Учебное пособие - Организация научных исследований - файл n1.doc

приобрести
Учебное пособие - Организация научных исследований
скачать (2308 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2308kb.01.06.2012 11:05скачать

n1.doc

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17

Среднее значение


(6.23)
Графическое изображение логарифмически – нормативного распределения приведено на рисунке 6.3
Рх Рх


х х

Рис.6.3.Плотность вероятности Рис.6.4. Плотность вероятности

логарифмически – нормативного

распределения.

Экспоненциальный закон распределения случайной величины возникает при редких событиях, например долговечность изделия, работающего в нормаль-ном режиме эксплуатации, промежуток времени между двумя последователь-ными сбоями и др.

Плотность распределения приведена на рисунке (6.4),значение плотности распределения рассчитывается по следующей зависимости :

(6.24)

Параметры распределения


(6.25)

Как видно из приведенных примеров среднее значение исследуемых величин зависит от вида распределения вероятности этих величин, поэтому прежде чем приступить к исследованию каких -.либо закономерностей необходимо установить вид распределения исследуемой величины.
6.7.Прогноз значений случайной величины



Для установления прогнозной зависимости необходимо параметры распределения исследуемой величины выразить в функции от времени. В качестве примера рассмотрим методику определения составления прогноза стоимости продукции . На предприятии в течении предшествующих 5 лет ежеквартально определялась стоимость продукции (табл.6.9 колонка 2).В конце каждого года рассчитывались значения средней стоимости ( х ) и среднеквадратические отклонения (?)

Установлено, что распределение вероятности себестоимости подчиняется нормальному закону распределения, поэтому параметры распределения рас-считывались по формулам (6.2) и (6.7). результаты расчета приведены в колонках в таблице 6.9 (колонки 3 и 4).
Таблица 6.9. Расчет параметров распределения стоимости


Время, номер года

Себестоимость продукции по неделям месяца

Параметры распределения

Ошибка, м

Пределы именения себестоимости

Фактические

Расчетные



?

хпр

?пр

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2,5,3,6

4,0

1,60

3,1

1,61

0,80




2

3,7,5,6

5,2

1,48

4,9

1,48

0,71




3

6,5,8,5

6,0

1,20

6,4

1,25

0,62




4

7,10,8,9

8,5

1,12

7,5

1,07

0,53




5

6,7,6,8

6,7

0,83

8,3

0,89

0,44




6










8,8

0,71

0,35

8,4-9,2

7










9,0

0,53

0,26

8,7-9,3

8










8,9

0,35

0,17

8,7-9,1

9










8,4

0,17

0,08

8,3-8,5

10










7,6

0

0




Зависимость себестоимости продукции в функции от времени приведена на рисунке 6.5.



Рис.6,5 Изменения среднего значения стоимости во времени:

Фактические значения

Прогнозные значения
Доверительные границы
Анализ данных,приведенных на рисунке 6,5, показывают, что зависимость среднего значения сиоимости может быть описана уравнением второго порядка
(6,26)
а зависимость среднеквадратического отклонения- уравнением первого порядка

(6,27)

t – время (порядковый номер года от начала наблюдений);

а, б, с- постоянные коэффициенты.

Методом наименьших квадратов (этот метод будет рассмотрен позже) определены значения постоянных коэффициентов и уравнения (6.26 и 6.27) принимают следующий

(6.28)

(6.29)

Рассчитанные по формулам (6,28) и (6,29) значения параметров распределения приведены в таблице (колонки 5 и 6) и показаны на рисунке 6,9 (сплошные линии), а прогнозное значение стоимости показано пунктирной линией.

Всякие вычисления производятся с ошибкой. Ошибка вычисляется по следующей зависимости

(6.30)

где N - число определений в течении года,

а пределы изменения рассматриваемого показателя доверительные границы- по формуле:

(6.31)
Рассчитанные по формулам (6,30) и (6,31) значения приведены в таблице 1 (колонки 7 и 8), а пределы изменения рассматриваемого показателя (доверительные границы) на рисунке 6,5 (заштрихованная область).
Контрольные вопросы


  1. Что подразумевается подпонятиями совокупности и выбора?

  2. Какая бывает группировка результатов наблюдений? Как строятся вариационные ряды и гистограмма?

  3. Как рассчитывается среднеарифметическое, среднеквадратическое, среднекубическое значения исследуемой величины?

  4. Что такое дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариаций? Методика расчета этих показателей.

  5. Вероятность события, свойства вероятности.

  6. Распределение случайной величины, параметры распределения.

  7. Виды распределения случайной величины.
7.АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ



7.1.Корреляционный анализ
Для выражения зависимости между двумя показателями в математике применяется понятие функция. Под функциональной связью понимается такой вид зависимости между переменными, когда каждому значению одной величины (аргумент) соответствует строго определенное значение другой величины (функция). Например, известно, что повышение температуры на 10о ускоряет химическую реакцию в два раза, радиус окружности изменяется в строгом соответствии с изменением ее длины и т.д.

Но такие связи при изучении физических, экономических, демографических процессов встречаются крайне редко.

В предыдущих лекциях были рассмотрены вопросы себестоимости, выпускаемой предприятием. Себестоимость продукции зависит от производительности труда, своевременного поступления сырья, совершенства оборудования и др.

Существующие между различными признаками связи характеризуются тем, что определенному значению одного признака соответствует не одно, а несколько различных значений другого признака, варьирующих около своей средней величины. Такой вид связи между переменными Х и Y называется коррелятивной связью, или просто корреляцией.

Основным мерилом связи, существующей между исследуемыми признаками, служит коэффициент корреляции, который при отсутствии разбивки вариант на группы имеет следующий вид:

(7.1)

В числителе этой формулы стоит сумма произведений отклонений вариант от средней арифметической по одному ряду на соответствующие отклонения вариант от средней арифметической по другому ряду(Y). В знаменателе произведение средних квадратичных отклонений по Х и по У, умноженное на число пар сопоставляемых величин.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и сопровождается либо положительным (+), либо отрицательным знаком (-), что указывает на прямую или обратную зависимость между переменными Х и У. Под прямой или положительной связью понимаются такие случаи, когда увеличение одного признака влечет за собой увеличение другого. При обратной или отрицательной связи увеличение одного признака сопровождается уменьшением величины другого. Если величины Х и У распределяются независимо друг от друга, то коэффициент корреляции равен нулю. При увеличении зависимости между варьирующими величинами коэффициент корреляции приближается к единице; r=1, означает уже не корреляционную, а функциональную связь.

Условно можно считать, что величина r от 0,1 до 0,5 указывает на слабую связь между признаками, которые в большей мере варьируют независимо друг от друга; от 0,5 до 0,7 дает представление о средней степени сопряженности, и от 0,7 и выше свидетельствует о наличии довольно сильной связи между переменными Х и У.

Квадратическая ошибка коэффициента корреляции


(7.2)

При малом числе наблюдений n берется «числом степеней свободы», обычно как n-2, и ошибка m вычисляется по формуле.
(7.3)

Ошибка коэффициента корреляции обладает свойством приближаться к нулю, когда коэффициент корреляции приближается к единице. Так что при r=1 независимо от знака mr=0.

Значение коэффициента корреляции оценивается с помощью критерия достоверности, который представляет отношение этого коэффициента к своей средней квадратической ошибке

(7.4)

Рассчитанный критерий достоверности сравнивается с табличным при принятом уровне значимости и числе степеней свободы. Если расчетное значение критерия достоверности больше табличного, то это свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.

Уровень значимости – это вероятность, которая требуется для точности определения исследуемого показателя. Уровень значимости принимается равным 0,01, если требуется точность 99% и 0,05,если требуется точность 95% .

Рассмотрим пример расчета коэффициента корреляции на примере зависимости стоимости продукции от производительности труда. Исходные данные и рассчитанные параметры, входящие в формулу (7.1) приведены в таблице 7.1.

Между производительностью и стоимостью имеет место прямая про- порциональность (рис.7.1.), что дает основание рассчитывать коєффициент корреляции.

Подставив приведенные в таблице 7.1 расчетные данные в формулу (7.1) получим значения коэффициента корреляции равные


Таблица 7.1.Исходные данные для расчёта коэффициента корреляции

.

№№

Производитель-ность, т/сутки

i)

Стоимость,

гр. (уi)

()

()

(

()

1

2

3

4

5

6

1

20

6

3,9

-1,6

-6,24

2

12

10

-4,1

2,4

-4,34

3

15

8

-1,1

0,4

-0,44

4

17

6

0,9

-1,6

-1,44

5

13

9

-3,1

1,4

-4,34

6

24

4

7,9

-3,6

-28,44

7

21

5

4,9

-2,6

-12,44

8

16

7

-0,1

-0,6

-0,06

9

13

9

-3,1

1,4

-4,34

10

10

12

-6,1

4,4

-26,84

N=10











-44,72






















































































































































Рис.7.1 Зависимость между производительностью и стоимостью продукции.
По формулам (7.2) и (7.3) рассчитаны ошибка и критерий достоверности

соответственно:


Расчетное значение критерия достоверности больше табличного значения при 8 степенях свободы и уровне значимости 0,01 равного 4,78, следовательно рассчитанный коэффициент корреляции достоверен.
7.2. Корреляционное отношение



Как уже отмечалось, коэффициент корреляции пригоден лишь для измерения прямолинейной связи. Если же зависимость между варьирующими величинами Х и У сильно отличается от прямолинейной регрессии, этот показатель оказывается неточным и применять его не следует. В таких случаях мерилом сопряженности изучаемых признаков служит корреляционное отношение, обозначаемое греческой буквой «эта» (ή).

В отличие от коэффициента корреляции отношение измеряет любую форму связи, притом измеряет двусторонне, поэтому и выражается не одним, а двумя коэффициентами - х/у и у/х.

Представление о характере связи между варьирующими величинами дают графики корреляционной зависимости. Как показатель сопряженности корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1, но в отличие от коэффициента корреляции не имеет знака.

При малом числе наблюдений корреляционное отношение вычисляется прямым способом, т.е. без разбивки вариант на классы, по следующим формулам:

(7.4)
(7.5)
Здесь сумма квадратов отклонений вариант от их средней арифметической; - сумма квадратов отклонений вариант от частной средней, т.е. средней арифметической не всего ряда вариант, а отдельных его значений, соответствующих определенным значениям вариант другого ряда, которые располагаются в возрастающем или убывающем порядке. Например, имеются следующие два ряда сопряженных значений каких-то признаков Х и У: (табл 7.2 )

Таблица 7.2. Ряды сопряженных значений


х

2

2

4

4

6

6

6

8

у

4

6

5

7

10

8

12

7

По данным, приведённым в таблице7.2,видно, что значения первого признака(X) разбиваются на четыре группы: 2, 4, 6 и 8. В первых двух группах по две одинаковых варианты, в третьей группе – три, а в четвертой – всего одна. По второму же признаку(Y) эти группы значений неодинаковы. Так, первые два варианта имеют значения 4 и 6. Если взять среднюю арифметическую этих значений, то она в равной мере будет соответствовать двум первым (одинаковым) значениям признака X:(4 + 6): 2=5.Это и есть частная средняя арифметическая (y-01)Y по X.

Таким же способом находим величину второй частной средней:
y-02=(5+7): 2=6.
Для третьей группы значений частная средняя:
y-03=(10+8+12): 3=10.
В результате получается ряд частных средних арифметических по ряду Y, соответствующих определенным значениям ряда X: (табл. 7.3)
Таблица 7.3. Значение частных средних


X

2

2

4

4

6

6

8

8

Y

4

6

5

7

10

8

12

7

0

5

5

6

6

10

0

10

7


Из этого примера видно значения частных средних и методика их определения; в отличие от общих средних арифметических частные средние обозначим через x0 и y0

При оценке степени сопряженности между варьирующими величинами Х и У как в случаях прямолинейной, так и при криволинейной зависимости приходится вычислять суммарные показатели связи. Одним из таких показателей по аналогии с коэффициентом корреляции можно назвать коэффициент криволинейной корреляции и обозначить знаком

7.3. Ранговый коэффициент корреляции

В ряде случаев, когда необходимо измерить степень изменчивости между варьирующими величинами Х и Y, связанными друг с другом общим направлением изменчивости, можно воспользоваться непараметрическим, так называемым ранговым методом. В отличие от описанного выше способа, когда при вычислении коэффициента корреляции варианты располагаются в ряд как попало, ранговый метод требует ранжирования вариант, т.е. распределения их в возрастающем или убывающем порядке, так, чтобы каждая варианта занимала в каждом строю свое место.

В основу этого метода положены весьма простые соображения. Чтобы установить, имеется ли связь между признаками Х и У, необходимо расположить цифровой материал в возрастающем или убывающем порядке.

Обозначив ранжированные значения величин Х и У порядковыми числами натурального ряда, получим полное совпадение этих чисел друг с другом по абсолютной величине и разница между ними будет равняться нулю. Если же полного совпадения между порядковыми числами вариант (назовем их рангами) не окажется, то разность между ними не превратится в нуль, и по величине этой разности можно будет судить о степени зависимости между Х и У. Существо метода, сводится к расчету рангов, по которым и вычисляется коэффициент ранговой корреляции, называемый просто ранговым коэффициентом. Этот показатель обозначается греческой буквой ро () и определяется по формуле Ч.Спирмена (1904).
(7.6)

где ?- знак суммирования, d – разность между рангами сопряженных рядов Х и У, n – объем выборки, или число парных наблюдений.

Если ранги рядов по абсолютной величине полностью совпадают друг с другом то и ранговый коэффициент равен единице, что может быть только при полной, функциональной зависимости между переменными Х и у. Если же величины Х и Y изменяются совершенно независимо одна от другой, то зависимость (7.6) равна нулю. Таким образом, как и коэффициент корреляции, ранговый коэффициент изменяется в пределах от нуля до единицы, он выражается в долях единицы и сопровождается всегда одним знаком – либо плюс (при положительной корреляции), либо минус (при отрицательной корреляции) между переменными Х и у.

Ошибка рангового коэффициента вычисляется по следующей формуле :
(7.7)

Расчет рангов не представляет никаких затруднений, если варианты не повторяются. Однако в практике таких случаев, как правило, не встречается. Обычно, значения вариант в большем или меньшем числе повторяются и необходимо определять средние арифметические из этих чисел. Например, имеется следующий ряд ранжированных значений

2,4,5,6,6,8,9.

Если бы варианта 6 не повторялась, ранги этих значений были бы следующими

1,2,3,4,5,6,7,

но так как шестерка в этом ряду повторяется дважды, то и ранг ее независимо от местоположения один и тот же – это средняя арифметическая из соответствующих чисел натурального ряда (4+5):2=4,5. Методику вычисления рангового коэффициента легче усвоить из соответствующего примера. Изменение затрат в зависимости от объема выпуска продукции, будем ранжировать варианты по ряду Х, т.е. расположим значения объема в возрастающем порядке и определим их ранги. Для удобства порядковые числа вариант запишем в первом столбце расчетной таблицы.
Таблица 7.4. Расчет затрат и объема выпуска продукции


Номера по порядку

Объем выпуска продукции

Затра-ты Y


Ранги

d=x-y

d2=(x-y)2

Номера по порядку

Затраты

Объем выпуска продук-ции

Затра-ты

Значения

Ранги

1

17,7

74

1

3

-2,0

4,0

1

70

1

2

18

70

2,5

1

+1,5

2,25

2

72

2

3

18

80

2,5

6,5

-4,0

16,00

3

74

3

4

19

72

4,5

2

+2,5

6,25

4

76

4

5

19

77

4,5

5

-0,5

0,25

5

77

5

6

20

76

6

4

+2,0

4,00

6

80

6,5

7

21

89

7

9

-2,00

4,00

7

80

6,5

8

22

80

8

6,5

+1,5

2,25

8

86

8

9

30

86

9

8

+1,0

1,0

9

89

9

Сумма













40,00











Если бы отдельные варианты не повторялись, их рангами были бы порядковые числа. Но так как некоторые варианты повторяются, например варианты 18 и 19 в ряду Х, то рангами их будут средние арифметические из соответствующих порядковых чисел. Так, для варианты 18 ранг определяется как полусумма порядковых чисел 2 и 3, т.е. (2+3):2=2,5. Для следующей варианты 19 ранг выражается полусуммой (4+5):2=4.5. Таким же образом рассчитываются ранги и по ряду У, как это показано в правой стороне таб-. лице 7.3, и заносятся эти ранги на присущие им в общем строю места. Когда эта наиболее ответственная работа проделана, остается взять разность между рангами, возвести ее в квадрат и просуммировать эту графу. Подставляя найденные значения в формулу Спирмена, находим величину рангового коэффициента:
1-=1-=+0,67
Простота расчетов при вычислении рангового коэффициента корреляции позволяет широко использовать его в практической работе биологов. Достоинство этого метода заключается в том, что он в равной мере характеризует степень сопряженности между признаками как в случаях прямолинейной, так и в случаях криволинейной корреляции, что выгодно отличает его от других методов определения связи между признаками.

7.4.Регрессионный анализ
В отличие от односторонних связей зависимость между переменными Х и У бывает и двусторонней, т.е. такой, когда величина одного признака изменяется в зависимости от величины другого признака и наоборот. Например, изменение себестоимости продукции от производительности труда.

Динамика взаимной зависимости между переменными величинами получила название регрессия, а методика исследования регрессии носит название регрессионного анализа.

С первого взгляда кажется, что между динамикой рядов развития и рядов регрессии никакой разницы нет. Но это не так. Ряды развития выражают процесс, а регрессия по сути дела отражает лишь динамику связи, существующей между признаками Х и У, и прямого отношения к развитию признаков во времени или в зависимости от других причин не имеет. Поэтому и в методике обработки рядов развития и рядов регрессии существуют различия.

Математически регрессия выражается следующими тремя способами:

1) построением эмпирических рядов и графиков регрессии, которых всегда два: регрессия по У и по Х;

2) уравнениями, позволяющими по эмпирическим данным построить теоретическую, т.е. выровненную, линию регрессии;

3) коэффициентами, дающими суммарную характеристику двусторонней связи. Графически эмпирические регрессии изображаются обычно в виде ломаных линий.

На рис. 7.3 изображена эмпирическая и вычисленная линия регрессии У и Х.











































































































Рис. 7.3. Регрессия: 1 – эмпирическая; 2 - вычисленная

Ряды регрессии выражаются не только графически, но и аналитически при помощи следующих уравнений
уравнение регрессии У по Х; (7.7)

уравнение регрессии Х по У; (7.8)
Здесь и- теоретические, т.е. вычисленные по эмпирическим данным, значения регрессии У/Х и Х/У; У и Х – средние арифметические рядов распределения ; R – коэффициент регрессии, который определяется по следующим аналогичным формулам:

- коэффициент регрессии У/Х (7.9)

- коэффициент регрессии Х/У, (7.10)

где ах=, а ау=.

Когда в расчет берутся не отклонения вариант от средних арифметических, а конкретные значения переменных величин У и Х, коэффициенты регрессии определяются по следующим формулам

(7.11)
(7.12)

В отличие от уравнений регрессии, характеризующих динамику связи между переменными Х и У, коэффициент регрессии дает лишь суммарную характеристику этой связи; он показывает насколько в среднем изменяется величина одного признака при изменении на какую-то величину другого признака. Поскольку регрессия выражается двусторонне, то и коэффициентов регрессии два: и. Коэффициент регрессии – ценный показатель, суммарной оценки связи между переменными величинами Х и У, рассматриваемыми в их динамике, в процессе развития признаков. Он дает основу точному количественному прогнозу при исследовании зависимых явлений.

Когда известны средние квадратические отклонения варьирующих признаков, т.е. ?х и ?у, а также вычислен коэффициент корреляции, коэффициенты регрессии определяются по формулам:

(7.13)

(7.14)

Коэффициент регрессии сопровождается средней квадратической ошибкой, которая вычисляется по следующим формулам:
(7.15)
(7.16)
Критерий достоверности коэффициента регрессии рассчитывается по следующей формуле
(7.17)

Если расчетное значение критерия достоверности окажется больше табличного значения при принятых уровнях значимости и числе степеней свободы, то сомневаться в достоверности коэффициента регрессии не приходится.
7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов
Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точен

способ наименьших квадратов. Его предложил К.Гаусе в 1806 г. на том основании, что сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической есть величина наименьшая. Это первая теорема о свойствах средней арифметической. А так как зависимость между переменными Х и У выражается обычно рядом колеблющихся величин, то указанное свойство используется для нахождения наиболее вероятных усредненных значений этих величин. В этом и заключается сущность метода наименьших квадратов, который в равной мере пригоден для выравнивания самых различных зависимостей между переменными величинами и нахождения параметров уравнений, характеризующих эти зависимости. Во всех случаях обработка эмпирических данных по способу наименьших квадратов производится следующим образом:

1. Исходя из геометрического места точек двух переменных У и Х, подбирают соответствующее уравнение, которое достаточно точности выражает зависимость между переменными величинами.

2. В исходное уравнение подставляют попарно эмпирические данные и получают систему нормальных уравнений.

3. Решают совместно полученные уравнения и определяют их параметры.

4. Подставив найденные значения параметров в общее уравнение функции, получают эмпирическое уравнение, выражающее зависимость между переменными Х и У.

5. Подставляя в эмпирическое уравнение значения одной из переменных Х или У, находят соответствующие средние значения другой переменной величины. Таким образом, получается усредненный, или выровненный, ряд значений, называемый также теоретическим рядом развития. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к различным случаям зависимости между переменными величинами Х и У.
Прямолинейная зависимость
На рисунке 7.1 приведена прямолинейная зависимость между производительностью и стоимостью продукции. Эта зависимость может быть описана формулой прямолинейной зависимостью
С = а*П+в (7.18)
где: С – себестоимость продукции;

П – производительность труда;

а,в – постоянные коэффициенты.
По данным приведенным в таблице.7.1 суммируем значения исходных

величин:


12= а•10+в

10= а•12+в

9= а•13+в

8= а•15+в


(7.19)
7= а•16+в

6= а*17+в

6= а*20+в

5= а*21+в

4= а*24+в

Сумма 67= а•148+в•9

Суммарное уравнение(7.19) имеет два неизвестных постоянных коэффициента. Для нахождения неизвестных надо еще одно уравнение. Для получения второго уравнения умножаем каждое уравнение(7.17) на соответствующее значение производительности, затем суммируем их и получим второе суммарное уравнение:

120=а•100+в•10

120=а•124+в•12

117=а•169+в•13

120=а•225+в•15


(7.20)
112=а•256+в•16

102=а*289+в*17

120=а*400+в*20

105=а*441+в*21

96=а*576+в*24

Сумма 1012=а•2580+в•148


После решения системы уравнений:


(7.21)
67=а•148+в•9,

1012=а•2580+в•148
были получены значения постоянных коэффициентов:

а=-0,61 и в=17,52

и уравнение (7.18) принимает следующий вид:

С = 178,52 – 0,63П (7.22)
Рассчитанные по формуле(7.22) значения стоимость показана на рисунке 7.1 (сплошная линия).
Криволинейная зависимость
Аналогичным образом, как и для прямолинейной зависимости, определяются постоянные коэффициенты для уравнений более высокого порядка. В качестве примера рассмотрим расчет постоянных коэффициентов для уравнения изменения стоимости продукции по годам – формула (6.26). Так как в этой формуле 3 постоянных коэффициентов должно быть составлена система из 3 уравнений:
x=at2+bt+cn


(7.23)
x2= at2x+btx+cx

x3= at2x2+btx2+cx2
Для удобства вычисления следует составить таблицу. По данным приведенным в таблице 6.9 (колонки 1 и 2) составлена следующая вспомогательная таблица(табл. 7.4)

Таблица 7.4. Расчет значений постоянных коэффициентов


Время (номер года) (t)

Стоимость (х)

Значения показателей

t2

x2

x3

xt

xt2

x2 t

x2t2

1

4,0

1

16,00

64,00

4,0

4,0

16,0

16,0

2

5,2

4

27,04

140,61

10,4

20,8

54,1

108,2

3

6,0

9

36,00

216,00

18,0

54,0

108,0

324,0

4

8,5

16

72,25

614,12

34,0

136,0

289,0

1156,0

5

6,7

25

44,89

300,76

35,5

167,0

224,4

1120,0

Сумма

15

30,4

55

196,18

1335,5

99,9

382,3

691,5

2724,2
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17


Среднее значение
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации