Винера и согласованным фильтром и требует задания корреляционных функций сигнала и помех. Сигнал может быть представлен и в детерминированной форме с соответствующим расчетом его автокорреляционной функции.

Критерий оптимальности. Энергия сигнала на выходе фильтра:

Esh = k sk2 = k (n hn sk-n)2 = khkn hn Rs(k-n), (12.6.1)

где Rs- функция автокорреляции сигнала. В векторной форме:

Esh = . (12.6.2)

Аналогично, выражение для энергии помех на выходе:

Eqh =khkn hn Rq(k-n) = , (12.6.3)

где Rq - функция автокорреляции помех. При некоррелированной помехе Eqh = 2.

Подставим (12.6.2, 12.6.3) в выражение (12.2.4):

 = / . (12.6.4)

Расчет векторов операторов фильтров. Для определения значений вектора продифференцируем  по , и приравняем производную к нулю:

.

. (12.6.5)

В системе уравнений (12.6.5) неизвестны собственные значения  матрицы и значения коэффициентов hn, при этом система имеет N+1 ненулевых решений относительно значений  и соответствующих этим значениям векторов . Для определения коэффициентов фильтра приравнивается к нулю и решается относительно  определитель матрицы , после чего максимальное значение max подставляется в (12.6.5) и система уравнений решается относительно коэффициентов hi вектора . При фильтрации сигнала вектор обеспечивает выделение первой по мощности главной компоненты сигнала, т.е. составляющей сигнала, которая имеет наибольшую энергию и отношение сигнал/шум. В сложных геофизических полях такая компонента, как правило, соответствует региональному фону.

В принципе, расчет может быть продолжен и для других значений <max, и определены значения коэффициентов векторов , и т.д., с использованием которых могут выделяться вторая и прочие компоненты сигнала. Наиболее эффективно такой метод используется для разделения сигналов (полей) при некоррелированных помехах. В этом случае корреляционная матрица помех является единичной (единицы по диагонали, остальное - нули) и уравнение (12.6.5) имеет вид:

. (12.6.6)

В развернутой форме:

ho(Rs(0)-)+ h1Rs(1)+ h2Rs(2)+ h3Rs(3)+ ...+ hMRs(M) = 0,

hoRs(1)+ h1(Rs(0)-)+ h2Rs(1)+ h3Rs(2)+ ...+ hMRs(M-1) = 0,

hoRs(2)+ h1Rs(1)+ h2 (Rs(0)-)+ h3Rs(1)+ ...+ hMRs(M-2) = 0,

. . . . . . . . . . . . .

hoRs(M)+ h1Rs(M-1)+ h2Rs(M-2)+ ..... + hM (Rs(0)-) = 0.
Выражение (12.6.6) при малом уровне шумов позволяет вместо ФАК какого-либо определенного сигнала использовать ФАК непосредственно зарегистрированных данных (поля). Если при этом в зарегистрированных данных кроме помех присутствуют два (и более) сигналов, например, региональный фон и локальная составляющая (аномалия), то расчет векторов hi приобретает конкретный практический смысл: после первой фильтрации оператором и выделения региональной составляющей, массив данных (исходный или с вычитанием из него региональной составляющей) может быть профильтрован повторно оператором , что позволит выделить и локальную аномалию (и т.д.). Разделение сигналов будет тем надежнее, чем сильнее они отличаются друг от друга по энергии и интервалу корреляции.

В заключение отметим, что расчеты оптимальных фильтров могут производиться с использованием алгоритма Левинсона.

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


Задание мощности
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации